Моделирование случайных величин с произвольным распределением

Пусть случайная величина x задана в интервале (a₀,a₁) кусочно-постоянной функцией f(x). Это значит, что интервал разбит на n интервалов и плотность распределения f(x) на каждом из них постоянна. Целесообразно выбрать величины a_k так, чтобы вероятности попадания в любой интервал (a_k-1,a_k) были одинаковы, т.е.

, k=1,2,...,n.

Из условия постоянства функции f(x) на каждом интервале (a_k-1,a_k) следует, что случайная величина x может быть определена по формуле

x= a_k-1+R(a_k-a_k-1), k=1,2,...,n.(*)

где R - возможное значение (реализация) случайной величины, равномерно распределенной в интервале (0,1).

Попадание в любой интервал (a_k-1,a_k) можно рассматривать как событие, входящее в полную группу несовместных событий. Поэтому процедура моделирования в общем случае состоит в следующем.

1. С помощью датчика случайных чисел с равномерным распределением, вырабатывающего величину R, моделируют дискретную случайную величину k - -номер интервала (a_k-1,a_k).

2. Вторично разыгрывают случайную величину R и определяют возможное значение случайной величины x по формуле (*).

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Модели для решения наиболее распространенных задач

В промышленности и государственном управлении можно выделить некоторые наиболее распространенные задачи. Для создания моделей этих задач была проделана значительная работа. И хотя реальные задачи обычно отличаются от идеализированных моделей, однако это отличие не слишком велико, и гораздо проще решать новые задачи, используя существующие модели, чем создавать новые модели. Знание таких моделей и умение пользоваться ими и видоизменять их в определенных ситуациях необходимо всякому специалисту в области математического моделирования.

Задачи управления запасами. В задачах управления запасами можно выделить некоторые общие особенности. Прежде всего, очевидно, что с увеличением запасов увеличивается стоимость хранения, но потери из-за нехватки товаров уменьшаются. Следовательно, одна из задач управления запасами заключается в определении такого уровня запасов, который позволил бы минимизировать сумму ожидаемых затрат по хранению товаров и потерь из-за нехватки товаров. Однако во многих случаях стоимость хранения и затраты производства не являются независимыми величинами, и их следует рассматривать совместно. Чем больше партия товаров, тем меньше производственные затраты, поскольку расходы на подготовительно-заключительные работы в расчете на единицу продукции уменьшаются. Но с увеличением размера партии увеличивается стоимость хранения запасов. С другой стороны, чем меньше размер партии, тем меньше стоимость хранения, но стоимость производства единицы продукции увеличивается.

В модели производства и хранения общие производственные затраты выражаются через затраты на подготовку производства, обработку материалов, расходы на хранение и потери от нехватки товаров. Кроме того, часто следует учитывать потери, связанные с изменением уровня производства (затраты в связи с наймом и увольнением). Модели хранения покупных товаров отличаются в основном тем, что стоимость материалов и стоимость обработки заменяются покупной ценой, на которую влияют различные скидки (цена изменяется дискретно).

Задачи управления запасами делятся на три класса.

1. Интервалы времени производства или закупки являются фиксированными, следует определить количество производимой или закупаемой продукции.

2. Количество произведенной или закупленной продукции является фиксированным, следует определить время производственного или закупочного циклов.

3. Требуется определить и время производственного или закупочного циклов, и количество продукции. В тех случаях, когда спрос постоянен, эти задачи становятся идентичными. Они различны только при изменяющемся спросе.

Символические модели построены для различных систем производства-хранения и закупки-хранения, в том числе для систем с известным спросом или спросом, изменяющимся дискретным или непрерывным образом, а также для систем, в которых время, потребное для получения товаров (после размещения заказов), или приравнивается нулю, или настолько значимо, что его необходимо учесть.

