Электричество и магнетизм (Крахоткин В.И

Вихревые токи, возникающие в сердеч-

Iниках трансформаторов, генераторов, электродвигателей, вызывают бесполезное на-

		гревание и снижают коэффициент полез-
		ного действия.
		Силы, вызываемые вихревыми токами
		и действующие на движущиеся проводни-
		ки в магнитном поле, используют во мно-
		гих измерительных приборах (измеритель-
	Рис. 50. Скин-эффект.	ные счетчики, тахометры и т.д.).
		Вихревые токи возникают и в провод-
		никах, по которым текут переменные токи.

Направление вихревых токов внутри проводника всегда так ово, что они противодействует изменению тока внутри проводни ка и способствуют этому изменению вблизи поверхности (рис. 50). Т а- ким образом, вследствие возникновения вихревых токов пер еменный ток оказывается распределенным по сечению проводник а неравномерно – он как бы вытесняется на поверхность проводн ика. Это явление получило название скин-эффекта, или поверхностного эффекта.

Если сплошные проводники нагревать токами высокой часто - ты, то в результате скин-эффекта происходит нагревание то лько их поверхностного слоя. Меняя частоту тока, можно изменят ь глубину прогрева металла.

Токипризамыканиииразмыканиицепи

Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с ЭДС, равной Е, сопротивление R и ин-

дуктивность L. В замкнутой цепи будет существовать ток I0 = E .

R

При размыкании цепи ток в катушке индуктивности уменьша-

ется, что приводит к возникновению ЭДС самоиндукции E				= −L	dI	,
			s
					dt
препятствующей уменьшению тока. Согласно закону Ома
IR = −L	dI	.		8.18
	dt

111

Разделив переменные и проинтегрировав, получим

− Rt	8.19
I = C × e L ,

где С – постоянная интегрирования, которую можно определи ть из начальных условий. При t = 0 сила тока в цепи равна I0, подставляя в уравнение 8.19, можно получить, что C = I0, тогда сила тока при размыкании цепи будет изменяться по закону

I = I		e−	Rt
	0		L	.	8.20

Промежуток времени τ, в течение которого сила тока в цепи уменьшается в «е» раз, получил название времени релаксаци и. Из

выражения 8.20 легко найти, что t = L .

R

При замыкании цепи помимо внешней ЭДС в цепи возникает ЭДС самоиндукции, и закон Ома запишется в виде

IR = E − L	dI	.	8.21
	dt

Введя новую переменную u = IR – E, преобразуем уравнение 8.21 к виду

du	= -	dt	.	8.22
u		t

В момент замыкания цепи (t = 0) сила тока в цепи I0 = 0 и u = –E. Следовательно, интегрируя 8.22 по u (от –Е до IR – E) и по t (от 0 до t), найдем, что

IR - E

t

æ

−

t

ö

ln

= -

èëè I = I0

ç1

- e τ

,

8.23

-E

t

ø

è

ãäå I

=

E

– установившийся ток (при

t → ∞).

0

R

Из полученных выражений следует, что уменьшение и нарастание тока в цепи, содержащей индуктивность, определяется вре-

менем релаксации t = L , т.е. установление тока происходит тем

R

быстрее, чем меньше индуктивность цепи и больше ее сопрот ивление.

112

Энергиямагнитногополя

Проводники, по которым текут токи, всегда окружены магнитными полями, причем поля исчезают и появляются вмес те с исчезновением и появлением электрического тока. Следова тельно, часть энергии тока идет на создание магнитного поля, которое, подобно электрическому полю, является носителем энергии .

Рассмотрим контур с индуктивностью L, по которому течет ток I. С этим контуром будет связан магнитный поток Ф = LI. При изменении тока на величину dI магнитный поток изменяется н а величину dФ = LdI. Но для изменения магнитного потока на вели- чину dФ надо совершить работу dA = dФ Ч I = L Ч I Ч dI. Интегрируя полученное выражение, для работы тока получим

A = òL × I ×dI =	LI2
	2 .	8.24

Следовательно, энергия магнитного поля

W =	L × I2	.	8.25
2

Энергию магнитного поля можно выразить как функцию величин, характеризующих это поле. Рассмотрим частный случа й – магнитное поле соленоида. Подставляя в уравнение 8.25 выраже ние 8.16 и учитывая формулу 5.11, можно получить

W = mm0 H 2			× V .	8.26
2
Òàê êàê B = mm0 H , то окончательно будем иметь
W =	BH	× V.		8.27
2

Выражение энергии магнитного поля через характеристики магнитного поля B и H убедительно свидетельствует о том, что эн ергией обладает само магнитное поле.

