Электричество и магнетизм (Крахоткин В.И

Классическая электронная теория (Друде – Лоренца) позвол я- ет вывести формулу для Δϕ2. Приняв, что для электронного газа в металле справедливо классическое распределение Больцма на, можно

-e×Dj2

написать n2 = n1e kT . Прологарифмировав это выражение, полу- чим

Δϕ2	=	kT	ln	n1	.	13.2
		e n2

Таким образом, при тесном соприкосновении двух металлов между ними устанавливается контактная разность потенци алов:

Δϕ = Δϕ + Δϕ		=	A1 − A2	+	kT	ln	n1
	2								.		13.3
1			e		e n
								2

Согласно закону Ома в дифференциальной форме, плотность
r	r	r	r
òîêà j внутри металла равна j		= γE. Так как при равновесии j = 0,

то и электрическое поле E в любой точке сечения металлов равно

нулю. Это означает, что поле E существует только в тонком пограничном слое между обоими металлами, на котором и сосредот оче- на вся контактная разность потенциалов, определяемая выр ажением 13.3.

Мы получили уравнение 13.3, выражающее первый закон Вольта, который экспериментально показал, что контактная разн ость потенциалов зависит только от температуры и химического состава металлов.

Вольт установил, что если металлы Al, Zn, Sn, Pb, Sb, Bi, Hg, Fe, Cu, Au, Pt, Pd привести в контакт в указанной последовательности, каждый предыдущий при соприкосновении с одним из последующих металлов зарядится положительно. Этот ряд на зывается рядом Вольта.

Рассмотрим последовательное соединение разнородных мет аллов:

ϕ − ϕ

=

A1 − A2

+

kT

ln

n1

2

1

e

e

n2

ϕ

− ϕ =

A2 − A3

+

kT

ln

n2

.

2

3

e

e

n3

161

Суммируя эти выражения, можно получить

ϕ − ϕ	3	=	A1 − A3	+	kT	ln	n1	.	13.4
1			e		e n3

Из выражения 13.4 следует, что контактная разность потенциал ов не зависит от промежуточных проводников и равна контактной разности потенциалов, возникающей при соединении крайних проводн иков. Таким образом, если создать замкнутую цепь из разнородных м еталлов, то ЭДС в ней будет равна нулю, это и есть второй закон Вольт а.

Термоэлектрическиеявления

Явление Зеебека. Рассмотрим замкнутую цепь, составленную из двух разнородных металлов. Ранее мы показали, чт о при одинаковой температуре контактов ЭДС в цепи будет рав на нулю. Таким образом, хотя в каждом из контактов и возникает ЭДС, эти ЭДС равны по величине и противоположны по знаку, поэтому полная ЭДС цепи равна нулю.

Иначе будет, если температура контактов неодинакова. Так как внутренняя разность потенциалов зависит от температуры , то теперь их сумма не будет равна нулю. Поэтому не будет равна нулю и полная ЭДС цепи, и в цепи появляется электрический ток. Это явл ение получило название термоэлектричества, или явления Зеебека.

В простейшем случае, когда цепь состоит из двух различных проводников, она называется термоэлементом, или термопар ой.

Термопара состоит из двух различных металлов I и II. Одни концы металлов сварены между собой (точка 1), а другие концы (точка 2) присоединены к цепи mV или другому измерительному прибору. Сваренные концы помещают в среду с температурой T1, которую надо измерить, а свободные концы должны находитьс я при одинаковой температуре T2, но всегда T1 > T2. Применяя к термопаре равенство 13.2, получим

E =	k	ln	n1		(T	− T ) = α (T		− T )	13.5
	e n			1		2	1	2 ,
				2

ãäå α = k ln n1 – удельная термоЭДС, зависит от материала про- e n2

водников и разности температур. В интервале температур

162

T = 100K α = const для большинства термопар и имеет порядок

величины10−3 B. Удельная термоЭДС является основной характе-

K

ристикой термопары в заданном интервале температур.

Явление Зеебека широко используется при измерении темпе ратуры в широком диапазоне и преобразовании внутренней эне ргии в электрическую.

Явление Пельтье. Если в цепи, состоящей из двух разнородных проводников, пропускать электрический ток, то в зависимости от направления тока один из контактов будет нагрева ться, другой охлаждаться. Это явление получило название явл е- ния Пельтье. В отличие от джоулевой теплоты, которая пропорциональна квадрату силы тока, теплота Пельтье проп орциональна первой степени силы тока и меняет знак при изме нении направления тока.

Если пропускать ток в направлении термотока (при условии T1 > T2), то, согласно опыту Пельтье, спай 1, который при явлении Зеебека находился при более высокой температуре, буде т теперь охлаждаться, а спай 2 – нагреваться. При изменении напр авления тока – наоборот.

