6.4 Средняя гармоническая. Другие виды средних

Средняя гармоническая (взвешенная) применяется в тех случаях, когда известен числитель логической формулы средней и неизвестен знаменатель. Знаменатель можно найти как частное двух показателей.

где w_i = x_i*f_i.

Еслиw_i одинаково у всех единиц совокупности, то для расчета средней применяется средняя гармоническая простая.

Пример 6.2 Известны данные по фирме о выпуске экспортной продукции за год (таблица 13).

Таблица 13

Вид продукции	Стоимость продукции на экспорт, тыс. руб.	Удельный вес продукции на экспорт от всей продукции, %	Стоимость всей продукции, тыс. руб.
	Wi	xi	Wi / xi *100
Сталь	320	40	800
Прокат	420	35	1200
Итого	740	-	2000

Определите средний удельный вес продукции на экспорт по предприятию.

Решение: Составим логическую формулу средней величины (экономическое содержание).

Средний удельный вес Стоимость продукции на экспорт

продукции на экспорт = ______________­­­­­___­______________ * 100 .

Стоимость всей продукции

Так как по исходным данным известен числитель логической формулы и неизвестен знаменатель, то для расчетов данной средней величины будем применять среднюю гармоническую взвешенную. Неизвестные данные рассчитаем в таблице 13.

Таким образом, средний удельный вес экспортной продукции предприятия составляет 37%.

Средняя квадратическая применяется для определения средней по показателям, имеющим квадратные единицы измерения, а также для расчета показателей вариации. Расчетная формула имеет вид.

Средняя геометрическая применяется для определения средних темпов роста в рядах динамики. При этом варианты x_i представляют собой цепные относительные показатели динамики, где k = k₁ + k₂ +….+ k_n.

6.5 Структурные средние

Структурные средние применяются для характеристики рядов распределения. К ним относятся мода и медиана.

Мода (М_о) – это наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности, т.е. значение, имеющее наибольшую частоту.

Медиана (Ме) – это середина ряда распределения, т.е. значение признака, делящее рад распределения пополам по количеству единиц совокупности. Половина единиц совокупности имеют значения признака меньше медианы, вторая половина – больше медианы.

Для нахождения моды по дискретному ряду распределения нужно выбрать значение, имеющее наибольшую частоту. Моды могут быть одна или две.

Для нахождения медианы по дискретному ряду распределения необходимо определить накопленные частоты и найти номер середины ряда. Далее выбирается то значение признака, где превышается половина единиц совокупности, т.е. значение из той группы единиц, в которой находится середина ряда распределения.

Мода по интервальному ряду с равными интервалами определяется по формуле.

где Xм_о – нижний конец модального интервала (с наибольшей

частотой);

k – ширина интервала;

f_Мо, f_Мо-1, f_Мо+1 – частоты в модальном интервале, до него и

после него.

Медиана по интервальному ряду с равными интервалами определяется по формуле.

где X_Ме – нижний конец медианного интервала (где превышена

половина единиц совокупности по накопленным

частотам);

k – ширина интервала;

f_Ме – частота в медианном интервале;

f_Ме-1^Н – накопленная частота до модального интервала.

Соотношение средней, моды и медианы между собой позволяет сделать вывод об асимметрии распределения признака в совокупности.

1 Распределение симметрично, если

2 Распределение имеет правостороннюю асимметрию,

если

3 Распределение имеет левостороннюю асимметрию, если

Контрольные вопросы и задания

1 Дайте определение средней. Какова ее роль в анализе социально-экономических явлений?

2 Что такое логическая формула средней величины и сколько их можно составить для каждой средней?

3 Какие виды средних величин применяются в статистике?

4 В каких случаях применяется средняя арифметическая простая и взвешенная?

5 В каких случаях применяется средняя гармоническая простая и взвешенная?

6 Каков алгоритм вычисления средней величины методом моментов?

7 Какие другие виды средних вы знаете?

8 Что такое мода и медиана и каким образом они применяются для характеристики симметричности распределения?

Задача 6.3 Имеются следующие данные о распределении новорожденных по возрасту матери (таблица 14).

Таблица 14

Группы по возрасту, лет	Число матерей, % к итогу
До 20	14,0
20-25	40,0
25-30	27,1
30-35	13,2
35-40	4,7
40 и старше	1,0
Итого	100,0

Определите по методу моментов средний возраст матери, а также моду и медиану возраста. Сделайте выводы.

Задача 6.4 Имеются следующие данные о заработной плате работников предприятия по цехам (таблица 15).

Таблица 15

№ цеха	Базисный период		Отчетный период
	средняя заработная плата, тыс. руб.	численность работающих, чел.	средняя заработная плата, тыс. руб.	фонд заработной платы, тыс. руб.
1	1,10	300	1,10	275
2	1,45	400	1,52	684
3	1,60	200	1,70	408
4	1,80	100	2,10	336

По этим данным найдите среднюю заработную плату работника в целом по предприятию в базисном и отчетном периоде. Укажите, какие виды средних величин необходимо применить в каждом случае.