Поле в соленоиде однородно и сосредоточено внутри его и, следовательно, энергия уравнения 8.27 сосредоточена в объем е соленоида и распределена в нем с объемной плотностью

w =	W	=	B × H	.	8.28
	V 2

113

Тот факт, что объемная плотность энергии выражается через основные характеристики магнитного поля, говорит о том, ч то само магнитное поле обладает энергией.

Формула 8.28 выведена нами для однородного поля, но она справедлива и для неоднородных сред. Выражение 8.28 справедл и- во лишь для тех сред, для которых зависимость B от H линейна, т.е. оно относится только к диа- и парамагнетикам.

1.9. Уравнения Максвелла

Для того чтобы лучше понять значение теории Максвелла, необходимо вспомнить последовательность основны х открытий в области электродинамики до Максвелла.

Количественное изучение электрических явлений началось с работ Кулона (1785 г.), установившего сначала закон взаимодей - ствия электрических зарядов и распространившего его пот ом на взаимодействие магнитных зарядов. Однако до 1820 года электр и- ческие и магнитные явления рассматривались как различны е явления, не связанные между собой.

Открытие Эрстедом (1820 г.) магнитного действия тока показало, что электрические и магнитные явления связаны между собой. Особое значение имело открытие Фарадеем (1831 г.) явления электромагнитной индукции. Фарадей исходил из основной и деи о взаимной связи явлений природы.

Второй важной идеей в работах Фарадея было признание решающей роли промежуточной среды в электрических и магнит - ных явлениях. Фарадей не признавал действия на расстоянии , которое, как мы сейчас хорошо знаем, физически бессодержа - тельно, а считал, что электрические и магнитные взаимодей - ствия передаются промежуточной средой от точки к точке и что именно в этой среде разыгрываются основные электрически е и магнитные процессы.

Во введении к своему трактату Максвелл писал: «Если мы примем эту среду в качестве гипотезы, я считаю, что она должна занимать выдающееся место в наших исследованиях и что нам следовало бы попытаться сконструировать рациональное пред ставле-

114

ние о всех деталях ее действия, что и было моей постоянной ц елью

âэтом трактате».

Âработах Максвелла идеи Фарадея подверглись дальнейшем у углублению и развитию и были превращены в строгую математ и- ческую теорию. Дюэм писал: «Никакая логическая необходимость не толкала Максвелла придумывать новую электродинамику ; он руководствовался лишь некоторыми аналогиями и желанием за вершить работу Фарадея в таком же духе, как труды Кулона и Пуас - сона были завершены электродинамикой Ампера, а также, воз можно, интуитивным ощущением электромагнитной природы свет а».

Âтеории Максвелла мысль о тесной связи электрических и магнитных явлений получила окончательное оформление в в иде двух основных положений теории и была в строгой форме выр а- жена в виде уравнений Максвелла.

«Приступая к изучению труда Фарадея, – писал Максвелл, – я установил, что его метод понимания явлений был также мате матическим, хотя и не представлен в форме обычных математич еских символов. Я также нашел, что этот метод можно выразить в обычной математической форме и, таким образом, сравнить с методами профессиональных математиков... Когда я переводил то, что считал идеями Фарадея, в математическую форму, я нашел , что в большинстве случаев результаты обоих методов совпа дали, так что ими объяснялись одни и те же явления и выводились о дни и те же законы действия».

Вихревое электрическое поле. Первое уравнение Максвеллавинтегральнойформе

Из закона Фарадея для электромагнитной индукции:

Ei = − dΦ – следует, что любое изменение магнитного потока, сцеп- dt

ленного с замкнутым контуром, приводит к возникновению в нем электрического тока. Однако ЭДС возникает только в том сл учае, если в цепи действуют силы неэлектростатического характ ера. Поэтому возникает вопрос о природе сторонних сил в таком случае.

Опыт показывает, что эти силы не связаны ни с тепловыми, ни с химическими процессами в контуре, их нельзя объяснить с помощью силы Лоренца.

