Landsberg-1985-T1

данных н третьей уравновешивающей). Для нахождения

этих условий поставим опыт, в котором модули и направле­

ния всех сил легко определить. Свяжем три нити, привяжем

к ним разные грузы и перекинем две из нитей через блоки

(рис. 65). Если масса каждого из грузов меньше суммы масс

двух других, то узел займет некоторое положение и будет оставаться в покое; значит, это положение будет положением

равновесия. При этом все нити расположатся в одной верти­ кальной плоскости. На узел действуют силы F1 , F 2 И Fз, равные по модулю силам тяжести, действующим на грузы,

и направленные вдоль нитей. Каждая из этих сил уравно­ вешивает две остальные. Изобразим силы, приложенные

кузлу, отрезками, отложенными от узла, направленными

вдоль нитей и равными, в выбранном масштабе, модулям сил. Оказывается, что при равновесии отрезок, изображаю­

щий любую из этих сил, совпадает с диагональю параллело­

грамма, построенного на отрезках, изображающих две дру­

гие силы. Эти параллелограммы показаны на рисунке штри­ ховыми линиями. Значит, диагональ параллелограмма

изображает равнодействующую двух сил, изображаемых его

сторонами, причем равнодействующая направлена в сто­

рону, противоположную третьей силе. Таким образом, силы

вкладываются (как и nере'м'ещения) по nраеилу nараллело­

граАt'м'а, т. е. по nраеилу векторного сложения.

Из правила параллелограмма сил следует, что модуль равнодействующей силы зависит не только от модулей сла­

гаемых сил, но также и от угла между их направлениями.

При изменении угла мод)'ль равнодействующей изменяется

в пределах от суммы модулей сил (если угол равен нулю) до разности модулей большей и меньшей сил (если угол

равен 1800). В частном случае сложения двух равных по­

модулю сил можно, в зависимости от угла между силами.

получить любое значение модуля равнодействующей в пре­

делах от удвоенного модуля одной из сил до нуля.

Вместо правила параллелограмма можно применять правило треугольника, как мы это делали для перемещениЙ.

При сложении более чем двух сил можно либо прибавлять

их векторно .одну за другой, либо строить из векторов ло­

маную; тогда равнодействующая изобразится звеном, замы­ кающим ломаную. При равновесии ломаная замкнется: равнодействующая будет равна нулю. Например, ломаная из трех уравновешивающихся сил образует треугольник.

§ 42. Связь между силой и ускорением. В § 31 мы изложили

закон инерции, согласно которому тело получает ускорение

92

тOJIъко В том случае, если на него действует сила. Опыт.по­

казывает, что направление ускорения совпадает с напраВlЛе­

нием вызывающей его силы *). Выясним связь между моду­ лем силы, действующей на тело, и модулем ускорения, со­

общаемого телу этой силой.

Повседневные наблюдения покэзывают, что модуль у_с~орения, сообщаемого данному телуI тем больше, чем

Рис. 66. Изучение зависимости между силой и ускорением тела. Пути,

проходимые тележкой, отмечаются капельницей

больше действующая на него сила: мяч получиттем большее

ускорение (и в результате приобретет тем большую ско­ рость), чем сильнее его ударят; мощный электровоз, разви­

вающий большую силу тяги, сообщает поезду большее ус­ корение, чем маневровый тепловоз, и т. п. Грубо количест­ венную связь между силой, действующей на данное тело, и приобретаемым телом ускорением можно установить на

следующем опыт•. Пусть подвижная тележка прикреплена

при помощи пружинного динамометра к перекинутой через

блок нити с грузом на конце (рис. 66). Груз 'растягивает

пружину, сообщающую своей силой упругости ускорение

тележке. Чем больше подвешенный груз, тем сильиес; растя­ нута пружина и тем больше УСJ(орение тележки. Заметим,

что показание динамометра будет меньше, чем при подвеши­

вании груза к неподвижному динамометру, т. е. меньше,

чем сила тяжести, действующая на груз. Причину этого

поясним в § 52.

