Электричество и магнетизм (Крахоткин В.И

силы этого поля будут стремиться повернуть диполи вдоль п оля (ориентационная поляризация) и диэлектрик приобретает д ипольный момент

			r
	r	= n ×	p	i	× E × V,
	pV					2.3
			3kT

r

где n – концентрация молекул, pi – дипольный момент молеку-

лы, k – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура, V – объем диэлектрика.

Как видно из этого выражения, ориентационная поляризация зависит от абсолютной температуры.

Третью группу диэлектриков (NaCl, KCl, KBr ) образуют так называемые ионные кристаллы, представляющие собой кристал ли- ческие решетки с правильным чередованием ионов различны х знаков. В этом случае нужно рассматривать не отдельные молекулы, а две подрешетки, вдвинутые друг в друга. При помещении такого диэлектрика во внешнее электрическое поле решетки смеща ются относительно друг друга (ионная поляризация) и диэлектри к приобретает дипольный момент, отличный от нуля.

Итак, внесение диэлектрика во внешнее электрическое поле приводит к возникновению отличного от нуля результирующего дипольного момента, или иными словами, к поляризации диэлектрик а.

Поляризациядиэлектриков. Напряженностьэлектрическогополя вдиэлектрике

Во внешнем электрическом поле диэлектрик поляризуется, т.е. приобретает отличный от нуля дипольный момент

r	r	r
pV	= åpi, ãäå	pi	– дипольный момент отдельной молекулы.

Степень поляризованности макроскопического тела принят о r

характеризовать вектором поляризованности p, который в случае однородно поляризованного тела определяется как диполь ный мо-

мент единицы объема тела:

r

r = pV . 2.4 p

V

21

В случае неоднородно поляризованного тела поляризованн ость
определяется для каждого физически малого объема:
		r	r
					2.5
		p = dpV .
			dV
			Способность вещества изме-
			нять свою поляризованность под
			действием внешнего электричес-
			кого поля характеризует диэлек-
			трическая восприимчивость χe.
			Опыт показывает, что для боль-
			шинства веществ (исключение –
			сегнетоэлектрики)
	E0			r
E			r	× E,
			p = ce × e0		2.6
	E		ãäå χe – диэлектрическая вос-
Рис. 16. Поляризация диэлектрика			приимчивость, величина безраз-
			мерная, больше нуля и состав-
ляет несколько единиц, хотя есть и исключения (вода, спирт) .
Для определения напряженности электрического поля в ди-
электрике рассмотрим следующий опыт. Поместим пластинку из
					r
диэлектрика в однородное электрическое поле с напряженн остьюE0,
создаваемое бесконечными заряженными пластинами (рис. 16). Под
действием электрического поля заряды в диэлектрике смещ аются:
отрицательные против поля, положительные по полю. В резул ьта-
те этого на поверхностях пластинки появляются связанные элект-
рические заряды, создающие дополнительное электрическо е
	r	′
поле с напряженностью E . Согласно принципу суперпозиции по-
лей, напряженность поля в диэлектрике будет определяться по
формуле
	r	E = E0 − E′.			2.7
Òàê êàê ïîëå E′ создается заряженными плоскостями, то

	′	σ′
E		= ε		,	2.8
			0

ãäå s′– поверхностная плотность связанных зарядов.

Определим поверхностную плотность связанных зарядов s′. Полный дипольный момент диэлектрика по формуле 2.4 равен:

22

pV = p × V = p × d ×S, но с другой стороны pV = q × d = s¢×S × d, следовательно

	s¢ = p .	2.9
С учетом уравнений 2.9 и 2.4 выражение 2.6 примет вид
r	r
E0	= E (1 + ce ).	2.10
Обозначив
	1 + ce = ε,	2.11

для напряженности поля в диэлектрике окончательно получ им

		r
	r
	E =	E0	,	2.12
		e

ãäå ε – диэлектрическая проницаемость вещества, показывающая, во сколько раз уменьшается напряженность электрическог о поля в диэлектрике по сравнению с вакуумом.

Выражение 2.12 показывает, что напряженность электрического поля зависит от свойств среды.

