6.2 Виды средних величин

В каждом конкретном случае для реализации логической формулы средней используется один вид средней величины:

1 Степенные средние

• средняя арифметическая;

• средняя гармоническая;

• средняя геометрическая;

• средняя квадратическая, кубическая и т. д.

Перечисленные средние величины объединяются в общей формуле.

Где x_i – варианты (значения признака);

f_i – частота;

k – степень средней.

2 Структурные средние.

Они используются для характеристики ряда распределения. К структурным средним относятся мода и медиана.

3 При осреднении уровней моментных динамических рядов применяются различные виды средней хронологической, которые будут рассмотрены в теме "Ряды динамики".

6.3 Средняя арифметическая, ее свойства

Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая, которая, как и все средние, в зависимости от характера имеющихся данных может быть простой или взвешенной.

Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда по исходным данным известен знаменатель логической формулы и неизвестен числитель, но его можно найти как сумму значений признака или сумму произведений значений признака на частоту.

Средняя арифметическая простая используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по не сгруппированным данным.

Средняя арифметическая взвешенная применяется при расчетах по рядам распределения (1).

Свойства средней арифметической.

1 Произведение средней на объем совокупности равно сумме произведений индивидуальных значений признака на частоту.

2Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней величины равна 0.

3 Если все частоты f_i умножить или разделить на какое либо число А, то средняя не изменится.

4 Если все варианты Х_i умножить или разделить на какое либо число k, то средняя соответственно изменится в k раз.

5 Если все варианты увеличить или уменьшить на число А, то средняя соответственно увеличится или уменьшится на число А.

Свойства 4-5 позволяют рассчитывать среднюю арифметическую по интервальным ряда распределения методом моментов.. Этот метод применяется для упрощения вычислений.

Метод моментов расчета средней величины.

1 Определяется середина интервалов x_i как средина отрезка. При этом ширина открытых интервалов (первого и последнего) считается равной ширине последующего или предыдущего.

2Преобразуются исходные данные следующим образом:

где x_í – преобразованные данные;

x_i – исходные данные;

А – середина интервала с наибольшей частотой;

k – ширина интервала.

3Определяется средняя для преобразованных данных по формуле арифметической взвешенной.

4 Возвращаются обратно к исходной средней методом моментов.

.

Пример 6.1 Имеются данные распределения домохозяйств по уровню среднедушевого дохода. Результаты обследования представлены в таблице 11.

Таблица 11

Среднедушевой доход, руб.	Число домохозяйств fi
До 200	5
200-400	12
400-600	24
600-800	56
800-1000	80
1000-1200	15
1200 и более	8

Определить средний стаж работников.

Решение: Для расчетов построим расчетную таблицу 12.

Таблица 12

Среднедушевой доход, руб.	Число домохозяйств fi	Середина xi	xí = (xi – A)/k = = (xi – 900)/200	xí *fi
До 200	5	100	-4	-20
200-400	12	300	-3	-36
400-600	24	500	-2	-48
600-800	56	700	-1	-56
800-1000	80	900 (A)	0	0
1000-1200	15	1100	1	15
1200 и более	8	1300	2	16
Итого	200	-	-	-129

Средняя для преобразованных данных равна

Средняя для исходных данных равна