Электричество и магнетизм (Крахоткин В.И

218.Конденсатор емкостью 20 мкФ и активное сопротивление 150 Ом включены последовательно в цепь переменного тока с частотой 50 Гц. Во сколько раз напряжение на конденсаторе ме ньше напряжения, приложенного к цепи?

219.Индуктивность 2,26 мГн и активное сопротивление R вклю- чены параллельно в цепь переменного тока с частотой 50 Гц. Н айти сопротивление R, если известно, что сдвиг фаз между током и напряжением равен 60°.

220.Активное сопротивление R и индуктивность L соединены параллельно и включены в цепь переменного тока напряжени ем 127 В и частотой 50 Гц. Найти активное сопротивление R и индуктивность L, если известно, что мощность, поглощаемая цепью, равна 404 Вт и сдвиг фаз между током и напряжением равен 60°.

221.В цепь переменного тока напряжением 220 В включены последовательно емкость С, активное сопротивление R и инд ук-

тивность L. Найти напряжение на активном сопротивлении UR, если известно, что UC = 2UR è UL = 3UR.

222.Катушка с активным сопротивлением 10 Ом и индуктивностью L включена в цепь переменного тока напряжением 127 В

èчастотой 50 Гц. Найти индуктивность катушки, если известно , что катушка поглощает мощность 400 Вт, а сдвиг фаз между током и напряжением равен 60°.

223.Активное сопротивление 20 Ом и индуктивность 0,1 Гн соединены последовательно и включены в цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц. Какая мощность будет выделяться в цепи?

224.Конденсатор и электрическая лампочка соединены последовательно и включены в цепь переменного тока напряжение м 440 В и частотой 50 Гц. Какую емкость должен иметь конденсатор, чтобы через лампочку протекал ток 0,5 А при напряжении н а ней 110 В?

225.Катушка с активным сопротивлением 20 Ом и индуктивностью 0,11 Гн включена в цепь переменного тока напряжением 127 В и частотой 50 Гц. Найти мощность, потребляемую катушкой.

226.В цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц включены последовательно емкость 35,4 мкФ, индуктивность 0,7 Гн и активное сопротивление 100 Ом. Определить мощность, выделяющуюся в цепи.

151

227.Конденсатор емкостью 20 мкФ и активное сопротивление 150 Ом соединены параллельно и включены в цепь переменного тока с частотой 50 Гц. Во сколько раз ток в конденсаторе мень ше общего тока в цепи?

228.Активное сопротивление 10 Ом и индуктивность 0,05 Гн соединены параллельно и включены в цепь переменного тока с частотой 50 Гц. Во сколько раз ток в индуктивности меньше то ка в неразветвленной части цепи?

229.Используя символический метод, определить полное со-

противление Z и сдвиг фаз tg ϕ между током и напряжением при последовательном соединении активного сопротивления R и индуктивности L.

230.Используя символический метод, определить полное сопротивление Z и сдвиг фаз tg ϕ между током и напряжением при последовательном соединении емкости С и индуктивности L.

231.Используя символический метод, определить полное со-

противление Z и сдвиг фаз tg ϕ между током и напряжением при последовательном соединении активного сопротивления R и емкости С.

232.Используя символический метод, определить полное сопротивление Z и сдвиг фаз tg ϕ между током и напряжением при параллельном соединении активного сопротивления R и инду к- тивности L.

233.Используя символический метод, определить полное со-

противление Z и сдвиг фаз tg ϕ между током и напряжением при параллельном соединении емкости С и индуктивности L.

234.Используя символический метод, определить полное сопро - тивление Z и сдвиг фаз tg ϕ между током и напряжением при параллельном соединении активного сопротивления R и емко сти С.

235.Параллельно активному сопротивлению R включены последовательно соединенные емкость С и индуктивность L. Исп ользуя символический метод, определить полное сопротивлени е Z и

сдвиг фаз tg ϕ между током и напряжением.

236. Параллельно конденсатору емкостью С подключена катушка индуктивности с активным сопротивлением R и индуктивностью L. Используя символический метод, определить полное сопро тивление Z и сдвиг фаз tg ϕ между током и напряжением.

237. Параллельно индуктивности L включены последовательно соединенные емкость С и активное сопротивление R. Использ уя

152

символический метод, определить полное сопротивление Z и сдвиг фаз tg ϕ между током и напряжением.

