Электричество и магнетизм (Крахоткин В.И

перечного сечения dS. Напряжение, приложенное к проводнику U = E × dl, где Е – напряженность поля в проводнике. Наконец,

сопротивление проводника по формуле 4.6 равно R = r dl . Ïîä-

ставляя эти значения в выражение 4.5, получим			dS
j =	E	.	4.7
	r

Носители заряда движутся в направлении вектора Е, поэтому r

направления векторов j è E совпадают. Таким образом, оконча-

тельно можно получить
r	r
j = g × E,		4.8

ãäå γ = ρ1 – удельная проводимость вещества.

Формула 4.8 выражает закон Ома в дифференциальной форме.

Источникитока.Сторонниесилы. ЭДСисточникатока

Если два разноименно заряженных тела соединить проводником, то в нем возникает электрический ток. Возникнов ение тока приводит к тому, что поле очень быстро исчезает и, следоват ельно, ток прекращается. Для того чтобы поддерживать ток достато чно длительное время, нужно от тела с меньшим потенциалом непрерывно отводить приносимые заряды, а к телу с большим потенциало м непрерывно их подводить. Иными словами, электрическая цепь должна быть замкнутой. Но электрическое поле не может перемещать заряды по замкнутому пути (A = 0), поэтому наряду с электрическими силами на перемещающиеся заряды должны действовать и силы неэ лектростатического характера, так называемые сторонние силы .

Величину, равную работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда, называют электродвижуще й силой источника (ЭДС):

E =	Añò	.	4.9
	q

51

По аналогии с электрическими силами стороннюю силу можно представить в виде

r

r

r

Fñò

= Eñò

× q ,

4.10

ãäå Eñò

– напряженность поля сторонних сил.

Тогда Àñò = òÅñò × q × dl = qòEcò

× dl = q × E , следовательно,

E =

ò

r

× dl.

Ecò

4.11

E12

Рассмотрим неоднородный участок

1

2

цепи 1–2 (рис. 23). На участке 1–2

на заряды будут действовать две

1

2

силы: электрическая сила Fý

и сторон-

íÿÿ ñèëà Fñò, их результирующая

Рис. 23. К выводу закона Ома

r

r

r

r

r

для неоднородного

F

= Fý

+ Fñò = q

(Eý

+ Eñò ). Тогда работа

участка цепи

по перемещению заряда между точ-

ками 1 и 2 будет определяться по фор-

ìóëå

A12 = ò2

F × dl = qò2

E ×dl + qò2

Eñò ×dl.

4.12

1

1

1

Íî

ò2

E × dl = j1 - j2, à ò2

Eñò × dl = E12, тогда

1

1

A12 = q (j1 - j2 ) + q × E12.

4.13

Величину U

=

A12

называют напряжением между двумя точ-

12

q

ками электрической цепи:

U12 = (j1 - j2 ) + E12.

4.14

При отсутствии источника тока (E12 = 0) напряжение U12 совпадает с разностью потенциалов.

Работаимощностьпостоянноготока. ЗаконДжоуля–Ленца

При упорядоченном перемещении электрических зарядов электрическое поле совершает работу dA = U Ч dq. Из уравне-

52

ния 4.1 найдем, что dq = I Ч dt, тогда dА = U Ч I Ч dt. После интегрирования можно получить

t	2		U2
A = òU × I ×dt = U × I × t = I		× R × t =		t .	4.15
			R
0

Следовательно, для мощности тока получим

P = U × I = I2 × R =	U2	.	4.16
	R

При прохождении тока по проводнику он нагревается. Джоуль и Ленц установили, что количество теплоты, выделяющееся в проводнике, может быть найдено по формуле

Q = I2 × R × t .

4.17

Если сила тока изменяется во времени, то закон Джоуля – Ленца можно записать в виде

Q = òt I2 (t )× R × dt.