Наблюдая растяжение динамометра при движении те­

лежки, обнаружим, что оно не меняется. Значит, сила, дей­

ствующая на тележку, постоянна. Еем,одуль дает показа­ ние F динамометра. Путь S, проходимый тележкой за раз­

личные промежутки времени t от начала движения, можно

.. ) Будем считать, что на тело действует TO~ЬKO ~ДHa сила; если сил

много, то будем рассматривать их равнодействующую.

93

определять, пользуясь, например, капельницей. Измере­

ния покажут, что путь, пройденный тележкой, пропорцио­

нален . квадрату промежутка времени, прошедшего от на­

чала движения. Это означает, что тележка движется равно­

ускоренно (§ 22). Модуль ускорения а найдем по формуле

a=2s/t2 •

Если подвешивать к концу. нити различные грузы, на

тележку будет действовать каждый раз другая сила. Опре­ делив по динамометру модули сил, действующих на тележку

в каждом случа.е, F i , Fi., рз, ••• и найдя сообщаемые тележ­ ке ускорения ai, ai, аз, ... , мы убедимся, что ускорения

тележки прямо пропорциональны силам, действующим на

тележку:

F1/a1 = Р21а2 = Fз/аз = ...

Опыт показывает, что не только в этом примере, но и во всех случаях УСlООрение тела nроnорционально действующей

на него силе. Отсюда следует, что для нахождения ускоре­

ний, сообщаемых данному телу разными силами, достаточ­

но только один раз измерить и силу, действующую на тело,

и вызываемое ею ускорение; если затем на то же тело подей­

ствовать другой силой, то возникающее ускорение изменит­

ся во столько же раз, во сколько раз изменилась сила.

Конечно, такие опыты с тележкой слишком грубы ДЛЯ

точного установления закона пропорциональности между

силами и ускорениями. Однако при помощи более точных методов измерений, в частности по данным астрономических

наблюдений, было установлено, что прямая пропорциональ­ ность между действующей на данное тело силой и сообщае­

Мр!М ею этому телу ускорением весьма точно оправдывается на опь\те.

§ 43. Масса тела. Итак, для данного тела ускорение, сообща­

емое ему какой-либо силой, пропорционально этой силе. Сравним теперь ускорения, сообщаемые силами разным те­ лам. мы увидим, что возникающее ускорение определяется не только силой, но и·тем, на какое тело эта' сила действует. Будем, например, тянуть разные тела при помощи динамо­

метра, следя за· тем, чтобы во всех случаях показание дина­

мометра было одним и тем же, т. е. чтобы на тела действовала одна и та же сила. Для этого можно, например, видоизме­

нить описанный в предыдущем параграфе опыт, выбирая

различные тележки или устанавливая на тележки раз­

личные тела и подбирая к!iЖДЫЙ раз такой груэна конце

94

нити, Перекин.утоЙ через блок, чтобы показание динамометра

было однчм и тем же во всех опытах.

Измеряя возникающие в подобных опытах ускорения,

мы убедимся в том, что, вообще говоря, разные тела получа­

ют при воздействии одной и той же силы различные ускоре­

ния! разные тела в различной мере обладают свойством инер­

ции. Можно ввести понятие о мере инерции тел, считая меру

инерции двух тел одинаковой, если под действием равных

сил они получают одинакоsые ускорения, и считая меру

инерции тем большей, чем меньшее ускорение получает тело под действием данной силы.

Что же определяет меру инерции различных тел? От

каких свойств тел зависит ускорение, сообrцаемое данной силой? Или, наоборот, какими свойствами тела определяется

сила, необходимая для сообщения данного ускорения? Опыт

показывает, что для тел, изготовленных из одного и того же

вещества, например из алюминия, ускорение, вьtзываемое

данной силой, тем меньше, чем больше объем тела, причем ускорение оказывается обратно пропорциональным объему

тела. Но если производить опыты с телами, изготовленными

из различных материалов (например, из железа, алюминия,

дерева), то никакой связи с объемом тел не обнаружится:

