Электричество и магнетизм (Крахоткин В.И

и характеризует потери энергии E в системе за одно полное колебание.

Так как энергия колебания пропорциональна квадрату ампл и-

туды, то для затухающих колебаний будем иметь E = E0 × e−2βt. Дифференцируя данное выражение, можно найти скорость измене ния энергии системы:

dE = -2bE0 × e−2βt = -2bE. dt

Если затухание в системе достаточно мало, то изменение эн ергии системы за время, равное периоду колебания, можно найт и по формуле DE = -2β × E × T. Приняв во внимание выражения 11.14 и 11.16, придем к соотношению

E	=	Q
			.	11.17
DE		2p

Из выражения 11.17 следует, что при слабом затухании колебаний добротность, с точностью до множителя 2π, равна отношению энергии, запасенной в системе в данный момент времени , к убыли этой энергии за одно полное колебание.

Из формулы 11.16 с учетом уравнения 11.14 следует, что

Q = p = bT

Åñëè b2 << w2, òî w = w0 =

1			×	2p		=	w	.
2b				T 2b
		1			, тогда
		LC

Q = w0	= 1	L .	11.18
2b	R	C

Если условие не выполняется, то вместо колебаний происход ит апериодический разряд конденсатора.

Вынужденныеколебания

Чтобы вызвать вынужденные колебания, нужно оказывать на систему внешнее периодически изменяющееся воз действие. В случае электромагнитных колебаний это можно осущ е- ствить, если включить последовательно с элементами конту ра ЭДС,

131

которая изменяется по гармоничес-

L

R

Ñ

кому закону u = Um cos ωt (ðèñ. 57).

Закон Ома для неоднородного

участка цепи в этом случае запишется

â âèäå

Рис. 57. Возбуждение

IR +

q

+ L

dI

= Um cos ωt.

11.19

вынужденных колебаний

C

dt

Переходя от тока I к заряду q и

используя подстановки уравнений 11.5 и 11.11, получим

q′′ + 2βq′ + ω02q = Um cos ωt.

11.20

L

Решение этого неоднородного дифференциального уравнени я

надо искать в виде суммы двух слагаемых:

1) q = q0 e−βt cos (ω1t + α ),

ãäå

ω1 =

ω02

− β2,

2) q = qm cos (ωt + α),

ãäå

qm =

Um

,

tgα =

2βω

2 .

11.21

2

2

L

2

2

)

2

ω

2

ω0 − ω

(ω0 − ω

+ 4β

Первое слагаемое описывает поведение системы на начальн ом

этапе (установление колебаний), и при достаточно большом t

им можно пренебречь. Следовательно, второе решение описыв ает

x

установившие-

ся вынужден-

ные колебания

(ðèñ. 58).

Из формулы

t

11.21 следует,

что амплитуда

вынужденных

колебаний за-

висит от часто-

ты внешнего

Установление

воздействия ω.

колебаний

Легко

ïîêà-

Рис. 58. Вынужденные колебания

çàòü, ÷òî ðåçî-

132

нансная частота будет определяться выражением

wp = w02 - 2b2 ,

и в случае малого затухания можно считать, что wp = w0.

При резонансе напряжение на конденсаторе будет равно нап ряжению на индуктивности:

UC = qm C = Um × 1 × L = Um × Q, R C

т.е. будет превышать приложенное напряжение в Q раз.

Мы рассмотрели вынужденные колебания, возникающие при последовательном включении источника внешнего напряжен ия. Оче- видно, что вынужденные колебания можно осуществить, включ ив источник тока параллельно элементам контура. Резонансна я частота в этом случае также будет равна собственной частоте колеб аний.

Переменныйэлектрическийток. Действующеезначениепеременноготока инапряжения

Установившиеся вынужденные электрические колебания можно рассматривать как протекание в цепи переменног о тока, обусловленного переменным напряжением u = Um cos w × t.

Дифференцируя по времени равенство 11.21, найдем установившуюся силу тока в цепи:

æ

p

ö

= Im cos(wt + j),11.22

i = -w× qm sin (wt + a) = w× qm cosçwt +

2

+ a÷

è

ø

ãäå

Im = qm ×w =

Um

,

11.23

2

æ

1

ö2

R

+ çwL

-

÷

wC

è

ø

p ö

wL -

1

æ

1

wC

tgj = tg ç a +

÷

= -

=

,

11.24

tga

è

2 ø

R

ϕ – сдвиг фаз между током и напряжением.

133

Далее мы будем рассматривать только такие токи, сила кото - рых изменяется по синусоидальному закону, т.е. i = im sin (ωt + ϕ).

Это объясняется несколькими причинами. Во-первых, все технические генераторы переменного тока имеют ЭДС, изменяющуюся по закону, очень близкому к синусоидальному, и потому создаваемые ими токи изменяются по указанному закону.

Вторая причина заключается в том, что теория таких токов особенно проста, и поэтому на примере таких токов можно оч ень просто выяснить основные особенности электромагнитных колебаний.