Электрическоесмещение.ТеоремаГаусса дляэлектрическогосмещения

Рассмотрим теперь границу раздела двух однородных диэлектриков I и II (рис. 17). В каждом диэлектрике вблизи границы

раздела появятся поляризационные

I

E

заряды с поверхностной плотностью

′

′

s1 è

s2, которые будут иметь про-

1

тивоположные знаки. Граница разде-

ла окажется заряженной с поверхно-

2

стной плотностью s = s1 - s2 , îò÷å-

II

го появляется дополнительное

электрическое поле с напряженнос-

E0

Рис. 17. Электрическое поле

òüþ E′ =

1

−

2

, перпендикулярной

на границе раздела двух сред

2ε0

к границе раздела двух сред.

Тогда напряженность поля в первой среде

E1 = E0

− E′ = E0

−

σ1 − σ2

,

2ε0

23

а во второй среде

E2	= E0 + E¢ = E0	+ s1 - s2 .
		2e0

Мы видим, что на границе раздела двух диэлектриков напряженность поля претерпевает скачкообразное изменение, чт о приводит к дополнительным трудностям при расчете электриче ских полей. Поэтому на практике оказалось необходимым помимо н а- пряженности характеризовать электрическое поле еще одн ой величиной.

Рассмотрим разность напряженностей электрического поля в двух средах

E	2	- E	=	s1 - s2				.
		1			e0
С учетом формулы 2.9 данное выражение примет вид
E2 - E1			=		p1 - p2			.		2.13
					e0
Выражение 2.13 можно преобразовать к виду
r		r			r				r
e0 × E2 + p2			= e0 × E1 + p1.							2.14
		r			r	r
Введем новую величину D = e0 × E						+ p, которую будем называть

вектором электрического смещения, тогда можно утверждать, что
r	r
D	= D ,	2.15
1	2

т.е. электрическое смещение одинаково в обеих средах. По эт ой причине для описания электрического поля в неоднородных ди-

электриках гораздо удобнее пользоваться вектором элект рическо- r r

го смещения D вместо вектора напряженности E и в этом заклю- чается основной смысл введения электрического смещения .

Электрическое поле можно изображать с помощью линий элек - трического смещения (рис. 18б). Они, в отличие от линий напряженности (рис. 18а), не прерываются на границе раздела двух д иэлектриков.

Что же характеризует вектор электрического смещения? Связанные заряды в диэлектрике появляются под действием

внешнего электрического поля, создаваемого свободными э лектрическими зарядами. Результирующее поле в диэлектрике оп исы-

24

r			вается вектором напря-
			женности, поэтому он
E		r
			зависит от свойств сре-
		D
			ды. Вектор от свойств
			среды не зависит, сле-
à	á		довательно, он описы-
Рис. 18: а – линии напряженности поля;			вает электростатичес-
			кое поле, создаваемое
б – линии электрического смещения
			свободными электри-
ческими зарядами. Связанные заряды могут, однако, вызвать пе-
рераспределение в пространстве свободных зарядов, поэто му элек-
трическое смещение описывает электростатическое поле с вобод-
ных зарядов, но при таком их распределении, которое имеетс я
при наличии диэлектрика.
В соответствии с вышеизложенным теорему Гаусса для элект -
рического смещения D можно записать в виде

FD =	ò	D × dS,	2.16

S

где учитываются только свободные электрические заряды.

Поток вектора электрического смещения сквозь любую замк нутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных зарядов.

В такой формулировке теорема Гаусса справедлива для элек т- ростатического поля как в однородных и изотропных средах , так и в неоднородных и анизотропных средах.

Сегнетоэлектрики

Некоторые химические соединения в твердом состоянии имеют весьма необычные электрические свойства. Вперв ые эти свойства были обнаружены у сегнетовой соли, поэтому э тот класс веществ получил название сегнетоэлектриков. Детал ьное исследование свойств сегнетовой соли было произведено И.В. Курча- товым и П.П. Кобеко в 1931–1934 гг.

Основные свойства сегнетоэлектриков:

1. Сегнетоэлектрики имеют аномально большие значения диэлектрической проницаемости (ε ≈ 104 ).

25

2.Диэлектрическая проницаемость сегнетоэлектриков явля ется нелинейной функцией напряженности электрического поля.

3.Диэлектрическая проницаемость зависит не только от нап ряженности электрического поля, но и от предыстории образца , т.е. его предшествующей поляризации. Другими словами, наблюда ется диэлектрический гистерезис.