тела равных объемов будут получать под действием одной и

той же силы разные ускорения, а для получения одинаковых

ускорений придется подобрать объем железного тела мень­

ший, чем алюминиевого, а алюминиевого - меньший, чем

деревянного. Каково должно быть соотношение объемов

тел, изготовленных из разных материалов, чтобы под дей­

ствием равных сил они получали. одинаковые ускорения,

заранее узнать нельзя. Необходимо определить непосред­

ственным опытом, какой объем должно иметь алюминиевое или деревянное тело для того, чтобы оно получало под дей­ ствием заданной силы то же ускорение, что и данное желез­

ное тело. Если тела получают под действием одной и той же

силы равные ускорения, мы должны считать одинаковой

меру инерции этих тел.

Таким образом, мера инерции тела должна быть опреде­

лена непосредственно механическим опытом - измерением

ускорения, создаваемого данной силой. Меру инерции тела

называют массой и обозначают обычно буквой т (или М). Итак, масса тела естЬ его характерное физическое свой­

ство, определяющее соотношение между действующей на это

тело силой и сообщаемым ею телу ускорением. Так как сила

и ускорение, сообщаемое ею данному телу, пропорциональ­

ны друг другу, то массу тела определяют как отношение

9S

действующей на тело силы F к сообщаемому этой силой ус­

корению а, т. е.

m=Fla, •

(43.1)

откуда получается соотношение

Р=та.

Подействовав на данное тело какой-нибудь силой F и изме­

рив сообщаемое этой силой ускорение а, мы можем опреде­

лить по этой формуле массу тела т. Для данного тела всегда

будет получаться одно и то же значение т, с какой бы силой

мы ни действовали на тело.

Пользуясь указанным способом измерения массы, мы

можем на опыте выяснить, чему раВlIа масса тела, состав­

ленного из нескольких других тел, или какова масса опре­

деленной части тела известной массы. Если измерить массы

fni, т 2, та, ••• нескольких тел, а затем соединить все эти

тела D одно (например, скрепив их вместе) так, чтобы под

действием сил они все получали одно и то же ускорение, и

измерить массу т получившегося тела, то окажется, что

. т=тi+т2+тз+ ...

Обратно, если данное тело разделить на части, то сумма масс отдельных частей окажется равной массе исходного тела.

В частности, если однородное тело массы т разделить на n

равных по объему частей, то масса каждой части· будет рав-

на т/n.

.

. Очень важен следующий факт. Если взять различные тела

с одинаковой массой и по очереди подвешивать их к дина­

мометру, то динамометр ;покажет каждый раз одно и то же

растяжение пружины. Если же на основании динамических

опытов оказалось, что масса одного тела в n раз больше мас­

сы другого, то первое тело в n раз сильнее растянет пружину

. динамометра, чем второе. Это значит, что сила притяжения тел Землей пропорциональна их массам. Этот замечатель­

ный факт позволяет сравнивать массы, не сообщая телам ускорения. Мы еще вернемся ~ этому вопросу в § 56.

§ 44. Второй закон Ньютона. Производя опыты с действием

сил на тела, мы установили пропорциональность между ма­

дулем силы Р, действующей на тело, и модулем ускорения а, которое эта сила сообщает телу, а также ввели новую ве­

личину - массу тела m.

Опыты показали также, что направление ускорения сов­

падает, с· направлением силы, вызвавшей ускорение (§ 42),

96

т. е.. что векторы F и а совпадают по направлению. Следо­ вательно, формулу (43.1) можно написать в векторном Биде:

F=ma. (44.1)

Напомним, что здесь F - равнодействующая всех сил, дей­

ствуtoщих на тело, т - его масса и а - ускорение, полу­

чаемое телом под действием силы F. Эта формула выражает основной закон движения, известный под названием вто­

рого закона Ньютона (первый закон - закон инерции,

§ 31). Второй закон Ньютона можно сформулировать так: сила, действующая на тело, равна произведению массы тела

на создаваемое этой силой ускорение, причем направления

силы u ускорения совпадают.