Третья причина заключается в том, что колебания более сло ж- ной формы можно представить в виде суммы синусоидальных к о- лебаний (теорема Фурье). Таким образом, гармонические коле бания являются самым важным и самым простым типом колебаний.

Везде в дальнейшем мы будем считать, что колебания являют - ся установившимися, т.е. сила тока и напряжения достигли по стоянного значения.

Мгновенное значение мощности, выделяемой в цепи, равно произведению мгновенных значений тока и напряжения:

p (t ) = i × u = Im × Um ×cos (wt + j)cos wt .

11.25

Преобразуя это выражение, можно получить

p (t ) =	Im × Um	(cos(2wt + j) + cos j) .	11.26
2

Практический интерес имеет среднее по времени значение p( t). Так как среднее значение cos (2(wt + j)) = 0, òî

p = Im Um cos j =			Um × Im		cos j = UI cos j.	11.27
2	2 × 2
Величины U = Um	è I =	Im		получили название действующих

2 2

значений переменного тока и напряжения.

В выражении 11.27 для мощности переменного тока множитель cos ϕ и называют коэффициентом мощности.

134

Рассмотрим частные случаи.

Активное сопротивление в цепи переменного тока. Пусть к за-

			жимам сопротивления R (не об-
			ладающего индуктивностью и
	R
			емкостью – такое сопротивле-
			ние получило название актив-
			ного) приложено переменное

Рис. 59. Активное сопротивление	напряжение
в цепи переменного тока	u = Um cos ωt . 11.28

Сила тока в этом проводнике (рис. 59) будет определяться законом Ома:

i =	u	=	Um	cos ωt = Im cos ωt.	11.29
	R R

Таким образом, между амплитудными значениями тока и напряжения имеем соотношение

Im =

Um

,

UR

IR

R

а сдвиг фаз между током и напря-

Рис. 60. Векторная диаграмма

жением в этом случае равен нулю.

для активного сопротивления

Векторная диаграмма представлена

на рисунке 60.

Индуктивность в цепи перемен-

ного тока. Индуктивное сопротив-

L

ление. Включим в цепь переменного

тока катушку индуктивности L с

пренебрежимо малым активным со-

противлением (R = 0, C → ∞) (ðèñ.

u = Um cos ωt

61). В этом случае закон Ома для

неоднородного участка

öåïè

Рис. 61. Индуктивность в цепи

запишется в виде ϕ1 − ϕ2 + E = 0. Òàê

переменного тока

êàê ϕ − ϕ = u, E = −L

di

, òî u = L

di

. Отсюда найдем, что

1

2

dt

dt

di =

u

dt =

Um

cos ωt .

11.30

L

L

135

После интегрирования этого выражения будем иметь

i = - Um w× L

ãäå Im =	Um	.
	w× L

		Um	æ	p ö	æ	p ö
	sin wt =		cosçwt -	÷	= Im cosç wt -	, 11.31
		w× L
			è	2 ø	è	2 ø

Из выражения 11.31 следует, что роль сопротивления в данном случае играет величина

						XL = ωL	11.32
называемая реактивным индуктивным сопротивлением.
						Из сравнения выражений 11.28
				UL
						и 11.31 следует, что сдвиг фаз меж-
						ду током и напряжением равен − π,
							2
						причем ток отстает от напряжения.
	IL					Векторная диаграмма представлена
						на рисунке 62.
Рис. 62. Векторная диаграмма						Отметим, что возникновение ре-
	для индуктивности L					активного индуктивного сопротив-
						ления связано с возникновением

ЭДС самоиндукции в катушке при протекании в ней переменно го тока, направленной, по правилу Ленца, против основного ток а.

Емкость в цепи переменного тока. Емкостное сопротивление .

Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую емкость С (R = 0, C = 0) (рис. 63). Индуктивность и активное сопротивление цепи малы, и ими можно пренебречь, поэтому можно считать, что все напряжение приложено к конденсатору, тогда

q

= Um cos ωt.

C

Отсюда

Ñ

q = CUm cos ωt.

11.33

По определению i =

dq

, поэто-

u = Um cos wt

dt

му, дифференцируя выражение 11.33

Рис. 63. Емкость в цепи

по времени, получим

переменного тока

136

æ	p ö
i = -wCUm sin wt = Im cosçwt +	,
è	2 ø

ãäå Im	=	Um		.
	1
		ωC

Величина

X = 1

C ωC

11.34

11.35

получила название реактивного емкостного сопротивления.

I Сравнивая уравнения 11.28 и

C

11.35, получаем, что на емкости сдвиг фаз между током и напряже-

UC	нием равен p, причем ток опережа-
	2

ет напряжение. Векторная диаграм-

Рис. 64. Векторная диаграмма ма приведена на рисунке 64. для емкости С

Последовательноесоединение. Резонанснапряжений

Рассмотрим цепь переменного тока, состоящую из последовательно соединенных активного сопротивления R, инду к- тивности L и емкости С, к которой приложено напряжение u = Um cos ωt. В цепи возникает переменный ток той же частоты ω, амплитуда и фаза которого, очевидно, определяются парамет рами электрической цепи R, L и C. Векторная диаграмма представлен а на рисунке 66.