238. Параллельно конденсатору емкостью С подключена катушка индуктивности с активным сопротивлением R и индуктивностью L. Используя символический метод, определить полную проводимость Y и сдвиг фаз tg ϕ между током и напряжением.

239. Параллельно активному сопротивлению R включены последовательно соединенные емкость С и индуктивность L. Исп ользуя символический метод, определить полную проводимость Y и сдвиг фаз tg ϕ между током и напряжением.

240.Используя символический метод, определить полную проводимость Y и сдвиг фаз tg ϕ между током и напряжением при параллельном соединении активного сопротивления R и инду к- тивности L.

241.Используя символический метод, определить полную про-

водимость Y и сдвиг фаз tg ϕ между током и напряжением при параллельном соединении емкости С и индуктивности L.

242. Параллельно индуктивности L включены последовательно соединенные емкость С и активное сопротивление R. Использ уя символический метод, определить полную проводимость Y и с двиг фаз tg ϕ между током и напряжением.

1.12.Основы классической электронной теории проводимости металлов

Экспериментальноедоказательство электроннойприродытокавметаллах. ЭффектХоллаиегоприменение

Согласно классической теории проводимости, металлы представляют собой кристаллическую решетку, в которой движутся свободные электроны. Эта теория была создана Друде и детально разработана Лоренцем. Ее основные положения подтв ерждены целым рядом опытов.

153

Первый из них – опыт Рикке (1901 г.), в котором электрический ток пропускался через три тщательно взвешенных и посл едо-

вательно соединенных цилиндра (Cu - Al - Cu) в течение года. Несмотря на то что через цилиндры протекал огромный заряд

(4 ×106 Êë), обнаружить следы переноса вещества не удалось. Это

явилось доказательством того, что ионы металлов в перенос е заряда не участвуют.

Âопыте Мандельштамма и Папалески (1913 г.) катушку из большого числа витков приводили в быстрые крутильные кол ебания и при этом в телефоне, на который была замкнута катушка , прослушивался шум, обусловленный движением электронов.

Âопыте Стюарта и Толмена (1916 г.) катушку приводили во вращение (при этом линейная скорость проводника достигал а

300ì) и затем резко тормозили. Возникающий при этом импульс

ñ

тока регистрировался баллистическим гальванометром. По величи- не импульса тока можно было определить удельный заряд час тиц, переносивших заряд. Стюарт и Толмен показали, что у всех ме таллов удельный заряд частиц одинаков и совпадает со значени ем удельного заряда электрона, а знак заряда отрицательный.

rЭффект Холла – возникнове-

		B	ние в проводнике (или полупро-
			r
	Dj	I	воднике) с током плотностью j,
d			r
			расположенном в магнитном поле
			с индукцией B, перпендикулярной
			вектору плотности тока, попе-
	Рис. 70. Эффект Холла		речной разности потенциалов
			(ðèñ. 70):

Dj = R × j× d,

12.1

ãäå R = 1 – постоянная Холла, зависящая от рода вещества, e × n

d – толщина образца.

По измеренному значению постоянной Холла R можно:

–определить концентрацию носителей при известном заряд е;

–определить знак заряда, так как знак эффекта совпадает с о знаком носителей заряда.

154

Эффект Холла – наиболее эффективный метод изучения энергии носителей заряда в металлах и полупроводниках и испол ьзуется при создании датчиков Холла.

Классическаятеорияэлектронногогаза втвердомтеле

Существование свободных электронов в металлах можно объяснить следующим образом: при образовании кристалл и- ческой решетки валентные электроны, наиболее слабо связа нные с атомом, отрываются от него и становятся свободными. Своб одные электроны образуют электронный газ, обладающий всеми свойствами идеального газа.

Применяя выводы молекулярно-кинетической теории к элект - ронному газу, можно найти среднюю скорость теплового движ е- ния электронов:

u =	8kT	Þ u =105	ì	.
	pm
		ñ

Тепловое движение, являясь хаотическим, не может привести к возникновению тока.

Из формулы плотности тока j = e × n × v можно определить сред-

нюю скорость упорядоченного движения электронов v =10−3 ì è

ñ

таким образом можно утверждать, что v << u.

