Электричество и магнетизм (Крахоткин В.И

Для уединенной сферы потенциал определяется по формуле 1. 17, тогда для емкости сферы получим выражение

C = 4p × e0 × e × R .

3.4

Из формулы 3.4 следует, что емкость уединенного проводника зависит от его геометрических размеров, а также диэлектри ческих свойств среды.

Уединенные проводники обладают малой емкостью и поэтому не могут накапливать большой заряд. На практике нам необх одимы устройства, способные при малых размерах и сравнительн о низких потенциалах накапливать значительные заряды.

Конденсатором называются два проводника, разделенных сл оем диэлектрика, толщина которого во много раз меньше размеро в проводников.

Чтобы внешние тела не влияли на емкость конденсатора, про - водникам придают такую форму, чтобы электрическое поле бы ло сосредоточено только между проводниками. Этому условию у довлетворяют: две пластины, расположенные на небольшом расст оянии друг от друга, два коаксиальных цилиндра, две концентр и- ческие сферы.

Поскольку электрическое поле сосредоточено внутри конд енсатора, то линии напряженности начинаются на одной обклад ке и заканчиваются на другой. Следовательно, заряды обкладок р авны по величине и противоположны по знаку.

Под емкостью конденсатора понимается величина, равная отношению заряда одной из обкладок к разности потенциалов между ним и:

q
C = Dj .	3.5

Величина емкости конденсатора определяется его геометр ическими размерами, а также диэлектрическими свойствами сред ы, заполняющей конденсатор.

Примеры расчета емкости конденсатора

Плоский конденсатор. Если на плоские пластины подать равные по величине и противоположные по знаку заряды , то напряженность электрического поля между пластинами, сог ласно

уравнению 1.12, будет определяться по формуле E = q . Åñëè e0 × e ×S

31

расстояние между пластинами равно d, то разность потенциа лов

между ними будет равна Dj = E × d =	q × d	. Подставляя найден-
	e0 × e ×S

ное выражение в формулу 3.5 для емкости конденсатора, получи м

C = e × e0 ×S . d

Цилиндрический конденсатор. Если на обкладках конденсатора имеется электрический заряд q, то напряженность электриче ского

поля между обкладками определяется по формуле E =	1	×	t	,
	2pe0		e × r

тогда для разности потенциалов между ними можно получить

R

R

1

t × dr

t

R 2

Dj = ò2

E × dr = ò2

×

=

ln

. Для емкости сфери-

2pe0

R

1

R

1

e × r 2p × e × e0

R1

ческого конденсатора получим

C =

2p × e × e0 × l

.

ln

R 2

R1

Если расстояние между пластинами d = R 2 - R1 значительно меньше радиусов цилиндров, то

		R	2		R1 + d	æ
	ln			= ln		= ln ç1	+
		R1			R1
						è

d	ö	=	d
	÷			,
R1
	ø		R1

тогда для емкости цилиндрического конденсатора получим

C = 2p× l × e × e0 × R1 = e ×e0 ×S.

d

d

Аналогичное выражение можно получить и для сферического конденсатора. Из полученных выражений следует, что емкост ь конденсатора определяется геометрическими размерами конде нсатора и диэлектрическими свойствами среды, заполняющей конденс атор.

Отметим, что полученный результат является общим и для ко н- денсаторов с обкладками любой формы, если только зазор ме жду ними мал по сравнению с радиусами кривизны обкладок.

32

Энергиявзаимодействия точечныхзарядов.

Энергиязаряженныхпроводников

Ранее мы показали, что электрический заряд, находящийся в электрическом поле, обладает энергией, которую мо жно найти по формуле 1.18. Поэтому энергия системы двух точечных зарядов q1 è q2, расположенных на расстоянии r друг от друга, может быть определена следующим образом. Пусть заряд q1 находится в электрическом поле, создаваемом вторым зарядом. Т огда

W1	= q1 × j21	= k	q1 × q2	.	3.6
			r

Очевидно, справедливо и обратное утверждение: заряд q2 в поле первого заряда будет обладать энергией

				W2 = k					q1 × q2			.		3.7
											r
Из формул 3.6 и 3.7 следует, что W1													= W2	= W и общую
энергию системы двух точечных зарядов можно записать в ви де
W =	1	W1	+	1	W2 =			1		(q1 × j21 + q2 × j12 ).				3.8
2			2				2
Для системы, состоящей из N точечных зарядов, выражение
3.8 запишется в виде
				W =		1		N			qi jki ,			3.9
							åi=1
			2

ãäå i ¹ k.