Формулу (44.1) можно записать еще и в таком виде:

a=Flm,

(44.2)

и закон Ньютона можно выразить в несколько иной форме:

ускорение, сообщаемое телу, прямо nроnорционально рей­

ствующей на тело силе, обратно nроnорционально массе те­

ла u направлено так же, как сила. В частности, отсюда сле­ дует, что при действии равными силами на,разныетела они

получают ускорения, обратно пропорциональные своим мас­

сам; и обратно, если разные тела получают ускорения, об­

ратно пропорциональные своим массам, то это значит, что

СИЛЬ!, действующие на эти тела, равны по модулю.

Если сила постоянного направления стала действовать

на тело, находящееся в покое, или если сила, действующая'

на движущееся тело, направлена вдоль скорости тела (на­ 'пример, тело, падающее без начальной скорости; тело, под­

брошенное вертикально вверх), то тело будет двигаться пря­

молинейно. Для этого случая закон Ньютона можно напи­

сать в скалярной форме:

Р=та, или аР/т.

При этом под действием постоянной силы тело неизменной

массы будет двигаться с постоянным ускорением, т. е. рав­ ноускоренно. Если же сила меняется с течением времени,

то меняется и ускорение. В этом случае формула (44.2) дает значение мгновенного ускорения (§ 27), вызываемого силой, действующей в данный момент. Если сила остается

ПОСТОЯНной, а меняется масса тела, к которому приложена

сила, то ускорение также оказывается переменным. Приме­

ром тела переменной массы может служить ракета, выбра­

сывающая во время полета !lРОДУКТЫ сгорания топлива, в

результате чего ее масса уменьшается. Если при этом сила,

4 д.г.еыеllтарныl! у,че(5ник физики, т. 1

97

"

действующая на ракету, не меняе'l'СR, то уёкорение ее рас-'

тет (§ 188). Если сила направлена под углом к скорости тела.·

то оно движется криволинейно (например, тело, 6рошен"ое .

горизонтально). Криволинейное движение будем изучать

в гл. V.

Во втором законе Ньютона заключен, как ча.стныЙ слу­ чай, первый закон, или закон ииерции. Действительио, из формулы (44.2) видно, что если р=о, то и а=О, т. е. если

на тело не действуют силы (или силы действуют, но их рав­ нодействующая равна нулю), то и ускорение равно нулю, и

8начит, тело сохраняет состояние покоя или равномерного

прямолинейного движения.

Примеры проявления второго закона Ньютона встре­ чаются на каждом шагу. Электровоз разгоняет поезд с тем меньшим ускорением, чем больше масса поезда. Отталкивая

с одинаковой силой от берега пустую и тяжело нагружен­

ную лодку, заставим первую из них двигаться с б6льшим ускорением, чем вторую. Если тело лежит на твердой опоре,

то, прилагая к нему малую силу, мы не сдвинем его с места, так как при этом возникнет сила трения об опору (§ 64),

которая уравновесит приложенную силу: результирующая

(1)	о)
Рис. 67. При одинаковой силе, действующей на п,nавающий		брусок,
СКОРОСТЬ увеличивается: а)	медленно у большого бр'уска, 6)	быстрее
у	малого бруска

окажется равной нулю. Но если тело плавает на воде, то

возникающая сила трения о воду в начале движения очень

мала; поэтому она не уравновесит приложенную силу и

равнодействующая не будет равна нулю: тело начнет дви­

гаться.

Как бы ни была мала результирующая снла, действую­ щая' на тело, ускорение возникнет; но оно м(}жет быть на­ столько мало, что потребуется много времени, чтобы вы­

звать заметное изменение скорости. Так, надавливая на мас­ сивный деревянный брусок, ПЛЩlающий в воде, гибким стеклянНblМ прутом (рис. 67), увидим, что брусок приобре-

91

reт· заметную скорость только черР.3 1-2 минуты. В то же

время бруску ГQраздо меньшей массы можно сообщить при помощи того же прута гораздо большее ус~орени:е. На при­

сталях можно наблюдать, как рабочий, изо всей силы упи­ раясь . багром в борт большой баржи, тратит несколько минут на сообщение ей еле заметной скорости.