Объяснить явление Пельтье можно следующим образом. Благо - даря контактным разностям потенциала в спаях 1 и 2 создаютс я электрические поля. Направление движения электронов при заданном направлении тока в цепи в спае 1 совпадает с напряже н- ностью поля, а в спае 2 – противоположно полю. Следовательно , в спае 1 электрическое поле тормозит электроны, а в спае 2 – ускоряет. В результате этого в спае 1 электроны отбирают эн ергию у ионов, а в спае 2 – отдают энергию ионам.

Это явление широко применяется в холодильниках.

1.14.Элементызоннойтеориитвердыхтел

Дискретностьэнергетическихуровнейватоме

Согласно квантовой механике, электрон в атоме может иметь не произвольные, а строго определенные значения энер-

163

гии, т.е. энергия электрона в атоме квантуется. При переходе электрона из одного состояния в другое происходит скачкообра зное изменение энергии. Распределение электронов по квантовы м состояниям подчиняется принципу запрета Паули, согласно ко торому в одном квантовом состоянии не может быть двух одинако вых электронов, они должны отличаться какой-либо характерист икой. Следовательно, электроны не могут даже при 0 К занимать сам ый низкий уровень энергии.

Электроны в атоме можно рассматривать как идеальный газ. Но если классическая теория считает, что энергия электрон а может принимать произвольные значения, то в квантовой механике энергия электрона квантуется. Следовательно, элек троны в атоме не подчиняются классическому распределению Ма к- свелла, а их распределение по энергиям подчиняется распре делению Ферми – Дирака. Обозначим μ0 – химический потенциал электронного газа при T = 0 K. Тогда число электронов N(E) в квантовом состоянии с энергией Е будет определяться выра жением

N (E ) =	1			.	14.1
		E −μ0
			+ 1
	e kT

Из уравнения 14.1 можно получить, что при T = 0 K: если

E < μ0, òî N(E) = 1, è N(E) = 0 ïðè E > μ0. Это значит, что при T = 0 K все уровни, лежащие ниже μ0, заполнены электронами, а все состояния с энергией больше μ0 свободны.

Уровень энергии E = μ0, который заполняют электроны при T = 0 K, получил название уровня Ферми. Следовательно, работу выхода электрона из металла надо отсчитывать не от дна потенциальной ямы, а от уровня Ферми.

Система частиц называется вырожденной, если ее свойства с у- щественным образом отличаются от свойств системы, подчин яющейся классической статистике. Температура T0, ниже которой от- четливо проявляются квантовые свойства системы, называе тся температурой вырождения. Температура вырождения находится из условия kT0 = EF. Соответствующие расчеты показывают, что для электронов в металле T0 = 104K, т.е. для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, эл ектронный газ в металле вырожден.

164

Электроннаяпроводимостьметаллов поквантовойтеории

Как мы уже указывали, классическая теория электропроводности металлов столкнулась с серьезными затрудне ниями. Эти трудности удалось преодолеть в квантовой теории.

Согласно квантовой теории, для удельной электропроводно сти металлов получается выражение

g =	n × e2 × lF	,	14.2
	m × uF

ãäå λF – длина свободного пробега электрона, имеющего энергию Ферми EF, uF – скорость электрона на уровне Ферми.

Выражение 14.2 по виду совпадает с выражением 12.2, полу- ченным в классической теории, но имеет совершенно другое физическое содержание. По квантовой теории uF от температуры

практически не зависит, а длина свободного пробега lF = 1 , ïî-

T

этому g = 1 .

T

Расщеплениеэнергетическихуровней иобразованиезон.Электрическиесвойства

металлов,диэлектриковиполупроводников

Изолированные атомы имеют совпадающие схемы энергетических уровней. При образовании твердого тела из изол ированных атомов происходит расщепление энергетических уровн ей, их смещение и образование зон. При этом наиболее заметно рас щепляются лишь внешние уровни, на которых находятся валентные электроны, наиболее слабо связанные с атомом. Уровни же внутре нних электронов либо почти не расщепляются, либо расщепляются очень слабо. Таким образом, внутренние электроны ведут себя как в изолированном атоме, а внешние (валентные) электроны «коллек тивизированы» – принадлежат всему твердому телу.

По мере сближения атомов между ними возникает все усилива - ющееся взаимодействие, которое приводит к изменению поло же-

165

ния уровней. Вместо одного одинакового для всех N атомов уровня возникает N очень близких, но не совпадающих уровней. Таким образом, каждый уровень изолированного атома в кристалле расщепляется на N густо расположенных уровней, образующих эн ергетическую зону разрешенных значений энергии.