115

Анализируя явление электромагнитной индукции, Максвелл высказал гипотезу о том, что переменное магнитное поле во збуждает в окружающем пространстве электрическое поле, котор ое и является причиной возникновения ЭДС индукции. Контур в да н- ном случае играет вспомогательную роль, позволяя обнаруж ить это поле.

Существенная особенность рассматриваемого явления сост оит в том, что возникающее электрическое поле не является элект ростатическм. Работа сил электростатического поля на замкн утом пути равна нулю, поэтому оно не может поддерживать движение за рядов по замкнутому пути и, следовательно, не может привести к возникновению ЭДС. Электрическое поле, возникающее при эл ектромагнитной индукции, является вихревым полем. Такое пол е вызывает в замкнутом проводнике движение электронов, что приводит к возникновению ЭДС. Сторонними силами являются сил ы

вихревого электрического поля.

r

По Максвеллу, циркуляция вектора EB этого поля и есть ЭДС индукции, т.е.

r r
ò EBdl = Ei.	9.1

Следовательно, закон электромагнитной индукции можно за - писать в виде

r	r	dΦ
ò EBdl = − dt .			9.2
Ранее мы показали, что для электростатического поля
r		r
ò Eqdl = 0 ,			9.3

следовательно, эти поля заметно отличаются друг от друга. Электрическое поле, создаваемое переменным магнитным полем, по лу- чило название вихревого электрического поля. Линии напряженности этого поля являются замкнутыми.

Согласно принципу суперпозиции полей, напряженность результирующего электрического поля будет определяться в ыраже-

íèåì E = EB + Eq, тогда, суммируя выражения 9.2 и 9.3, для циркуляции вектора напряженности результирующего поля пол учим

r	dΦ
ò Edl = − dt .		9.4

116

Преобразуем полученное уравнение. Так как Φ = òBdS, òî

dΦ							S
	=	d	òBdS = ò		dB	dS.	9.5
dt		dt			dt
			S	S

С учетом формулы 9.5 выражение 9.4 примет вид

r
ò Edl = −ò dBdt dS.	9.6

lS

Это и есть первое уравнение Максвелла в интегральной форм е.

Токсмещения.Интегральнаяформа второгоуравненияМаксвелла

Из явления электромагнитной индукции вытекает, что переменное магнитное поле порождает вихревое электриче ское поле. Основная идея Максвелла состояла в том, что между электри ческим и магнитным полем существует и обратная связь, т.е. переменн ое электрическое поле должно приводить к возникновению магнитно го поля.

В случае стационарного (постоянного во времени) магнитно го поля мы показали, что

ò	r r
	H × dl = I.	9.7

l

Преобразуем полученное уравнение по теореме Стокса. Так к ак

I = ò j × dS,	òî ò	r r
		H × dl = ò j× dS , но по теореме Стокса
S	l	S
r r	r

ò H × dl = òrotH × dS. Следовательно,

lS

j
S1	S2

Рис. 51. К введению тока смещения

r	r
rotH	= j.	9.8

Выясним теперь справедливость этого уравнения в слу- чае переменных полей. Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую конденсатор. В этом случае в цепи будет протекать ток, заряжаю-

117

щий и разряжающий конденсатор. Выделим некоторую поверхность S1 замкнутой кривой так, чтобы проводник с током пронизывал эту поверхность (рис. 51). Тогда и для переменного тока будет справедлива формула 9.8. Но для поверхности S2, опирающейся на ту же кривую, это равенство не выполняется, так как поверхность током не пронизывается. Напрашивается вывод о том, что в уравнении 9.8 отсутствует слагаемое, зависящее от прои з- водных полей по времени. В случае стационарных полей эта п роизводная равна нулю.

Чтобы согласовать уравнения для постоянных и переменных полей, Максвелл ввел понятие тока смещения.

Между обкладками конденсатора существует переменное эл ектрическое поле, поэтому через него «протекает ток смещени я». По Максвеллу, «ток смещения» (переменное электрическое поле ) протекает в тех участках цепи, где нет проводников.

По Максвеллу, переменное электрическое поле (ток смещения) в конденсаторе в каждый момент времени создает такое магнитное поле, как если бы между обкладками конденсатора пр отекал ток проводимости силой, равной силе тока в подводящих проводах. Тогда можно утверждать, что плотность тока смещени я равна плотности тока проводимости.