Пусть в металлическом проводнике существует электричес кое r

поле с напряженностью E. В этом случае на электрон будет дей-

ствовать сила F = e × E, и он будет двигаться с ускорением a = e × E. m

К концу свободного пробега электрон приобретает скорост ь

vm = e × E × t, ãäå τ – время свободного пробега. Согласно теории m

Друде, электрон при столкновении с ионом отдает ему всю эн ергию и останавливается, поэтому начальная скорость электр она равна нулю, т.е. v0 = 0. Так как электрон движется равноускоренно, то

средняя скорость электрона v = vm + v0 = e × E × t. Учитывая, что

2 2m

155

время свободного пробега электрона t = λ, ãäå λ – длина свобод- u

ного пробега электрона, получим, что скорость упорядоченн ого

движения электронов в металле v = e × E × l.

2m × u

Учитывая полученное значение скорости для плотности ток а в металле, получим выражение

j =	n ×e2 × E × l			.	12.2
Если ввести обозначение		2m × u
g =		n × e2 × l	,		12.3
		2mu
то будем иметь закон Ома в дифференциальной форме:
	j = g × E.				12.4

К концу разгона электрон будет обладать кинетической эне р-

ãèåé
T =	mvm2	=	e2 × E2 × l2	.
2			2m × u

Эту энергию электрон при столкновении с ионом будет передавать ему, поэтому проводник с током будет нагреваться. В единицу времени электрон будет испытывать число столкновен ий

z = 1t = lu . Так как концентрация электронов равна n, то в единице объема в единицу времени будет происходить число столкно вений

Z = z × n = nl× u и в единице объема будет выделяться энергия

w = ZT =	n ×e2 × E2 × l	.	12.5
	2m × u

Учитывая выражение 12.3, получим закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме: w = g × E2 .

156

ЗаконВидемана–Франца

Металлы обладают не только высокой электропроводностью, но и высокой теплопроводностью. Это объясняется т ем, что носителями заряда и энергии в металлах являются одни и те же частицы – электроны, которые, перемещаясь в проводнике , переносят не только заряд, но и энергию.

В 1853 году Видеман и Франц на опыте установили закон, согласно которому отношение коэффициента теплопроводно стиχ к удельной проводимости γ для всех металлов при одной и той же температуре одинаково и линейно растет с ростом температ уры:

	= bT.	12.6
g

Найдем значение β для идеального электронного газа. Из моле- кулярно-кинетической теории следует, что коэффициент теп лопроводности χ определяется по формуле

	c =	1	n × m × u × l ×c ,						12.7
	3							V
ãäå		cV		=	3	×	k		12.8
							m
				2

удельная теплоемкость электронного газа при постоянном объеме. Подставляя уравнение 12.8 в выражение 12.7, получим

c =	1	n × u × k × l .	12.9
2

c

Тогда для отношения g с учетом уравнения 12.3 получим вы-

ражение

c = 3× k2 × T . g e2

Если обозначить

b = 3k 2 , e2

то получим закон Видемана – Франца (уравнение12.6). Полученно е значение β хорошо согласуется с экспериментальными данными.

157

Трудностиклассическойтеории

Несмотря на очевидные успехи в объяснении ряда законов, классическая электронная теория проводимости мет аллов столкнулась с рядом существенных затруднений:

–прежде всего, классическая теория не могла объяснить по явления свободных электронов в металлах;

–мы пришли к выводу о том, что γ = ne2 λ, но средняя ско-

2mu

рость теплового движения электронов u = T , следовательно, зависимость удельной проводимости от температуры должна и меть

âèä γ = 1 , но опыт говорит о том, что γ = 1 ;

T T

–если учесть наличие электронного газа, то теплоемкость металла должна быть в 1,5 раза больше, чем у диэлектриков, чего н а самом деле нет;

–совпадение опытного и теоретического значения β в законе Видемана – Франца оказалось случайным. Когда Лоренц учел распределение электронов по скоростям, то он получил значени еβ, резко отличающееся от опытного значения.

Указанные затруднения классической теории были разреше ны

âквантовой теории.

