7.3 Свойства σ 2 и σ, формулы их расчета

Свойства.

1. Дисперсия и СКО (σ ² и σ) постоянной величины = 0.

2. Если все значения признака (x_i) уменьшить или увеличить на число а, то дисперсия и СКО (σ ² и σ) не изменятся.

3 Если все значения признака (x_i) умножить или разделить на число k, то σ ² изменится в k² раз, а σ – в k раз.

Упрощенная формула расчета дисперсии и СКО имеет вид (4).

Используя свойства дисперсии и СКО, можно найти дисперсию признака в интервальных рядах распределения методом моментов:

1. находим середины интервалов x_i;

2. преобразуем данные

где А – середина интервала с наибольшей частотой,

k – ширина интервала;

3. определяем среднюю для преобразованных данных по формуле (1).

4. определяем начальную дисперсию по преобразованной формуле (4) и свойству 3.

Для нормального закона распределения для показателей вариации существует взаимосвязь.

R ≈ 6 · σ

σ = 1,25· l

Правило трех сигм для нормального закона распределения показывает, что в интервал (x – 3 σ, x + 3 σ) попадает 99,7% всех индивидуальных значений x_i.

7.4 Вариация альтернативного признака

Альтернативным в статистике считают атрибутивный признак, который может иметь только два значения. Если этот признак у единицы совокупности есть, то он равен 1, если нет, то он равен 0.

Определяется доля единиц, имеющих признак во всей совокупности,

p = m/n,

где m -- количество единиц, имеющих признак;

n – количество всех единиц.

q = 1-p  доля единиц, у которых нет признака.

Дисперсия и СКО альтернативного признака находятся по формулам.

σ ² = p•q ,

___

σ = √p•q .

7.5 Виды дисперсий. Правило сложения дисперсий

Вариация признаков в совокупности складывается под влиянием различных внешних и внутренних причин и факторов. Влияние некоторых из этих факторов можно изучить, проведя группировку совокупности по этому фактору. По проведенной группировке рассчитываются различные виды дисперсий:

1 Общая дисперсия– характеризует всю вариацию, складывающуюся под влиянием всех факторов (3).

2Межгрупповая дисперсия– характеризует вариацию, складывающуюся под влиянием только группировочного признака.

где x – общая средняя для всей совокупности;

x _i – групповые средние;

n _i – количество единиц в группах.

3 Внутригрупповая дисперсия – характеризует вариацию, складывающуюся под влиянием всех других факторов, кроме группировочного. Их будет столько, сколько групп в проведенной группировке.

Средняя из внутригрупповых дисперсий.

Правило сложения дисперсий.

_

σ ² =  ² + σ _i²_.

Общая дисперсия равна сумме межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий.

Эмпирический коэффициент детерминации и корреляционное отношение

Сравнение различных видов дисперсий позволяет изучить влияние группировочного фактора на вариацию изучаемого показателя. Для этого применяют эмпирический коэффициент детерминации ŋ² .

ŋ² =  ² / σ ² · 100 .

Чем больше доля межгрупповой дисперсии в общей, тем сильнее влияние группировочного фактора на общую вариацию.

Для изучения тесноты взаимосвязи между группировочным фактором и результативным признаком, рассчитанным по группам (в результате аналитической группировки), применяется эмпирическое корреляционное отношение ŋ.

_______

ŋ = √ ŋ² / 100 ,

0≤ ŋ ≤1.

Для того, чтобы сделать вывод по значению ŋ о тесноте взаимосвязи используются соотношения Чэддока (таблица 16).

Таблица 16

Ŋ	<0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99	1
Теснота связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Тесная	Очень тесная	Функциональная

Для ŋ<0,1 – нет связи.