Электричество и магнетизм (Крахоткин В.И

	Следовательно, магнитное действие тока зависит от произв еде-
	íèÿ I × dl, ãäå dl – вектор, имеющий длину dl и направленный
	вдоль тока. Это произведение называют элементом тока.
	Понятие элемента тока играет в учении о магнетизме ту же
	роль, что и точечный заряд в электростатике. Закон взаимод ей-
	ствия элементов тока (по аналогии с законом Кулона) можно
	записать в виде
		r	r
	F = k I1dl1		× I2 dl2 ,	5.1
			r2
	где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбо ра
	системы единиц. В международной системе этот коэффициент при-
	нимается равным k = 1 .
	4π
	Для объяснения взаимодействия проводников с током было в ве-
	дено понятие магнитного поля (по аналогии с электрически м по-
	лем). Основное свойство магнитного поля – оно возникает во круг
	проводника с током и обнаруживается по действию на провод ник
	с током или магнитную стрелку.
	Напряженностьииндукциямагнитногополя
	Для количественной характеристики магнитного поля
	служит величина, получившая название напряженности магн ит-
	r	ного поля H, которую мы опреде-
		лим по аналогии с напряженностью
	dH
		электрического поля. Если выраже-
		ние 5.1 разделить на I2 dl 2, òî ïî-
		лучим
	α		r
			r
	r		dH = k I1d2l1 .	5.2
	dl		r
		Эта величинаr зависит лишь от
		элемента тока I1d l1 и положения той
		точки, где находится элемент тока
		и поэтому характеризует магнитное
	Рис. 29. К расчету	ïîëå òîêà I1 в данной точке. Направ-
	магнитного поля тока	ление вектора dH перпендикулярно
				71

r r

плоскости, содержащей векторы d l è r, и определяется с помощью правила правого винта: если направление поступательного перемещения правого винта совпадает с направлением тока в п роводнике, то направление вращения головки винта дает направле ние вектора напряженности магнитного поля в данной точке.

Магнитное поле, так же как и электрическое, можно изображать с помощью линий напряженности магнитного поля.

Непрерывная линия, касательная к которой в каждой точке с о- впадает с вектором напряженности магнитного поля, называ ется линией напряженности магнитного поля.

В отличие от силовых линий электрического поля, линии напряженности магнитного поля не имеют ни начала, ни конца. О ни либо замкнуты, либо начинаются в бесконечности и уходят в бесконечность. Замкнутость линий напряженности говорит о то м, что магнитных зарядов (подобных электрическим зарядам) в при роде

не существует.

r

Напряженность магнитного поля H характеризует магнитное поле, создаваемое макроскопическими токами, и поэтому опр еде-

ляется их величинами, конфигурацией в пространстве и не з ави- r

сит от свойств среды (аналог электрического смещения D в элект-

ростатике). Рассматривая электрическое поле, мы вводили н апря-
r
женность электрического поля E, которая зависит от свойств среды
r	r
и связана с электрическим смещением выражением D = εε0E. Ïî
	r
аналогии для магнитного поля можно ввести величину	B – вектор

индукции магнитного поля, который связан с напряженность ю
		r
магнитного поля H соотношением
			r	r
			B = mm0H,		5.3
ãäå m0 = 4p×10	−7	Ãí	– магнитная постоянная, μ – магнитная про-
		ì

ницаемость среды.

72

Закон Био – Савара – Лапласа для элемента тока. Расчетмагнитныхполей

В том же 1820 году магнитное поле постоянных токов изучалось на опыте Био и Саваром. Результаты опытов были м атематически обработаны Лапласом, поэтому закон получил наз вание закона Био – Савара – Лапласа.

Для элемента тока они получили формулу

dH =	I × dl	sin a,	5.4
	4pr2

где r – расстояние от элемента тока до рассматриваемой точ ки, α – угол между направлением тока и направлением на рассматриваемую точку (рис. 29). Чтобы найти результирующий вектор напряженности, создаваемый проводником с током конечной дл и- ны, надо на основании принципа суперпозиции полей просумм и- ровать все элементарные напряженности, т.е.