Дозволенные значения энергии валентных электронов в кри с- талле, объединенные в зоны, разделены промежутками, в которых

		Çîíà	разрешенных значений энергии нет.
			Эти промежутки получили название
		проводимости	запрещенных зон (рис. 71). Ширина раз-
		Запрещенная	решенной и запрещенной зоны не за-
çîíà			висит от размеров кристалла. Таким об-
		Валентная	разом, чем больше атомов содержит
		çîíà	кристалл, тем теснее расположены
			уровни в зоне. Ширина разрешенной
Рис. 71. Энергетические			зоны порядка нескольких эВ, поэто-
зоны в твердом теле			му расстояние между уровнями в зоне

составляет величину порядка 10–23эВ. При абсолютном нуле температур энергия кристалла должна

быть минимальной. Поэтому все валентные электроны заполнят уровни разрешенной зоны, возникшей из того уровня, на кото - ром находятся валентные электроны в основном состоянии а тома. Эта зона получила название валентной зоны. Более высокие разрешенные зоны (зоны проводимости) окажутся свободными от эл ектронов. В зависимости от степени заполнения валентной зон ы электронами и ширины запрещенной зоны возможны три случая, из ображенные на рисунке 71.

1.Валентная зона заполнена электронами не полностью. Поэт о- му достаточно сообщить электрону энергию порядка 10–23эВ, для того чтобы он перешел на более высокий энергетический уро вень. Следовательно, при температуре, отличной от 0 К, часть электронов переходит на более высокие уровни. Эти электроны могу т ускоряться электрическим полем, т.е. создавать электричес кий ток. Таким образом, кристалл с такой схемой энергетических уро вней будет представлять собой металл.

2.Валентная зона полностью заполнена электронами. Ширина

запрещенной зоны E < 3 эВ. В этом случае тепловое движение способно перебросить электроны в зону проводимости и кри сталл будет являться полупроводником.

166

3. Валентная зона полностью заполнена электронами, а ширин а запрещенной зоны E > 3 эВ. В этом случае тепловое движение ни при каких температурах не может перебросить электроны в з ону проводимости и кристалл будет диэлектриком.

Собственнаяпроводимостьполупроводников

Собственными полупроводниками являются химически чистые полупроводники, а их проводимость получила назв а- ние собственной проводимости. При T = 0 K собственный полупроводник ведет себя как чистый диэлектрик, так как вален тная зона полностью заполнена электронами, а в зоне проводимос ти электронов нет.

При повышении температуры за счет энергии теплового движения электроны с верхних уровней валентной зоны перебра сываются в зону проводимости и становятся свободными. При это м в зоне проводимости появляется некоторое количество носи телей зарядов – электронов, занимающих уровни вблизи дна зоны; о д- новременно в валентной зоне освобождается такое же колич ество мест на верхних уровнях. Такие свободные от электронов ме ста на верхних уровнях полностью заполненной при абсолютном нуле валентной зоны называются дырками.

Уровень Ферми для полупроводников лежит точно посередине запрещенной зоны. Следовательно, для электронов, перешедших в зону проводимости, изменение энергии мало отличается от половины ширины запрещенной зоны. Вероятность заполне - ния электронами уровней зоны проводимости можно найти по формуле

f (W) = e−	E
	2kT.	14.3

Поскольку проводимость пропорциональна числу носителей заряда, то она должна быть пропорциональна выражению 14.3. Следовательно, проводимость полупроводников растет с темпе ратурой, изменяясь по закону

γ = γ	−	E
	0 e 2kT,		14.4

где E – ширина запрещенной зоны, γ0 – некоторая константа, зависящая от рода полупроводника.

167

В отсутствие электрического поля электроны и дырки движу т- ся хаотически и тока не создают. При появлении электричес кого поля на хаотическое движение накладывается упорядоченн ое движение: электронов против поля, дырок – по полю. Таким образом, можно утверждать, что собственная проводимость полуп роводников носит электронно-дырочный характер.

Примеснаяпроводимостьполупроводников

Проводимость полупроводников, обусловленная нали- чием примеси, получила название примесной проводимости. С точки зрения зонной теории, проводимость примесных полупровод ников можно объяснить следующим образом. Введение в полупро - водник примеси приводит к тому, что в запрещенной зоне поя в- ляется дополнительный (локальный) уровень энергии, полож е- ние которого зависит от валентности примеси.