4.18

0

Закон Джоуля – Ленца можно записать в дифференциальной форме. Выделим в проводнике с током I элементарный объем в

форме цилиндра длиной dl и площадью поперечного сечения dS. Согласно закону Джоуля – Ленца (4.17), в нем будет выделяться количество теплоты

dQ = I2 r×dl dt = ( j× dS)2 r×dl dt = j2 ×r× V × dt .		4.19
dS	dS

Количество теплоты, отнесенное к единице объема и единице времени, называется удельной тепловой мощностью тока:

w =	dQ	.	4.20
	V × dt
Учитывая уравнение 4.19, выражение 4.20 примет вид
w = j2 ×r .			4.21

Воспользовавшись соотношением 4.8, выражение 4.21 можно

записать в виде
w = g × E2 .	4.22

Формулы 4.21 и 4.22 выражают закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме.

53

ЗаконОмадлянеоднородногоучасткацепи

Чтобы получить закон Ома для неоднородного участка цепи, т.е. участка, на котором действует ЭДС, воспользуем ся законом сохранения энергии. Пусть на концах участка 1–2 (рис. 23) поддерживается разность потенциалов (ϕ1 – ϕ2). Обозначим ЭДС, действующую на участке E12, и зададим направление тока и ЭДС.

Если проводник неподвижен, то единственным результатом протекания тока будет его нагревание. Количество теплоты , выделяющееся в проводнике, определяется по закону Джоуля – Ле нца (уравнение 4.17):

dQ = I2 × R × t = I × R (I × dt ) = I × R × dq .			4.23
При перемещении электрического заряда совершается рабо та
dA = E12dq + dq (j1 - j2 ) .			4.24
Согласно закону сохранения энергии dQ = dA , тогда
I × R × dq = E12 × dq + dq (j1 - j2 ) .
После сокращения на dq окончательно получим
I =	(ϕ1 − ϕ2 ) ± E12	.	4.25
	R

Формула 4.25 выражает закон Ома для неоднородного участка цепи. Из 4.25 следуют частные случаи:

	1. Åñëè E = 0, òî I = j1 - j2 =				U	– закон Ома для однородного
	12	R			R
	участка цепи.
	2. Если цепь замкнута (ϕ			= ϕ ), òî I =			E12	– закон Ома для
			1				R
				2

замкнутой цепи.

Разветвленныецепи.ПравилаКирхгофа

Закон Ома для неоднородного участка цепи позволяет рассчитать любую электрическую цепь, но расчет этот довольно

54

I1	I4

I3

I2

Рис. 24. К первому правилу Кирхгофа

сложен. Расчет электрических цепей значительно упрощается, если воспользоваться правилами Кирхгофа.

Назовем узлом электрической цепи точку, в которой сходится не менее трех проводников

(ðèñ.24).

Токи, втекающие в узел, будем считать положительными, а вытекающие – отрицательными, тогда для узла (рис. 24) получим

N
I1 + I2 - I3 - I4 = åIi = 0.	4.26

i=1

Это и есть первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю. Первое правило Кирхгофа

вытекает из закона сохранения

2

E1

электрического заряда.

E2

Второе правило Кирхгофа

R1

R2

является следствием закона со-

I2

хранения энергии. Выделим

I1

в разветвленной электричес-

I3

3

кой цепи замкнутый контур

1–2–3 (рис. 25). Зададим на-

1

R3

E3

правление обхода контура (на-

пример, по часовой стрелке)

Ðèñ. 25.

К выводу второго

и применим к каждому из уча-

правила Кирхгофа

стков закон Ома для неодно-

родного участка цепи:

-I1 × R1 = j1 - j2 + E1

-I2 × R 2 = j2 - j3 + E2

-I3 × R3 = j3 - j1 - E3

При суммировании этих выражений получим

N

N

-I1 × R1 - I2 × R 2 - I3 × R 3 = E1 + E2 - E3 èëè åIi × Ri

= åEi . 4.27

i=1

i=1

Формула 4.27 выражает второе правило Кирхгофа: в замкнутом контуре, произвольно выделенном в разветвленной электри ческой цепи,

55

алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротив ление соответствующих участков равна алгебраической сумме ЭДС, д ействующих в этом контуре.