H= ådHi.

i=1

Âобщем случае этот расчет довольно сложен, но если провод - ник имеет симметрию, то расчет упрощается. Рассмотрим нек оторые примеры.

Магнитное поле прямого тока. Определим напряженность магнитного поля, создаваемого прямолинейным проводником с т о-r N r

ком в точке А (рис. 30). Из рисунка видно, что dl × sin a = r × da è R = r × sin α. Подставляя эти значе-

		dH	ния в закон Био – Савара – Лап-
		R	ласа (уравнение 5.4), получим
		À		I
	a	da		dH = 4pR sin a × da.
			Интегрируя полученное выра-
		r
			жение, для напряженности маг-
	dl
			нитного поля прямого проводни-
			ка конечной длины получим вы-
			ражение
	Рис. 30. К расчету магнитного			I
			H =	4pR (cos a1 - cos a2 ) . 5.5
	поля прямого тока.

73

Для бесконечно длинного проводника α1 = 0, α2 = 180°, тогда

H =	I	.	5.6
	2pR

Магнитное поле кругового тока. Определим напряженность м агнитного поля в центре кругового тока. В этом случае все эле менты проводника перпендикулярны к радиус-вектору, поэтому sin α = 1,

тогда dH = 1 dl . Все элементы тока создают напряженность поля

4p r2

одного направления, поэтому полная напряженность в центр е кругового тока будет определяться по формуле

H = ò	I	×	dl	=	I	,	5.7
	4p		r2		2R

где R – радиус кругового тока.
		Y			Определим напряжен-
			r		ность магнитного поля в
		r	dH		точке С, лежащей на оси
					кругового тока на рассто-
R	β
					янии b от его центра. Век-
				X	r
	b	Ñ			òîð dH перпендикулярен
					плоскости, проходящей
					через	векторы	r
							r è dl
					(рис. 31). Следовательно,
Рис. 31. К расчету напряженности					они образуют симметрич-
магнитного поля на оси кругового тока					ный конический веер. Раз-
					ложив вектор dH íà ñî-
ставляющие dHX è dHY, получим, что ådHY = 0, à H = ådHX.
Учитывая, что dHX = dH ×sin β, будем иметь

	I Rdl				I 2pR 2				I × R 2
H = òdH × sin b =		ò		=				=		.
	4p		r3		4p r3				2r3

Заменив r = R2 + b2 , окончательно получим

H =	I		R 2			.	5.8
3
	2 (R 2 + b2 )
				2

74

r

Циркуляциявектора H.

Магнитноеполесоленоидаитороида

По аналогии с электрическимrполем можно ввести вели-

чину, называемую циркуляцией вектора H напряженности по произвольному контуру. Ранее мы показали, что для электричес кого

		r	r
		ïîëÿ ò E	×dl = 0. Найдем значение ин-
		l	r
	r	теграла ò H ×dl для магнитного поля,
I	H
		l

Rсозданного бесконечным проводником с током I. Выберем контур в виде окружности радиусом R, центр кото-

		рой совпадает с проводником (рис. 32).
Рис. 32. К расчету r		В этом случае по выражению 5.6
		I
циркуляции вектора H					= R	×dj , тогда
		H = 2pR , à d		l
ò H ×dl = ò		I × dj =	I ò dj = I.			5.9
l	l	2p	2p l

r N r

Если воспользоваться принципом суперпозиции полей H = åHi,

i=1

то можно показать, что в случае, когда контур охватывает не один, а несколько токов, то

r r	N	r	r N
ò H ×dl = å ò Hi			×dl = åIi .	5.10
l	i=1	l	i=1

r

Циркуляция вектора H по произвольному контуру равна алгебра- ической сумме токов, охватываемых этим контуром.

Знак тока определяется правилом правого винта: если напра в- ление тока совпадает с направлением поступательного пер емещения правого винта, то ток считается положительным, в проти в- ном случае – отрицательным. Если контур токов не охватывает, то

r r

ò H × dl = 0, так как в этом случае верхний и нижний пределы

l

интегрирования в выражении 5.9 совпадают.