Введение примеси с валентностью, большей чем валентность полупроводника, приводит к тому, что этот уровень располагается

вблизи зоны проводимости ( En = 0, 01ýÂ) и уже при комнатной

температуре электрон с этого уровня переходит в зону пров одимости. Таким образом, в полупроводнике с примесью, валентност ь которой на единицу больше валентности основных атомов, носи телями заряда являются электроны; возникает примесная электр онная проводимость. Такая примесь называется донорной, а полупр овод-

ник получил название n-типа. При наличии примеси с меньшей валентностью локальный уровень энергии распола-

гается вблизи валентной зоны

à

á

Рис. 72. Энергетические уровни примесных полупроводников: а – донорная; б – акцепторная

( En = 0,1ýÂ), и электроны переходят на него из валентной зоны. Число дырок в валентной зоне растет. Полупроводники с примесью, валентность которой на единицу меньше валентности основных атомов, обладают дырочной проводимостью. Такая

168

примесь называется акцепторной, а полупроводник получил название p-типа.

В отличие от собственной проводимости, осуществляющейся одновременно и электронами, и дырками, примесная проводимос ть полупроводников обусловлена в основном носителями одно го знака – либо электронами, либо дырками. Эти носители тока получили название основных носителей заряда. Но нужно иметь в виду , что наряду с основными носителями заряда в каждом полупровод нике имеются и неосновные носители заряда (дырки в полупровод нике n-типа, электроны – p-типа), но их концентрация во много раз меньше концентрации основных носителей.

С повышением температуры примесная проводимость быстро достигает насыщения. Вместе с тем по мере роста температу ры все в большей степени начинает сказываться собственная прово димость полупроводника, обусловленная переходом электронов из в алентной зоны в зону проводимости. Таким образом, при высоких те м- пературах проводимость полупроводников складывается из примесной и собственной проводимости. При низких температурах п реобладает примесная, а при высоких – собственная проводимост ь.

Контактдвухполупроводников сразличнымтипомпроводимости

Рассмотрим контакт двух полупроводников с различным типом проводимости, так называемый p-n-переход. Сразу после возникновения контакта начинает идти диффузия основных нос ителей тока: электронов из n-типа в p-тип и дырок из p-типа в n-тип, так как концентрация их в полупроводниках различна.

Ввиду того что основные носители уходят, в p-области остают - ся отрицательно заряженные акцепторные атомы, а в n-област и – положительно заряженные донорные атомы. Так как донорные и акцепторные атомы неподвижны, то в области контакта возни кает двойной запирающий слой пространственного заряда (отриц ательные заряды в p-области и положительные заряды в n-области).

Таким образом, создается двойной запирающий слой (p-n-пере- ход) (рис. 73), протяженность которого превышает длину свобо д- ного пробега электронов и дырок. Поэтому контактная облас ть (запорный слой) имеет большое сопротивление и препятству ет

169

	n			p	дальнейшей диффузии элек-
		+	-		тронов и дырок через грани-
		+	-		цу раздела двух полупровод-
		+	-		ников. Этот двойной запира-
		+	-
					ющий слой является для
	Рис. 73. Контакт двух полупроводников				основных носителей тока по-
					тенциальным барьером высо-
	с различным типом проводимости
					той в несколько десятых до-
					лей вольта. Такой барьер
	электроны и дырки могут преодолеть только при очень высок ой
	температуре, порядка тысяч градусов, поэтому контактный с лой
	является для основных носителей тока запирающим слоем, им ею-
	щим повышенное сопротивление. Для неосновных носителей т ока
	этот слой не является барьером, поэтому через контакт иде т про-
	цесс диффузии неосновных носителей тока. В условиях тепло вого
	равновесия при отсутствии внешнего электрического поля полный
	ток через p-n-переход равен нулю.
	Действие внешнего электрического поля существенным обр а-
	зом влияет на сопротивление запирающего слоя, изменяет вы соту
	потенциального барьера и нарушает равновесие потоков но сителей
	через барьер. Предположим, что p-полупроводник подключен к
	положительному полюсу источника, а минус подан на n-полупр о-
	водник. Тогда под действием внешнего электрического поля элек-
	троны в n-полупроводнике и дырки в p-полупроводнике будут
	двигаться к границе раздела полупроводников. При таком пр опус-
	кном (прямом) направлении тока в полупроводнике толщина з а-
	пирающего слоя будет непрерывно уменьшаться, и в погранич ном
	слое будет происходить рекомбинация электронов и дырок. Г рани-
	ца p-n-перехода не будет представлять сопротивления для ток а,
	вызываемого внешним напряжением. Это напряжение необход имо
	только для того, чтобы поддерживать встречное движение эл ект-
	ронов и дырок.
	Так как положительный потенциал приложен к p-области, то
	потенциальный барьер понижается (прямое смещение) и с рос том
	приложенного напряжения экспоненциально возрастает чис ло ос-
	новных носителей, способных преодолеть этот барьер. В рез ульта-
	те возрастает скорость рекомбинации и появляется отличн ый от
	нуля ток, который с ростом приложенного напряжения U также
	экспоненциально возрастает:

170