При составлении уравнений по второму правилу Кирхгофа ну ж- но току и ЭДС приписывать знаки. Если направление обхода к онтура совпадает с направлением силы тока и ЭДС, то они счита ются положительными, в противном случае – отрицательными. Н а- правление обхода контура выбирается произвольно и не зав исит от выбора направления в других контурах.

Измерительныемостыпостоянноготока

Для определения сопротивления проводников можно использовать метод амперметра и вольтметра, однако этот м етод приводит к появлению погрешности, так как сами приборы им е- ют какое-то сопротивление.

Для точных измерений сопротивления проводников широко п рименяются измерительные мосты постоянного тока (мостик Уитстона). Измерительный мост постоянного тока представляет

собой четырехугольный контур, образованный сопротивлен иями

R1, R2, R3 è R4, в одну диагональ которого включается индикатор

нуля (измерительная диа-

b

гональ), а в другую –

R1

R2

источник постоянного тока

(диагональ

питания)

(ðèñ. 26).

Мост называется уравно-

c

вешенным, если ток в изме-

a

èí

рительной диагонали отсут-

ствует, т.е. Ièí

= 0. Выведем

R3

условие балансировки моста.

R4

Запишем первое правило

Кирхгофа для узлов b и d:

I1 − Ièí − I3 = 0

d

4.28

I2 + Ièí − I4 = 0

и второе правило Кирхгофа

Рис. 26. Измерительный мост

для контуров abda и bcdb:

постоянного тока

56

	I1R1 + IèíRèí - I3R3	= 0	4.29
	I2R2 - I4R4 - IèíRèí = 0.

Изменением известных сопротивлений R1, R2, R3 можно добиться того, чтобы ток в индикаторе нуля был равен нулю, т.е.

Ièí = 0. Тогда из уравнений 4.28 можно получить I1 = I3 è I2 = I4, а из выражений 4.29 с учетом полученного найдем условие равновесие моста:

	R1	=	R	3	Þ R1	= R 2	×	R	3	.	4.30
	R 2		R	4				R	4

Это и есть условие балансировки моста постоянного тока. Т а- ким образом, при определении неизвестного сопротивления R1 величина ЭДС, внутреннее сопротивление источника и сопро тивление гальванометра не играют никакой роли.

Мощностьтокавовнешнейцепи. КПДисточникатока

Электрическая цепь, как правило, состоит из источ- ника тока, потребителя (нагрузки) и соединительных провод ов. Пренебрегая сопротивлением подводящих проводов, для сил ы тока в цепи можно получить выражение

I =	E	.
	R + r

Работа, совершаемая источником тока при перемещении заря да

вдоль замкнутой цепи, равна

A = E × I × t,

следовательно, мощность, развиваемая источником тока, буд ет определяться по формуле

P = E × I.

Подставляя значение силы тока, получим полную мощность,

выделяющуюся в цепи:
P =	E2	.	4.31
	R + r

Во внешней части цепи (в нагрузке) выделяется только часть этой мощности

Pï = I	2	× R =	E2	×	R	,	4.32
			R + r		R + r

которую называют полезной мощностью.

57

Из выражений 4.31 и 4.32 следует, что КПД источника тока

h =	Pï	=	R	.	4.33
	P		R + r

Из формулы 4.32 следует, что полезная мощность зависит от сопротивления нагрузки R. Дифференцируя 4.32 по R и приравнивая производную нулю, можно найти, что полезная мощност ь максимальна при R = r. КПД источника тока в этом случае будет равен 0,5.

Примеры решения задач

Задача 9. Сила тока в проводнике сопротивлением 6 Ом равномерно нарастает в течение 5 с от нуля до 10 А. Определить количество теплоты, выделяющейся в проводнике за это время.

Äàíî:

R = 6 Îì t1 = 5 c I0 = 0

I1 =10 A Q - ?

Если сила тока в проводнике изменяется, то закон Джоуля – Ленца необходимо записывать для бесконечно малого промежутка времени, т.е.

dQ = I2 × R × dt, где сила I = I(t) является некоторой функцией времени. В нашем случае I = kt,

тогда dQ = k2 × R × t2 × dt.