Задачи распределения. Задачи распределения возникают в тех случаях, когда существует определенный набор операций (работ или задач), которые надо выполнить, а наличие ресурсов (средств или возможностей) для выполнения каждой работы наилучшим образом не хватает. Эти задачи можно разделить на три типа.

1. Заданы и работы, и ресурсы. Требуется так распределить ресурсы по работам, чтобы максимизировать некоторую меру эффективности (ожидаемую прибыль) или минимизировать некоторую меру отрицательной эффективности (ожидаемые затраты или время).

2. Заданы только наличные ресурсы. Требуется определить состав работ, которые можно выполнить с учетом наличных ресурсов при условии, что будет максимизирована некоторая мера эффективности или минимизирована некоторая мера отрицательной эффективности.

3. Заданы только потребные работы. Требуется определить, какие ресурсы следует использовать для проведения данных работ, чтобы максимизировать некоторую меру эффективности или минимизировать некоторую меру отрицательной эффективности.

Для решения задач распределения используют методы линейного программирования и другие сходные методы.

Задачи массового обслуживания (задачи ожидания в очередях). Можно привести много примеров явлений с ожиданием в очередях, например: вкладчики в банке, посетители кафе, самолеты, прибывающие н а аэродром, изделия в процессе их производства. В этих явлениях можно отметить некоторые общие для них особенности. Элементы, ожидающие обработки или обслуживания, поступают в определенном порядке. Возможен вариант, когда происходит скопление элементов, так что возникает очередь и ожидание неизбежно. А такое ожидание влечет за собой затраты за счет пролеживания деталей в процессе производства, задержки в погрузке, раздражение клиентов и так далее. В то же время элементы, поступающие на обработку или обслуживание, могут прибывать с большими интервалами, так что неизбежен простой оборудования или обслуживающего персонала, что влечет за собой дополнительные расходы.

Можно сформулировать два различных класса задач.

1. Поступление является случайным и неуправляемым. Требуется определить оптимальный объем оборудования (возможностей обслуживания).

2. Известен объем оборудования (возможностей обслуживания). Требуется определить оптимальный график работы наличного оборудования.

Для решения первого типа задач используется теория массового обслуживания. Задачи второго типа относятся к задачам "балансировки линий сборки" или определения "загрузки линий". Для решения этих задач используются комбинаторные методы.

Модели замены и ремонта. В сущности, процессы замены и ремонта не отличаются друг от друга. Разница заключается в самом объекте. Например, мы можем считать, что замена шин на грузовике необходима для правильной эксплуатации грузовика, а замена старого грузовика новым является составным элементом ремонта машинного парка. Таким образом, ремонт является процессом замены элементов.

Задачи замены можно разделить на два класса: задачи с заменой элементов, эффективность которых со временем уменьшается (элементы со старением), и задачи, в которых элементы имеют приблизительно постоянную эффективность, а затем сразу выходят из строя.

Решая задачи первого типа, необходимо сравнивать дополнительные затраты на установку нового оборудования и прибыль за счет увеличения эффективности этого оборудования по сравнению со старым. Такое сравнение дает различные результаты в зависимости от эффективности старого оборудования (и, следовательно, обычно от его возраста) и от качества нового оборудования.

Задачи второго типа обычно отличаются следующими особенностями. Оборудование или элементы выходят из строя в разные моменты времени. Каждый элемент можно заменить или отремонтировать после его выхода из строя, что связано с определенными расходами. С другой стороны, можно, не дожидаясь выхода элементов из строя, производить их замену или профилактический ремонт. Если же учесть не один элемент, а группу элементов, то получим, что стоимость единичного ремонта обычно падает с увеличением числа элементов, но общее число неисправностей возрастает.

Поэтому, если учитывать группу элементов, то оказывается, что существует много возможных вариантов ремонта (единичный ремонт после каждой неисправности сравнивается с групповым профилактическим ремонтом) по времени проведения группового ремонта. Каждому времени можно поставить в соответствие ожидаемое число неисправностей. Требуется определить время для проведения группового ремонта, чтобы сумма ожидаемых расходов по всем видам ремонта была минимальной.