L				R			Ñ

u = Um cos wt

Рис. 65. Последовательное соединение R, L, C

Падения напряжения на элементах цепи uR , uL , uC в сумме должны быть равны приложенному к цепи напряжению u. Поэтому, сложив векторы, изображающие uR , uL , uC , мы получим вектор, изображающий u. Этот вектор образует с осью токов угол ϕ, тангенс

137

uL

которого, как видно из рисун-

ка 66, равен

u

1

j

tgj = wL - wC .

11.36

i

R

uR

Из прямоугольного треуголь-

ника следует, что

uC

= (I

R)2 +æI

1 ö

2

U2

wL - I

. 11.37

m

m

m

Рис. 66. Векторная диаграмма для

m

ç

÷

è

wC ø

последовательного соединения

Отсюда

Im =

Um

.

11.38

R

2

+

æ

-

1

ö2

çwL

÷

è

wC ø

Величина

Z =

R

2

æ

1

ö2

11.39

+ çwL -

wC

÷

è

ø

называется полным сопротивлением цепи переменного тока , а ве-

личину

X = ωL −

1

11.40

ωC

называют реактивным сопротивлением цепи. Тогда

Z = R 2 + X2 .			11.41

Ток опережает напряжение, если wL < 1 , и отстает от напря- wC

1
жения в противном случае. При wL =				сдвиг фаз равен нулю.
			wC
Отсюда следует, что резонансная частота
wp = w0 =	1	.		11.42
	LC

При этом полное сопротивление цепи Z = R имеет минимальное значение, а сила тока в цепи достигает максимального з наче-

íèÿ Im = Um . В этом случае падение напряжения на активном со-

R

138

противлении равно приложенному напряжению, а напряжения на конденсаторе и индуктивности одинаковы по величине и про тивоположны по фазе. Это явление получило название резонанс а напряжений. Подставляя в формулу для напряжения на конденса торе силу тока и резонансную частоту, получим

UCp	=	L	×	Um	=	1		L	× Um = Q × Um,	11.43
		C R R						C

где Q – добротность.

Åñëè L > R, то напряжение на индуктивности и емкости бу-

C

дет больше внешнего напряжения, приложенного к цепи. Явление электрического резонанса широко используется в ра-

диотехнике.

Параллельноесоединение. Резонанстоков

L		Рассмотрим цепь, образованную
		включенными параллельно емкостью С

Ñи индуктивностью L (рис. 67). Будем считать, что активное сопротивление

							обеих ветвей настолько мало, что им
	u Um cos t						можно пренебречь. Векторная диаграм-
							ма будет иметь вид, представленный на
							рисунке 68. Из рисунка 68 видно, что
	Рис. 67. Параллельное						токи в отдельных ветвях IC è IL			проти-
	соединение L и C						воположны по фазе и тогда ток в под-
	iC						водящих проводах равен I = IL – IC. Ïðè
							условии IL = IC получаем, что ток в
							подводящих проводах равен нулю, хотя
							токи в отдельных ветвях могут быть
				u
							очень велики. Это явление получило на-
	iL						звание резонанса токов. Легко получить,
	Рис. 68. Векторная						что и в этом случае резонансная частота
										1
диаграмма для параллельного							определяется выражением ω		=		.
								p
	соединения									LC

139

Символическийметод

Расчет цепей переменного тока значительно упрощается, если воспользоваться символическим методом.

Комплексным числом Z называется число вида

Z = x + jy,	11.44
где х – вещественная часть, y – мнимая часть числа, j =	-1 –

мнимая единица.

Комплексное число вида 11.44 можно задать с помощью декартовых координат х и y соответствующей точки. Однако то же са мое число мы можем задать и с помощью полярных координат ρ è ϕ:

õ = rcosj, y = rsin j .

11.45

Учитывая формулы 11.45, комплексное число 11.44 можно задать в виде

Z = r(cos j + j × sin j),	11.46
ãäå ρ = x2 + y2 – модуль комплексного числа, ϕ – аргумент.
В математике доказываются соотношения
e jϕ = cos j + j × sin j è e− jϕ = cos j - j× sin j .	11.47

С помощью формул 11.47 комплексное число 11.46 можно представить в показательной форме:

Z = rejϕ.

11.48

При сложении комплексных чисел складываются отдельно их вещественные и мнимые части:

Z1 + Z2 = (x1 + x2 ) + j(y1 + y2 ).

Умножение комплексных чисел удобно производить, беря их в показательной форме:

Z1 × Z2 = r1 ×r2 × ejϕ1 × ejϕ2.

В заключение отметим, что представление колебаний с помощью комплексных выражений тесно связано с векторными диа г- раммами.

Рассмотрим теперь цепь переменного тока. Пусть сила тока в цепи будет изменяться по закону i = Im sin ωt. Пользуясь комплексными числами, это колебание можно записать в виде

140