1.13. Контактные явления в металлах

Работавыходаэлектроновизметалла. Видыэлектроннойэмиссии

Как показывает опыт, свободные электроны при обыч- ных температурах практически не покидают металл, несмотр я на то что имеют очень высокую скорость. Это означает, что в пов ерхностном слое металла существует электрическое поле, пре пятствующее вылету электронов из металла. Чтобы покинуть металл, электрон должен совершить работу по преодолению сил

158

отталкивания. Эту работу называют работой выхода электро нов из металла.

Рассмотрим процесс образования этого поля. Вылетая из мет алла, электрон индуцирует в нем положительный заряд и поэто му будет притягиваться к нему. Под действием силы притяжения электрон возвращается обратно. При постоянной температуре ме талла наступает динамическое равновесие и над проводником будет находиться некоторое количество свободных электронов (эле ктронное облако). Это облако и положительный заряд в металле соз дают электрическое поле, подобное полю конденсатора. Толщина э того слоя порядка 10–9 м, и он не создает электрического поля в пространстве, но препятствует выходу электронов из металла. Разность потенциалов, возникающая в поверхностном слое мета лла, получила название поверхностного скачка потенциала Δϕ. В среде, окружающей металл, электрического поля нет, поэтому можно считать, что потенциал среды равен нулю, следовательно, внутри металла потенциал положителен и равен Δϕ. Потенциальная энер-

гия свободного электрона в металле W = -e × Dj < 0 . Говорят, что

электрон находится в потенциальной яме глубиной e × Dj , равной

работе выхода электрона из металла. Работа выхода электро нов из металла зависит от его химической природы и чистоты повер хности. Подобрав определенным образом покрытие поверхности, м ожно существенно снизить работу выхода.

Энергию, необходимую электрону для того чтобы покинуть металл, можно сообщить различными способами:

–за счет нагревания металла – термоэлектронная эмиссия;

–вторичная электронная эмиссия – вылет электронов из металла, бомбардируемого ионами;

–автоэлектронная эмиссия – вылет электронов из металла п од действием сильного электрического поля.

Контакт двух металлов. Контактная разность потенциалов

Рассмотрим контакт двух металлов I и II, различных по химическому составу. Так как работа выхода электронов из металлов различна, то при соединении металлов между ними бу-

159

дет происходит обмен электронами. Число электронов, перех одящих из одного металла в другой и обратно, зависит от работы A1 è A2 выхода электронов для каждого из металлов. Пусть A1 < A2, тогда большее число электронов будет переходить из метал ла I с меньшей работой выхода в металл II с большей работой выхода до тех пор, пока между обоими металлами не установится конта ктная разность потенциалов Δϕ1, препятствующая дальнейшему преимущественному переходу электронов из металла I в металл II.

При этом металл I с меньшей работой выхода электронов заря - жается положительно, а металл II с большей работой выхода – отрицательно.

Условием равновесия электронных потоков в обоих направл е- ниях является равенство уровней Ферми в обоих металлах, и между ними возникает внешняя контактная разность потенциалов

Δϕ1	=	A1 − A2	.	13.1
		e

Величина Δϕ1 может достигать нескольких вольт, зависит от строения металлов и состояния их поверхности. Поэтому Δϕ1 можно изменять обработкой поверхностей, введением примесей и сплавлением с другими металлами.

Рассмотрим теперь возникновение внутренней контактной разности потенциалов Δϕ2. Допустим, что концентрация свободных электронов равна n1 è n2 и соответственно для металлов I и II удовлетворяет условию n1 > n2. Тогда диффузионные потоки свободных электронов в обоих металлах будут неодинаковы. Пот ок диффузии электронов из металла I будет больше потока дифф у- зии в обратном направлении, и металл I будет заряжаться пол ожительно, а металл II – отрицательно. В результате этого между ме-

таллами возникнет разность потенциалов Δϕ2 и появится электри- r

ческое поле E, которое вызовет дополнительное (дрейфовое или переносное) движение электронов в обратном направлении – от металла II к металлу I, в результате чего общее количество эл ектронов, переходящих из металла I в металл II, будет уменьшатьс я, а в противоположном – увеличиваться. При некоторой разнос ти потенциалов Δϕ2 между металлами установится динамическое равновесие, и потенциалы металлов уже не будут меняться. Эта р азность потенциалов и является внутренней контактной разностью потенциалов Δϕ2 обоих металлов.

160