75

Воспользуемся полученным результатом для определения н апряженности магнитного поля соленоида. В этом случае, как пок азывает опыт, поле сосредоточено внутри катушки, а за ее предела ми поля практически нет. Выберем прямоугольный контур со сто роной l , который охватывает N витков катушки. Тогда по уравнению 5.10

будем иметь ò	r			r
	H × dl = N × I, но с другой стороны,			ò H × dl = H × l,
l				l
следовательно,
	H =	NI	= nI ,	5.11
		l

ãäå n = N – число витков на единицу длины катушки. l

Важное значение для практики имеет магнитное поле тороида – кольцевой катушки, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора. Магнитное поле сосредоточено внутри т ороида, вне его поле практически отсутствует. Для расчета нап ряженности магнитного поля тороида используется выражение 5.11, т олько берется длина средней линии.

		Потоквекторамагнитнойиндукции.
				r
		ТеоремаГауссадлявектора B
		Пусть площадку dS пронизывает магнитное поле с ин-
				r
	дукцией В, так что направление вектора B образует угол α ñ íà-
	правлением нормали к площадке (рис. 33).
	r		r	Потоком вектора магнитной индукции
			B	(магнитным потоком) через площадку dS
	n	α
				называется величина
	dS
				dF = B × dS × cos α.	5.12
				r
				Поток вектора B – величина скаляр-
	Рис. 33. К определению			ная, знак потока определяется направле-
	магнитного потока			нием положительной нормали к контуру.
					r
				Как правило, поток вектора B связывают
	с контуром, по которому течет ток. В этом случае направлени е
	положительной нормали к контуру связывают с током правил ом
	правого винта. Таким образом, магнитный поток, создаваемы й

76

контуром с током через поверхность, ограниченную им самим, всегда положителен. Поток вектора магнитной индукции чер ез произвольную поверхность S определяется по формуле

F = òBn × dS.

5.13

S

r

Теорема Гаусса для поля вектора B: поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность всегда равен нулю,

ò.å.

F = ò B × dS = 0.

5.14

S

Это связано с тем, что линии магнитной индукции замкнуты, поэтому число линий, входящих в поверхность с одной сторо ны, равно числу линий, выходящих с другой стороны.

СилыАмпераиЛоренца

Ампер на опыте установил, что на проводник с током в магнитном поле действует сила

										r r
r										F = I élBù,	5.15
B				a					I	ë û
										модуль которой определяется по формуле
										F = I × B × l ×sin a,
						r				а направление – по правилу правого винта
										или правилу «левой руки» (рис. 34).
						F
										Возникновение этой силы связано с тем,

Рис. 34. Сила Ампера что магнитное поле действует на заряжен-

	ные частицы, движущиеся в проводнике с
некоторой скоростью	r
	v. Сила, действующая на заряд в этом слу-
чае, называется силой Лоренца и определяется по формуле
	r r
	F = q ëévBûù,	5.16

а ее модуль

F = q × v × B×sin α,

ãäå α – угол между направлениями скорости частицы и вектора магнитной индукции.

Отметим, что магнитное поле не действует на покоящийся за - ряд, и в этом состоит существенное отличие магнитного пол я от электрического.

77

Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости частицы (ее перемещению) и поэтому работы не совершает, а следовательно, не изменяет кинетической энергии частицы.

Выражение для силы Лоренца (5.16) позволяет определить характер движения заряженной частицы в магнитном поле. Пр и

α = 90° частица движется по окружности радиусом R = mv . Åñëè qB

óãîë α удовлетворяет условию 0 < α < 90°, то частица движется по

спирали с радиусом R и шагом h. r

Если скорость частицы v составляет угол α с вектором магнит- r

ной индукции B неоднородного магнитного поля, индукция которого возрастает в направлении движения частицы, то R и h уменьшаются. На этом основано явление фокусировки заряже н- ных частиц в магнитном поле.

Контурстокомвмагнитномполе

Рассмотрим контур с током, находящийся в однород- r

ном магнитном поле. Выделим элемент контура d l. На него в магнитном поле будет действовать сила, согласно уравнению 5.15 равная

r

r

r

F

dF = I édl

× Bù. Результирующая

I

ë

û

r

сила, действующая на контур,

B

будет равна геометрической сум-

ме сил, действующих на отдель-

ные элементы контура, т.е.