В формуле второго закона Ньютона а - это ускорение тела в его движении относительно Земли. Но, как мы знаем (§ 33), ускорение тела будет таким же, если рассматривать

движение тела относительно любой другой инерциальной

системы. Силы же, действующие на тело, представляют со­ бой действия на данное тело других тел и не зависят от того,

ПQ. отношению к какой системе отсчета мы определяем уско­

рение данного тел-з. Не зависит от выбора системы отсчета и масса тела. ПОЭТ0МУ закон Ньютона остается справедли­

вым и при рассмотрении движения относительно любой дру­

гой инерциальной системы, например относительно корабля,

равномерно движущегося прямым курсом по спокойному

. морю, или относительно поезда, идущего с постоянной ско­

ростью ПО прямому участку, и т. п. Более подробно об этом вопросе .будет сказано в гл. VI.

?, 44.1. Используя второй закон Ньютона, объясните, почему

•падение на мерзлую землю опаснее, чем на рыхлый снег, и почему, прыгнув с высоты нескольких этажей на натянутый брезент, можно остаться иевредимым?

Закон Ньютона был открыт при изучении движенпй,'происходящих

в обычных условиях на Земле, и при изучении движений небесных тел.

И в тех и в других случаях скорости тел малы по сравнению со скоро­

стью света (300000 км/с). Со СКОРОС1'ями, приближающимися к

скорости света, физики встретились только при изучении движения

элементарных частиц, например электронов и протонов в ускорителях -

устройствах, в коюрых на элементарные частицы действуют разгоняю. щие их электромагнитные силы. Для таких скоростей второй закон

Ньютона иевереи. Согласио закону Ньютона, при действии постоянной

силы, направлеииой вдоль траекюрии частицы, частица должна была

бы иметь постоянное ускорение, т. е. ее скорос1'Ь должна была бы рав­

номерно расти. Однако оказалось, '1Ю хотя в начале разгона второй за­ ЖJН Ньютона выполняется и частица движется равноускоренно, но, по

мере того как достигиутая частицей скорость приближается к скорости света, ускорение делается все. меиьше и меньше, т. е. закои Ньютона

нарушается.

При продолжающемся действии ускорителя скорость частицы рас­ тет все медлеииее, приближаясь к скорости света, но никогда ее не дости­

гая. Например, при СIЮрОСТИ тела, равноЙ 0,995 скорости света, ускоре­

ние, получаемое телом при силе, действующей в направлении движения

тела, составит всего 0,001 ускореиия, рассчитанного по формуле закона

Ньютона. дажелри скорости, равной всего одной десяroй Скорости све­

та, уменьшение усКоРеДия сравнительно с рассчитанным по закону

Ньютона состаl3ИТ 1,5 %. Но для «малых» скоростей) встречаю-

'9~

щихся в обыденной жизни, и даже для скоростей космических тел по­

правка так мала, что ею можно пренебрегать. Например, для Земли, вра­

щающейся вокруг Солнца со скоростью 30 КМ/С, уменьшение ускорения

составит всего миллионную до.~ю процента.

Итак, второй закон Ньютона можно применять только по отношению

ктелам, скорость которых мала по сравнению со скоростью света.

§45. Единицы силы и массы. Для того чтобы-производить

расчеты на основаниивторог6 закона Ньютона, необходимо

выбрать единицы силы и массы таким образом, чтобы вы­

полнялось соотношение
единица массы =	единица силы .	(45.1 )
.	единица ускорения

в СИ единицей массы служит килограмм (кг), который

представляет собой массу платино-иридиевого тела, храня­ щегося в Международном бюро мер и весов в Севре (близ Парижа). Это тело называется международным прототипом килограмма. Масса прототипа близка к h{acce 1000 CM~ чис­

той воды при 4 ос.

