Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Доказательство леммы 2.1

1) Пусть x r y. Покажем, что множества [x] и [y] совпадают. Для этого достаточно показать, что любой элемент множества [x] является элементом [y] и, наоборот.

Пусть z 2 [x]. Тогда x r z.

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Доказательство леммы 2.1

1) Пусть x r y. Покажем, что множества [x] и [y] совпадают. Для этого достаточно показать, что любой элемент множества [x] является элементом [y] и, наоборот.

Пусть z 2 [x]. Тогда x r z. В силу симметричности r имеем z r x.

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Доказательство леммы 2.1

1) Пусть x r y. Покажем, что множества [x] и [y] совпадают. Для этого достаточно показать, что любой элемент множества [x] является элементом [y] и, наоборот.

Пусть z 2 [x]. Тогда x r z. В силу симметричности r имеем z r x. Теперь мы имеем z r x и x r y

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Доказательство леммы 2.1

1) Пусть x r y. Покажем, что множества [x] и [y] совпадают. Для этого достаточно показать, что любой элемент множества [x] является элементом [y] и, наоборот.

Пусть z 2 [x]. Тогда x r z. В силу симметричности r имеем z r x.

Теперь мы имеем z r x и x r y , что в силу транзитивности дает z r y.

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Доказательство леммы 2.1

1) Пусть x r y. Покажем, что множества [x] и [y] совпадают. Для этого достаточно показать, что любой элемент множества [x] является элементом [y] и, наоборот.

Пусть z 2 [x]. Тогда x r z. В силу симметричности r имеем z r x.

Теперь мы имеем z r x и x r y , что в силу транзитивности дает z r y. Снова пользуясь симметричностью получаем y r z.

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Доказательство леммы 2.1

1) Пусть x r y. Покажем, что множества [x] и [y] совпадают. Для этого достаточно показать, что любой элемент множества [x] является элементом [y] и, наоборот.

Пусть z 2 [x]. Тогда x r z. В силу симметричности r имеем z r x.

Теперь мы имеем z r x и x r y , что в силу транзитивности дает z r y. Снова пользуясь симметричностью получаем y r z.

Следовательно, z 2 [y].

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Доказательство леммы 2.1

1) Пусть x r y. Покажем, что множества [x] и [y] совпадают. Для этого достаточно показать, что любой элемент множества [x] является элементом [y] и, наоборот.

Пусть z 2 [x]. Тогда x r z. В силу симметричности r имеем z r x.

Теперь мы имеем z r x и x r y , что в силу транзитивности дает z r y. Снова пользуясь симметричностью получаем y r z.

Следовательно, z 2 [y]. Таким образом, поскольку z произвольный элемент [x],

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Доказательство леммы 2.1

1) Пусть x r y. Покажем, что множества [x] и [y] совпадают. Для этого достаточно показать, что любой элемент множества [x] является элементом [y] и, наоборот.

Пусть z 2 [x]. Тогда x r z. В силу симметричности r имеем z r x.

Теперь мы имеем z r x и x r y , что в силу транзитивности дает z r y. Снова пользуясь симметричностью получаем y r z.

Следовательно, z 2 [y]. Таким образом, поскольку z произвольный элемент [x],

[x] [y]

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Доказательство леммы 2.1

1) Пусть x r y. Покажем, что множества [x] и [y] совпадают. Для этого достаточно показать, что любой элемент множества [x] является элементом [y] и, наоборот.

Пусть z 2 [x]. Тогда x r z. В силу симметричности r имеем z r x.

Теперь мы имеем z r x и x r y , что в силу транзитивности дает z r y. Снова пользуясь симметричностью получаем y r z.

Следовательно, z 2 [y]. Таким образом, поскольку z произвольный элемент [x],

[x] [y]

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Доказательство леммы 2.1

Бинарные отношения