6.3.3. Представление синусоидальных колебаний в форме тригонометрического уравнения Фурье

Выдающийся французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830) предложил метод преобразования перио­дических функций в ряд тригонометрических уравнений, на­зываемых гармониками. Этот метод подходит для аналитического выражения сезонных колебаний, имеющих синусоидальную форму. Исходным рядом для преобразова­ния Фурье лучше всего принять не первичный ряд за несколь­ко лет, а усредненный ряд месячных уровней, в котором исключен тренд и (или) в основном погашены случайные ко­лебания. Рассмотрим сезонные колебания среднего по ферме надоя молока на 1 корову (табл. 6.4).

Таблица 6.4

Преобразование сезонных колебаний в ряд Фурье

Месяц, i	На­дой, , кг/гол	, гра­ду­сов	cos	sin	cos	sin		-
Январь	230	0	1,000	0,000	230	0	229	1
Февраль	260	30	0,866	0,500	225	130	264	-4
Март	315	60	0,500	0,866	157,5	273	311	4
Апрель	352	90	0,000	1,000	0	352	357	-5
Май	392	120	-0,500	0,866	-196	339	391	1
Июнь	403	150	-0,866	0,500	-349	201,5	404	-1
Июль	398	180	-1,000	0,000	-398	0	391	7
Август	352	210	-0,866	-0,500	-305	-176	356	-4
Сентябрь	308	240	-0,500	-0,866	-154	-267	309	-1
Октябрь	262	270	0,000	-1,000	0	-262	263	-1
Ноябрь	225	300	0,500	-0,866	112,5	-195	229	-4
Декабрь	223	330	0,866	-0,500	193	-111,5	216	7
Σ	3720*	-	0,000	0,000	-484	284	3720	0
""Среднемесячный надой составил 310 кг на 1 корову (3720 : 12).

Тригонометрическое уравнение ряда Фурье для его первой гармоники, которой мы здесь и ограничимся, имеет форму:

Смысл уравнения состоит в том, что без сезонных колеба­ний все уровни были бы равны среднемесячному, т.е. ; коле­бания же в равной мере разнесены на sint и cost. В первом квадранте (т.е. от января до апреля) косинус является положи­тельной величиной и снижается от 1 до 0, синус тоже положите­лен и возрастает от 0 до 1. Во втором квадранте (апрель - июль) косинус отрицателен и снижается от 0 до -1, синус положителен и снижается от 1 до 0. В третьем квадранте (июль - октябрь) косинус отрицателен, но возрастает от -1 до 0, а синус снижает­ся от 0 до -1. В четвертом квадранте косинус возрастает от 0 до 1 (к декабрю до 0,866), а синус возрастает от -1 до 0 (к декабрю до -0,5). Цикл завершается новым январем. За счет комбинации изменений косинуса и синуса при разных значениях парамет­ров b1 и b2 удается отобразить, как показывает табл. 6.4 (гра­фа ), любое синусоидальное колебание уровней временного ряда. Имеем:b1 = -484/6 = -80,7; b2 = 284/6 = 47,3. Уравнение сезонных колебаний продуктивности коров имеет вид:

Отклонения фактических уровней (но усредненных за ряд лет) от расчетных по ряду Фурье очень малы: максимальное от­клонение 7, среднее (по модулю) 3,33, что составляет лишь 1,07%. Такая точность вполне достаточна для прогнозов и дру­гих расчетов. Если же отклонения оказались значительными, следует на основании ряда отклонений повторить расчет, т.е. рассчитать вторую гармонику, и тогда окончательные уровни модели (ряда Фурье) будут представлять собой сумму всех гармоник:

где т - число гармоник;

k - номер гармоники.

Однако если колебания явно не имеют синусоидальной фор­мы, то требуется много гармоник, расчет становится трудоем­ким и гораздо проще применить метод, описанный в разд. 6.3.2.