Заряд q, находящийся на некотором проводнике, можно рассматривать как систему точечных зарядов dq. Поэтому заряже н- ный проводник будет обладать энергией. Найдем величину эт ой энергии.

Пусть заряд проводника равен q, его емкость С, а потенциал ϕ. Для увеличения заряда тела на величину dq нужно совершить р а- боту dA = j× dq . Дифференцируя выражение 3.2, получим dq = C × dj , тогда dA = C × j× dj . Интегрируя полученное выраже-

ние, найдем, что
A =	Cj2	+ const.	3.10
2

33

Естественно считать энергию незаряженного проводника р авной нулю, тогда постоянная интегрирования будет равна нул ю, и для энергии заряженного проводника получим выражение

W =	C × j2	=	q × j	=	q2	.	3.11
2		2			2C

Как и всякий заряженный проводник, конденсатор обладает

энергией
W =	C × Dj2	.	3.12
2

	В случае плоского конденсатора C =			e × e0 ×S	, Dj = E × d , тогда
				d
	выражение 3.12 примет вид
	W = ee0S × E2 × d2 = ee0S × d × E2 .				3.13
	2d		2
	Введем величину
	w =	W	,		3.14
		V

которую будем называть объемной плотностью энергии. Тогда для электрического поля в конденсаторе получим, что

w	=	εε		E2		3.15
		0		.
		2
С учетом того что D = εε0 E , выражение 3.15 примет вид
w =			ED		.	3.16
		2

Тот факт, что объемная плотность энергии выражается через r r

характеристики электрического поля (E è D), говорит о том, что само поле обладает энергией.

34

Примеры решения задач

Задача 1. Два положительных точечных заряда Q и 4Q закреплены на расстоянии 0,6 м друг от друга. Определить, в ка - кой точке на прямой, проходящей через заряды, следует поме с- тить третий заряд так, чтобы он находился в равновесии.

Äàíî:

Q

4Q

r = 0,66ìì

r - ?

1 ?

1

Тогда k qQ

r12

F2 F1

r1

r

Третий заряд будет находиться в равновесии, если геометрическая сумма сил, действующих на

него, будет равна нулю, т.е. F1 + F2 = 0 èëè F1 = F2 .

	По закону Кулона F		= k		q × Q	, F = k	4q × Q	.
		1			r12 2		(r - r1 )2
= k	4qQ	Þr2 - 2r × r1 + r12		= 4r12. Подставляя числен-
	(r - r1 )2

ные значения, получим квадратное уравнение r12 + 0, 4 ×r1 - 0,12 = 0. Решая полученное уравнение относительно r1, получим r1 = 0,2 ì, r2 = –0,6 м. Второе решение не удовлетворяет физическому услови ю задачи (докажите) и должно быть отброшено. Следовательно, третий заряд должен быть помещен на расстоянии 0,2 м от первого зар яда.

Ответ: r1 = 0,2 ì.

Задача 2. Тонкий стержень длиной 0,1 м равномерно заряжен с линейной плотностью заряда 1 мкКл/м. На продолжении оси сте ржня на расстоянии 0,2 м от ближайшего его конца находится точ еч- ный заряд 10–7 Кл. Определить силу, действующую на точечный

Äàíî:

заряд со стороны стержня.

dq

l = 0,1 ì

q

b = 0, 2 ì

r

dF

t =10−6 Êë ì

q =10−7 Êë

В данном случае заряд на стержне нельзя счи-

тать точным и поэтому нельзя применять закон

F - ?

Кулона.