4.Сегнетоэлектрические свойства сильно зависят от темпер атуры. Для каждого сегнетоэлектрика имеется определенная те мпература, выше которой его необычные свойства исчезают. Эта те мпература получила название точки Кюри. Как правило, сегнето электрики имеют одну точку Кюри, хотя есть и исключения, наприм ер,

óсегнетовой соли – две точки (−18°Ñ, + 24°Ñ).

Эти свойства сегнетоэлектриков объясняются тем, что в отс утствие внешнего электрического поля сегнетоэлектрики пр едставляют собой как бы мозаику из доменов – областей с различны ми направлениями спонтанной (самопроизвольной) поляризова нности. Так что в целом сегнетоэлектрик не поляризован, т.е. его дипольный момент равен нулю.

При внесении сегнетоэлектрика во внешнее электрическое поле происходит переориентация дипольных моментов доменов п о полю, а возникающее при этом электрическое поле доменов будет п оддерживать их некоторую ориентацию и после прекращения де й- ствия внешнего поля.

Пьезоэффект

Опыт показывает, что в некоторых кристаллах поляризация может возникать не только под действием электрич еского поля, но и под действием механических напряжений. Это яв ление, впервые изученное П. и Ж. Кюри, получило название пьезо - электрического эффекта, или пьезоэффекта.

Если из кристалла кварца вырезать определенным образом п ластинку и сжимать (растягивать) ее в направлении, перпендик у- лярном к оптической оси, то в ней возникает поляризация и н а поверхности пластинки появляются поляризационные заряд ы (рис. 19). Опыт показывает, что при изменении знака деформации, т.е. при переходе от растяжения к сжатию, знак поляриза ционных зарядов изменяется.

26

F

F

Величина вектора поляри-

зации (в определенном интер-

вале изменений) пропорцио-

нальна механическому напря-

жению.

Рис. 19. К возникновению

Наряду с прямым пьезоэф-

пьезоэффекта

фектом существует и обратное

ему явление (обратный пьезо-

эффект): в пьезоэлектрических кристаллах возникновение п оляризации всегда сопровождается механическими деформация ми. Поэтому, если на металлические обкладки, укрепленные на кри сталле, подать напряжение, то он под действием поля поляризует ся и деформируется.

Рис. 20. Двойной пьезоэлемент, работающий на сжатие

Рис. 21. Двойной пьезоэлемент, работающий на изгиб

Пользуясь этим обстоятельством, можно осуществлять различ- ные типы деформации. На рисунке 20 показан двойной пьезоэлемент (составленный из двух пластин), работающий на сжатие. Пластины вырезаны таким образом, что они одновременно сжимаются или растягиваются.

На рисунке 21 показан пьезоэлемент работающий на изгиб. При подаче напряжения на пластинки одна из них растягивается, а другая сжимается, в результате чего и возникает деформация изгиба. Если такие пластинки сгибать внешними силами, то на пластинках появляется напряжение. Очевидно, что такой пьезоэлемент не отвечает на сжатие и растяжение, так как возникающие при этом электрические поля направлены в разные стороны и разность потенциалов равна нулю.

27

1.3.Проводники в электрическом поле

Равновесиезарядовнапроводниках

Свободные электрические заряды в проводнике могут перемещаться под действием сколь угодно малой силы. Поэто му равновесие зарядов в проводнике может наблюдаться тольк о при выполнении следующих условий:

1. Напряженность электрического поля внутри проводника до лжна быть равна нулю, т.е.

r

E = 0. 3.1 В соответствии с выражениями 1.19 и 3.1 это означает, что

потенциал внутри проводника остается постоянным.

2. Напряженность поля на поверхности проводника в каждой точке должна быть направлена по нормали к поверхности. Следовательно, в случае равновесия зарядов поверхность провод ника является эквипотенциальной поверхностью.

Если бы эти условия не выполнялись, то на свободные заряды , имеющиеся в каждом проводнике, действовала сила, и равнов есие было бы нарушено.

Земля также является проводником, и заряды на ней находят ся в равновесии. Поэтому можно считать, что все точки Земли им еют одинаковый потенциал. По этой причине постоянную точку пр и измерении потенциала часто выбирают на поверхности Земл и и говорят о потенциале относительно Земли.