Для определения количества теплоты, выделившейся за конечный промежуток времени, это вы-

t	2		2		k2 × R × t3
ражение надо проинтегрировать, т.е. Q = òk		× R × t		× dt =		.
					3
0

Значение коэффициента пропорциональности можно найти и з ус-

ловия, что при t = t1 сила тока в проводнике равна I1, тогда k = I1 . t1

Подставляя в выражение для количества теплоты Q, получим

= I2 × R × t

Q 1 1 .

3

= 100 ×6 ×5 =

Вычисляя, получим Q 1000 Äæ.

3

Ответ: Q = 1000 Дж.

58

Задача 10. К зажимам батареи с ЭДС 24 В и внутренним сопротивлением 1 Ом присоединен нагреватель мощностью 80 Вт. Определить силу тока в цепи и КПД нагревателя.

Äàíî:

E 24 B

r 1 Îì

P 80 Âò

I?

?

Мощность тока в проводнике можно определить по формуле P = U Ч I. Напряжение на проводнике можно определить из закона Ома для замкнутой

öåïè: I =	E	Þ U = E - I × r, тогда P = E × I - I2 × r.
	R + r

Подставляя численные значения, получим квадратное уравнение I2 - 24 × I + 80 = 0. Решая это урав-

нение, получим I1,2 = 12 ± 144 - 80 = 12 ± 8 Þ I1 = 20 A, I2 = 4 A . Из закона Ома для замкнутой цепи можно

найти сопротивление нагревателя в обоих случаях: R = E - Ir Þ

							I
R1	=	24 - 20	= 0, 2 (Îì) ,	R 2	=	24 - 4	= 5 (Îì).
	20				4

Коэффициент полезного действия определяется по формуле

h =	R	, тогда в первом случае h =		0, 2	= 0,17, во втором случае
	R + r		1	1, 2

η =		5	= 0,83.
2	6
	На практике обычно выбирают случай, в котором коэффици-
ент полезного действия будет наибольшим.
	Ответ: I1 = 20 A, I2 = 4 A, h1 = 0,17,			h2	= 0,83 .
	Задача 11. Три источника тока с ЭДС				E1 =11 B,	E2 = 4 B è
E3 = 6 B и три проводника R1 = 5 Îì, R 2				=10 Îì, R3		= 2 Îì ñî-

единены так, как показано на рисунке. Определить токи в про водниках. Внутренним сопротивлением источников тока можно пренебречь.

59

Äàíî:

Выберем на-

Å1

= 11Â

правление токов

E1

R1

I1

Å2 = 4 Â

так, как указано

на рисунке. Тогда

Å3 = 6 Â

первое правило

R1 = 5 Îì

E2

R2

I2

Кирхгофа запи-

R2 = 10 Îì

шется

â âèäå

I1 + I2 - I3 = 0.

R3 = 2 Îì

Недостающие

E3

R3

I3

I1 − ?

два уравнения со-

I2

− ?

ставим по второ-

му правилу Кирхгофа. Для верхнего контура (об-

I3

− ?

ход по часовой стрелке) I1

× R1 - I2 × R2

= E1 - E2 ,

для нижнего контура (при том же направлении

обхода) I2 × R 2 - I3 × R 3

= E2 - E3. Подставляя численные значения,

получим систему уравнений:

I1 + I2 - I3 = 0

5I1 -10I2 = 7

10I2 - 2I3 = -2.

Решая полученную систему, можно найти I1 =1,54 A,

I2

= 0, 07 A,

I3 =1, 61 A. Все токи получились с положительным

знаком, следовательно, мы правильно указали направление т оков в проводниках.

Ответ: I1 =1,54 A,

I2 = 0, 07 A, I3 =1, 61 A.

Задачи

70. В схеме (рис. I) Е1 = 1 Â,

E1

R1

Å2 = 2,5 Â, R1 = 10 Îì, R2 = 20 Ом. Найти

разность потенциалов между обкладками

конденсатора.

E1

E2

R2

71. Найти ЭДС и внутреннее сопротивле-

ние источника, эквивалентного двум парал-

лельно соединенным элементам с ЭДС Е1 è

Ðèñ. I1

Å2 и внутренними сопротивлениями r1 è r2.

60