35

Выделим на стержне участок длиной dr, несущий заряд dq = t× dr,

который можно считать точечным. По закону Кулона dF = k q × t × dr. r2

r r

Тогда результирующая сила F = ådF. Так как все силы, действую-

щие со стороны элементов стержня на точечный заряд, напра влены в одну сторону, то геометрическое сложение можно заменить алгеб-

l+ b

q × t × dr

æ

1

1 ö

раическим, поэтому F = ò

k

= k × t × q ç

-

.

r

2

b

è b l + b ø

Вычисляя, найдем

F = 9 ×10

9

×10

−7

×10

−6

×

0,1

= 1,5 ×10

−3

(Í)

0, 2 × 0,3

.

Ответ: F =1,5 ×10−3 Í .

Задача 3. Электрическое поле создается двумя равномерно заряженными пластинами с поверхностной плотностью заряда 4 и

-6 ìêÊëì2. Определить напряженность электрического поля, создаваемого пластинами.

Äàíî:

Äàíî:

6

2

s1

4 10−6

Êë ì2

E

E

E

= 4 ×10

Êë ì

1

6

2

6 10−6

Êë ì2

s22 = -6 ×10

Êë ì

E

E

E

Å

?

Å - ?

Напряженность электрического поля, со-

здаваемого заряженной плоскостью, опре-

деляется по формуле E =

s

. Плоскости делят пространство

× e0

2

на три области. Как видно из рисунка, в первой и третьей обл астях напряженности электрических полей, создаваемых каждой пластиной, направлены в разные стороны, поэтому

E1 = E3	= E¢¢ - E¢ = s2 - s1 . Между пластинами они направлены в
	2 × e0
одну сторону, поэтому E2		=	2 1	.
			2 ×e0

36

		Вычисляя, получим E				= E		=	2 ×10−6	=11,3 ×104 (Â ì),
					1		3	2	×8,85 ×10−12
Å		=	10 ×10−6	= 56,5 ×104 (Â ì)
	2	2	×8,85 ×10−12					.
		Ответ: Å1 = Å3		= 113 ê ì,		Å2		= 565 ê ì .

Задача 4. Три точечных заряда по 10–6 Кл расположены на одной прямой на расстоянии 20 см друг от друга. Какую работу надо совершить, чтобы расположить эти заряды в вершинах равностороннего треугольника со стороной 20 см?

	Äàíî:			Работа, совершаемая при перемещении заря-
		q =10−6 Êë		дов, может быть найдена как изменение энергии
		r = 0,2 ì		системы. Потенциальная энергия системы зарядов
				определяется по формуле W =	1	åqi × jki. Òàê êàê
		À - ?
				2
				потенциал поля точечного заряда определяется по

формуле j = k q, то в исходном состоянии система будет обладать r

энергией W

=

1

æ k

q2

+ k

q2

+ k

q2

+ k

q2

+ k

q2

+ k

q2

ö

=

5k × q2

, à

1

2

ç

r

2r

r

r

2r

÷

2r

è

r ø

в конечном состоянии энергия будет равна W2

= 3 × k ×

q2

. Значит

r

A = W

- W =

6k × q2

-

5kq2

=

kq2

.

2

1

2r

2r

2r

Подставляя численные значения, найдем

A =

9 ×109 ×10−12

= 22,5 ×10−3 Äæ = 22,5 ìÄæ.

2 × 0, 2

Ответ: А = 22,5 мДж.

Задача 5. Электрическое поле создается бесконечно длинным цилиндром радиусом 5 мм, равномерно заряженным с линейной плотностью заряда 12 нКл/м. Определить разность потенциало в

37

между двумя точками поля, лежащими на расстоянии 1 и 2,5 см от поверхности этого цилиндра.

Äàíî:								Для поля, создаваемо-
r = 5 ×10−3 ì								го цилиндром, справедли-
t =12 ×10−9 Êë ì							Å	во выражение Å =	dj	. Îò-
a =10−2 ì									dR
								ñþäà dj = E × dR, тогда
b =	−2–2
	1,52,5×10× 10	ìì						для нахождения разности
Dj - ?
								потенциалов между дву-

мя точками поля это выражение необходимо

2

проинтегрировать, т.е. Dj = òE × dR. Äëÿ òîãî

1

чтобы найти этот интеграл, надо знать зависимость напряже нности электрического поля от расстояния. Для нахождения этой зави-