Так как при равновесии зарядов на проводнике напряженность поля в нем равна нулю, то поток вектора напряженност и через любую замкнутую поверхность, проведенную внутри пр о- водника, равен нулю. Из теоремы Гаусса (формула 1.9) следует, что в этом случае замкнутая поверхность электрических зарядов не охватывает. Следовательно, при равновесии внутри прово д- ника не может быть электрических зарядов. Все они располо - жатся на поверхности проводника с некоторой поверхностн ой плотностью σ. Заряды в состоянии равновесия распределяются по поверхности проводника всегда, независимо от того, каким образом возникают эти заряды.

28

Так как в состоянии равновесия зарядов внутри проводника нет, то удаление вещества из некоторого объема, взятого вн утри проводника, никак не отражается на распределении зарядов . Это означает, что избыточный заряд распределяется на полом пр оводнике так же, как и на сплошном, т.е. на его наружной поверхнос - ти. На поверхности полости заряды располагаться не могут. Это явление широко используется в электростатической защит е и генераторе Ван-де-Граафа.

		К аналогичному результату мы
		придем, рассматривая незаряжен-
		ный проводник, помещенный во
r		внешнее электрическое поле.
E		Под действием внешнего элек-
		трического поля в проводнике но-
		сители заряда приходят в движе-
		ние: положительные – по полю,
Рис. 22. Электрическое		отрицательные – против поля.
поле в проводнике		В результате перемещения зарядов
		на поверхности проводника воз-
		никают заряды противоположных
знаков (рис. 22), называемые индуцированными зарядами, а само
явление – электростатической индукцией.
Ранее мы показали, что напряженность электрического поля у
поверхности проводника E′ =	σ′. Поле этих зарядов направлено
	ε	0

против внешнего поля и ослабляет его. Перемещение зарядов будет происходить до тех пор, пока напряженность поля в проводн ике не станет равной нулю, а заряды при этом распределятся по п о- верхности проводника. Следовательно, нейтральный провод ник, внесенный во внешнее электрическое поле, разрывает часть линий напряженности – они заканчиваются на отрицательном з аряде и начинаются на положительном.

Тот факт, что заряды в проводнике распределяются только по его поверхности, является следствием закона Кулона. По - этому, исследуя на опыте, действительно ли в объеме провод - ника нет электрических зарядов, можно проверить справедл и- вость закона Кулона, и притом с гораздо более высокой точ- ностью.

29

Такие опыты впервые были проведены Кавендишем на 11 лет раньше Кулона, но эта работа Кавендиша была опубликована только

âконце XIX века.

Âэтих опытах изолированный металлический шар помещался внутри металлических полусфер, которые могли быть соедин ены

âодну сферу. В одной из полусфер было маленькое отверстие , через которое шар мог бы быть соединен со сферой.

Сам опыт заключался в следующем. Полусферы складывались вместе, соединялись проволокой с шаром и заряжались от эл ектрофорной машины. Затем проволоку убирали, обе полусферы р аздвигали и с помощью электрометра определяли заряд шара. О пыт всегда показывал, что на шаре нет никаких следов заряда.

Позднее Максвелл повторил опыты Кавендиша с более чувствительными приборами и показал, что отклонение от двойк и в показателе степени закон Кулона если и существует, то не п ревышает значения 0,00005.

Распределение зарядов по поверхности проводника зависи т от его формы. Опыт показывает, что поверхностная плотность з арядов различна в различных точках поверхности проводника: о на близка к нулю в углублениях и максимальна вблизи острия.

Но напряженность электрического поля пропорциональна п о- верхностной плотности заряда σ. Поэтому напряженность поля у поверхности проводника сложной формы также весьма неоди накова. Она особенно велика возле участков с малым радиусом кривизны, т.е. у заострений. Это приводит к своеобразному явлен ию «стекания» зарядов с металлического острия.

Электроемкость.Конденсаторы

Опыт показывает, что независимо от способа электризации тела его заряд всегда пропорционален потенциалу , т.е.

q = C ×j .

3.2

Коэффициент пропорциональности между зарядом тела и его потенциалом называется электроемкостью (или просто емкостью) пр оводника.

Из формулы 3.2 следует, что

	C =	q	. [C] =1	Êë	=1 Фарад.	3.3
		ϕ
			Â

30