Единицей силы в СИ является нЬютон (Н), который.ра­ вен силе, под действием которой тело массы один килограмм

получает ускорение один метр на секунду в квадрате. Со­

гласно формуле (45.1) можно представить ньютон ВJ~.иде

1 Н=l кг·l м/с2 =! кг,м!с2•

в системе единиц СГС, в которой единицей длины служит сантиметр

(1 см=О,ОI м), а единицей массы - грамм (1 г=О,ООI кг), за единицу

силы принимают .силу, сообщающую телу массы 1 г ускорение I см/с2• Эту единицу силы называют диной (дин). Легко найти соотношенне

между ньютоном и диной:

1 H=I05 дин.

дина - очень малая сила. Муравей, который тащит веточку, действует

на нее с силой, равной примерно 100 дин.

,

?45.1. Снаряд массы 15 кг при выстреле приобретает скорость

•600 м/с. Найдите средмюю силу, с которой пороховые газы дей­

ствуют на снаряд, если длина ствола орудия составляет 1,8 м

(движение снаряда в стволе считать равноускоренным).

45.2. За какое наименьшее время можно передвинуть rю гори­ зонтальному полу на расстояние 1О м груз массы 50 кг, если

известно, что веревка, за которую тянут груз, разрывается при

. силе натяжения, превышающей 200 Н, а для того чтобы сдвинуть

груз с места или двигать его равномерно, преодолевая силу тре­

ния, достатОЧНО прилагать силу 100 Н?

§ 46. Системы единиц. Формула a=F/m имеет такой простой

вид, потому что мы, выбрав единицы ускорения и массы

произвольно, единицу силы выбрали специально 'так, чтобы коэффициент пропорциональности в этой формуле оказался

100

равным единице. В противном случае формулу ДЛЯ ускоре­

ниЯ нужно было БыI Писать в виде a=kFlт,

{де k - коэффициент пропорциональности. Например, если бы мы выбрали единицу силы тоже произвольнЬ и она

оказалась равной, скажем, 6,3 Н, то коэффициент пропорциональности имел бы значение k = 1/6,3. .

В принципе единицы физических величин можно было бы

выбирать независимо друг от друга. Однако в этом случае

в формулах появились бы очень неудобные коэффициенты пропорциональности. Чтобы избежать этого, поступают следующим образом. Выбирают произвольно единицы не­

скольких физических величин. Эти единицы (и соответст­

вующие величины) называются ОСН08НЫМИ. Единицы же ос­ тальных величин выбирают с учетом формул, связывающих

эти величины с основными, стараясь упростить коэффициен-

. ты пропорциональности в этих формулах (как правило, де­

лают эти коэффициенты равными единице). Единицы, уста­ новленные таким' способом, называются nРОИЗ80дными. В

результате образуется упорядоченная совокупность единиц

физических величин, которая называется аистемой единиц. Существует несколько систем единиц физических величин,

отличающихся выбором основных величин и основных еди­

ниц. Мы рассмотрим Международную систему единиц

(СИ).		.
В СИ в качестве основных приняты: единица длины -
метр (м), единица		массы -	кцлограмм (кг), единица		вре­
мени - секунда (с),		единица	силы тока -	ампер (А),	еди­
ница	термодинамической температуры -			кельвин (К),еди­
ница	силы света -	кандела	(кд) и единица количества		ве­

щества - моль (моль). ИЗ этих единиц в механике мы будем

иметь дело в основном с метром, килограммом и секундой. К дополнительным единицам СИ принадлежат: единица

плоского угла - радиан (рад) и единица телесного угла-

стерадиан (ср).

.

Кроме единиц, входящих в определенную систему, упо­

требляются внесистемные единицы. К их числу относятся:

. единицы времени - час (ч),	минута (мин), единица объе­
ма - литр, единицы угла -	градус	(О), минута	(') и се­
кунда ("), единица массы -	а. е. м.,	и некоторые	другие.

§ 47. Третий закон Ньютона. При соударении двух бильярд­

ных шаров изменяют свою скорость, т. е. получают ускоре­

ния, оба шара•. Когда при формировании железнодорожного

101