	симости воспользуемся теоремой Гаусса ò E × dS =	åq	.
		e0
	S

Взяв в качестве замкнутой поверхности цилиндрическую по верхность, коаксиальную с заданным цилиндром, можно получить

	E × 2p × R × l =			t × l		Þ E =
					e0
		t	r +b dR				t
тогда	Dj =		r+òa			=
		2pe0			R		2pe0

1 × t ,

2pe0 R

ln r + b. r + a

Вычисляя, получим Dj =	12 ×10−9		3		=150 (Â).
		ln
	6, 28 ×8,85 ×10−12		1,5

Ответ: Dj = 150 В.

Задача 6. Пылинка массой 10–15 кг, несущая заряд 8 ×10−19 Êë, прошла в вакууме ускоряющую разность потенциалов 600 кВ. Какую скорость приобретает пылинка, если ее начальная ско - рость равна нулю?

38

Äàíî:

q = 8 ×10−19 Êë m =10−15 êã

U = 6 ×105 Â v − ?

Электрическое поле совершает работу, равную A = q × U. Эта работа идет на изменение ки-

	нетической энергии пылинки A =				mv2		-	mv2
								0	.
				2				2
	Òàê êàê v0	= 0, òî A =	mv2			,	тогда
				2

qU =	mv2		Þ v = 2qU .
2			m
Вычисляя, найдем v =		2 ×8 ×10−19 × 6 ×105		= 31 (ì ñ).
			10−15

Ответ: v = 31 м/с.

Задача 7. Конденсатор емкостью 0,6 мкФ, заряженный до 600 В, соединяют параллельно с конденсатором емкостью 0,4 мкФ, зар я- женным до 150 В. Какое напряжение установится на батарее кон - денсаторов? Какая энергия выделится при образовании искр ы?

Äàíî:

Ô

Общая емкость двух параллельно соединен-

Ñ11

= 0,6×10−6

ных конденсаторов С = С1 + Ñ2, а общий

6

Ñ

−66

Ô

заряд батареи q = q1 + q2 = C1 × U1 + C2 × U2. Òîã-

= 0,4×10

22

q

C1 × U1 + C2 × U2

U11 = 600B

äà U =

=

.

U22 =150 B

C

C1 + C2

Энергия заряженного конденсатора определя-

U- ?

ется по формуле

W =

CU2

. До соединения

DW- ?

2

энергия

системы

áûëà

равна

=

C1 × U12 + C2 × U22

W1

. После соединения конденсаторов энергия ба-

2

= (C1 + C2 )× U2 ,

тареи будет

равна

W

следовательно

2

2

C1 × U12 + C2 × U22 - (C1 + C2 )× U2

DW =

.

Вычисляя,

получим

2

39

		U =	10−6	(180	+ 60)			= 240 B,
				10−6
DW =	10−6	×104 ×(5, 4 +1		- 5,76)		= 4, 2			×10−3 Äæ = 4,2 ìÄæ.
		2

Ответ: U = 240 Â, DW = 4,2 ìÄæ.

Задача 8. Два плоских воздушных конденсатора одинаковой емкостью соединены параллельно в батарею и заряжены до 400 В . Какое напряжение установится на батарее, если один из кон денсаторов заполнить диэлектриком с диэлектрической проница емостью, равной 7?

Äàíî:

Пусть емкость одного конденсатора равна С0. Òîã-

U1 = 400 B

да в исходном состоянии емкость батареи будет равна

Ñ1 = 2Ñ0, а ее заряд q1 = C1 × U1 = 2C0 × U1.

e = 7

После того как в один из конденсаторов встави-

U2 - ?

ли диэлектрик, его емкость увеличилась в ε ðàç è

емкость батареи будет равна C2

= (1 + e)× C0, заряд

батареи q2

= (1 + e)× C0 × U2 . Так как заряд батареи при этом не из-

меняется, т.е. q

= q , òî 2C × U = (1 + e)× C × U Þ

U =

2 × U1

.

1

2

0

1

0

2

2

1+ e

Вычисляя, найдем U2

=

2 × 400

=100 B.

8

Ответ: U2 = 100 Â.

40