F

r

=

ò

r

r

ò

r

Рис. 35. Контур с током

F

édl × Bù = IB

dl = 0. 5.17

ë

û

в однородном магнитном поле

l

l

Следовательно, в однородном

магнитном поле результирующая сила, действующая на контур с током, будет равна нулю и конт ур перемещаться не будет.

Для простоты рассуждений возьмем прямоугольный контур с о

сторонами «а» и «b» (рис. 35). В магнитном поле на него будет r

действовать вращающий момент пары сил F, поэтому контур будет вращаться. Вращающий момент пары сил M = F ×b ×sin α, íî

78

F = I × B × a, следовательно, M = a × b × I ×B ×sin α. Òàê êàê a × b = S –

площадь контура, то M = I × B ×S ×sin α. Введем вектор	r
	p = I ×S , íà-

зываемый вектором магнитного момента контура. Его направ ление совпадает с направлением положительной нормали к контур у, которая определяется с помощью правила правого винта. Тогда для вращающего момента, действующего на контур с током в магн итном поле, получим выражение

r r
M = pBsin a = ëépBûù .	5.18

Очевидно, что M = 0 при sin a = 0, т.е. контур с током в магнитном поле ориентируется так, чтобы его вектор магнит ного момента был параллелен вектору магнитной индукции.

Рассмотрим контур, находящийся в неоднородном поле. Работа, совершаемая при повороте контура на угол da, определяется по формуле dA = M Ч da. С учетом уранения 5.18 получим

dA = p × B ×sin a × dα.

Полная работа
A = òdA = òp × B ×sin a × da = -pB cos a.	5.19

Потенциальная энергия контура с током в магнитном поле будет определяться этим же выражением.

Ранее мы показали, что FX = - dW , следовательно, на контур с dx

током в неоднородном магнитном поле будет действовать си ла

	FX = p ×	dB	× cos a.	5.20
		dx
Ïðè a < 90°, Fx	> 0 контур втягивается в поле, при a > 90°,
Fx < 0 контур выталкивается из поля.

Работапоперемещениюпроводника иконтурастокомвмагнитномполе

На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера. Если при этом проводник не закреплен, то он буд ет перемещаться в магнитном поле. Следовательно, магнитное п оле будет совершать работу.

79

	B	Рассмотрим проводник длиной l
		с током I, способный свободно пе-
	r	ремещаться в магнитном поле с ин-
	F	r
		дукцией B, направленной перпен-
		дикулярно проводнику (рис. 36). В
	dx	этом случае на проводник будет дей-
		ствовать сила Ампера F = B × I × l, è
	Рис. 36. К определению работы	при перемещении проводника на
	по перемещению проводника	расстояние dx будет совершена рабо-
	с током в магнитном поле	òà dA = I × B × l × dx, íî l ×dx = dS,
		a B × dS = dF, тогда dA = I × dF. Èí-

тегрируя данное выражение, получим, что работа по перемещ е- нию проводника с током в магнитном поле будет определятьс я выражением

				A = I × DF ,		5.21
	где DФ – магнитный поток, пересеченный проводником.
					Найдем работу по перемещению
		à			замкнутого контура с током в маг-
					нитном поле. Пусть контур, двига-
					ясь в плоскости чертежа, совершает
	c	DF1	d	DF2	бесконечно малое перемещение dx из
					состояния I в состояние II (рис. 37).
			DF0
					Разобьем контур на два проводни-
					ка, соединенных своими концами
		b	dx		(adb, bca). Полная работа dA по пе-
					ремещению контура будет равна сум-
	Рис. 37. К определению работы
	по перемещению контура				ме работ dA1 è dA2	по перемещению
	с током в магнитном поле				каждого из проводников. По форму-
					ëå 5.21 dA1 = I(DF0 + DF1 ) > 0, à
	dA2	= I(DF0 + DF2 ) < 0, тогда
				dA = I(DF2 - DF1 ) = I × DF ,		5.22

т.е. работа по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока на изменение магнитного пот ока, пронизывающего этот контур. Формула 5.22 остается справедли вой и при произвольном перемещении контура.

80