Задачи состязания (конкуренции). Под состязанием в общем случае понимаем ситуацию, в которой (1) две партии или группы конфликтуют между собой относительно определенной цели или нескольких целей и (2) эти партии или группы сотрудничают относительно определенной общей цели (или нескольких целей) или в борьбе с общим конкурентом. Примером такой ситуации является игра двух лиц в шахматы. Противники конфликтуют между собой в смысле выигрыша. Так, увеличение вероятности выигрыша игрока A неизбежно вызывает уменьшение вероятности выигрыша игрока B. Но в то же время можно считать, что A и B сотрудничают друг с другом, если их целью считать развлечение. В промышленности конкуренты могут захватывать друг у друга рынки сбыта, но они могут совместно выступать в интересах потребителей, снижая цену и улучшая качество товаров. Если же потребителя не обслуживают должным образом, то это будет уже конфликт, но не конкуренция. Конкуренты могут объединиться и образовать кооперацию, отношения которой складываются на основе сотрудничества, а не конкуренции.

Математические модели таких идеализированных ситуаций разрабатываются в теории игр, так же как в теории информации строятся свои идеальные модели, но эти модели не находят широкого практического применения в промышленности. И хотя в некоторых случаях эти модели используются, но при этом соблюдается строгая коммерческая тайна и подробности применения (а иногда даже и общие положения) не публикуются.

И все же идеи теории игр можно уже в настоящее время использовать для решения практических задач гораздо шире, чем математический аппарат этой теории.

Правда, большинство игр, рассматриваемых в теории игр, намного проще в сравнении с реальными проблемами промышленной конкуренции. Во многих играх можно точно определить правила игры, перечислить возможные ходы или последовательность ходов, а также результаты каждого хода. Используя эту информацию, а также сведения о возможных ходах противника, можно разработать стратегию поведения игрока в игре.

Однако многие промышленные и военные задачи очень трудно формализовать из-за их сложности и отсутствия соответствующей информации о последствиях различных действий и о поведении противника. Но даже в этих случаях можно с успехом использовать многие положения теории игр. Например, можно определить оптимальную возможную стратегию противника. Затем выбрать такую стратегию, которая обеспечивает выигрыш даже при оптимальной стратегии противника, и тем самым гарантировать по крайней мере этот минимальный выигрыш. Очевидно, этот подход будет тем удачнее, чем точнее мы сумеем определить оптимальную вероятную стратегию противника. Во многих военных задачах этот метод был использован с большим успехом.

Примером состязания являются аукцион и различные ситуации предложения цены при заключении контрактов, получении концессий, лицензий и так далее. В таких ситуациях основной конфликт заключается в том, что при увеличении цены шансы на выигрыш увеличиваются, но ожидаемые от выигрыша доходы уменьшаются. С другой стороны, при уменьшении цены шансы на выигрыш уменьшаются, но доходы увеличиваются. Задача заключается в том, чтобы наилучшим образом разрешить этот конфликт. Для этой цели разработаны модели торгов.

Следует подчеркнуть, что решение, полученное с помощью модели, не обязательно является решением задачи. Например, оптимальный размер партии можно определить из соответствующего выражения только в том случае, если точно известна, скажем, стоимость подготовки производства и если она остается постоянной. Но, очевидно, что эта стоимость не остается неизменной в течение длительного времени. Поэтому необходимо предусмотреть регулярную проверку различных переменных модели, чтобы можно было получить новое решение по мере изменения данных. Вопросы такого контроля сложно переоценить. Общеизвестно, что многие характеристики промышленных процессов и процессов управления сильно меняются за сравнительно небольшие периоды. Поэтому необходимо предусмотреть методы проверки правильности решение и его корректировки.

ПРИЛОЖЕНИЕ 4