Плотность тока проводимости вблизи конденсатора будет р авна

= I = 1 dq =

j

S S dt

dæ q ö = ds

ç÷ , dt è S ø dt

ãäå σ – поверхностная плотность заряда на пластинах конденсатора. Ранее мы показали, что для электрического поля в конденса то-

ре справедливо равенство s = e × e0 × E = D. Учитывая это, для плотности тока смещения можно получить выражение

jñì = dDdt .

r r

Так как направления векторов j, jñì выражение можно записать в виде

	r		r
		=	dD
	jñì			.
			dt

r

, E совпадают, то последнее

9.9

Обратим внимание на то, что ток смещения эквивалентен ток у проводимости только по способности создавать магнитное поле.

118

			r		r	r
Для электрического поля D = e0E + p, следовательно,
		r		r		r
			= e0	dE	+	dp
		jñì					,		9.10
				dt		dt
								r
ãäå e0	dE	– плотность тока смещения в вакууме,						dp	– плотность
								dt
	dt

тока поляризации. Возбуждение магнитного поля током поля ризации правомерно, так как токи поляризации ничем не отличаю тся от токов проводимости. Но тот факт, что и другая составляющ ая

æ	r
	dE ö
тока смещения ç e0		÷ , не связанная с движением зарядов, а
è	dt ø

обусловленная только изменением электрического поля во времени, также вызывает магнитное поле, является принципиально новым утверждением Максвелла.

Существование токов смещения было подтверждено опытами

À.À.Эйхенвальда.

Âобщем случае токи проводимости и токи смещения в пространстве неразделимы, они находятся в одном и том же объе ме. Поэтому Максвелл ввел понятие полного тока, равного сумме тока проводимости и тока смещения. Плотность полного тока

	r r	r	r		r
					dD
	j = jïð	+ jñì	= jcì	+		.	9.11
					dt

Вводя понятие полного тока, Максвелл по-новому подошел к рассмотрению вопроса о замкнутости цепей переменного то ка. По Максвеллу, полный ток всегда замкнут, т.е. на концах проводн и- ков обрывается лишь ток проводимости, а в диэлектрике име ется ток смещения, который и замыкает ток проводимости.

Максвелл обобщил теорему о циркуляции вектора напряженн ости магнитного поля, введя в правую часть выражения ток смеще ния:

rr

òH ×dl = ò

lS

æ r		r
	+	dD ö
ç j			÷dS .	9.12
è		dt ø

Это и есть второе уравнение Максвелла в интегральной форм е. Выражение 9.12 справедливо всегда, свидетельством чего явля ется полное совпадение теории и опыта.

119

ПолнаясистемауравненийМаксвелла дляэлектромагнитногополя

Открытие тока смещения позволило Максвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений. Эта теор ия не только объяснила все известные к этому времени экспери ментальные факты, но и предсказала ряд новых явлений, существ о- вание которых подтвердилось впоследствии.

Основу этой теории составляют уравнения Максвелла, котор ые в электродинамике играют ту же роль, что и законы Ньютона в механике или основные начала в термодинамике.

Полная система уравнений Максвелла в интегральной форме :

	r	r		dB
	ò E	× dl = - ò			dS
				dt
	l		S			r
				æ r
		r				dD ö
	ò H × dl =òç j +						÷dS
	l		S è			dt ø

r

ò D × dS = òr × dV

S	V	9.13

r

ò B × dS = 0.

S

Величины, входящие в эти уравнения, не являются независимыми, и между ними существует следующая связь:

r r r r r r

D = ee0 E, B = mm0H, j = gE,

ãäå ε0 , μ0 – соответственно электрическая и магнитная постоянные, ε, μ – диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества, γ – удельная проводимость вещества.

Из уравнений Максвелла вытекает, что электрические поля могут создаваться либо электрическими зарядами, либо изм еняющимся во времени магнитным полем. Источником магнитного п оля могут быть либо движущиеся электрические заряды (ток), либ о переменное электрическое поле.

Уравнения Максвелла несимметричны относительно электри - ческих и магнитных полей. Это связано с тем, что в природе с уществуют электрические заряды, а магнитных зарядов нет.

Используя теоремы Остроградского-Гаусса и Стокса, можно представить полную систему уравнений Максвелла в дифференциаль ной форме:

	r		dB	r	r
	rot E	= −		rot H	= j +	dD
			dt			dt	9.14
	r			r
	div D = ρ			div B = 0.

120