Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Теорема 2.1

Пусть r отношение эквивалентности на множестве A. Семейство всех различных классов эквивалентности является разбиением множества A.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть F = fFij i 2 Ig семейство различных классов эквивалентности отношения r.

Для каждого i 2 I в классе Fi выберем представителя xi 2 Fi. Для каждого y 2 Fi в силу леммы 2.1 1) имеем y 2 [xi].

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Теорема 2.1

Пусть r отношение эквивалентности на множестве A. Семейство всех различных классов эквивалентности является разбиением множества A.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть F = fFij i 2 Ig семейство различных классов эквивалентности отношения r.

Для каждого i 2 I в классе Fi выберем представителя xi 2 Fi. Для каждого y 2 Fi в силу леммы 2.1 1) имеем y 2 [xi].

Следовательно, Fi = [xi] è

F = f[xi]j i 2 Ig

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Теорема 2.1

Пусть r отношение эквивалентности на множестве A. Семейство всех различных классов эквивалентности является разбиением множества A.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть F = fFij i 2 Ig семейство различных классов эквивалентности отношения r.

Для каждого i 2 I в классе Fi выберем представителя xi 2 Fi. Для каждого y 2 Fi в силу леммы 2.1 1) имеем y 2 [xi].

Следовательно, Fi = [xi] è

F = f[xi]j i 2 Ig

Элементы F не пересекаются.

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

S

Осталось проверить, что A = [xi]

i2I

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

S

Осталось проверить, что A = [xi]

i2I

Пусть y 2 A, тогда по предложению 2.1 y 2 [y]. Следовательно, y лежит в некотором классе эквивалентности.

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

S

Осталось проверить, что A = [xi]

i2I

Пусть y 2 A, тогда по предложению 2.1 y 2 [y]. Следовательно, y лежит в некотором классе эквивалентности. Поскольку F содержит все классы эквивалентности,

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

S

Осталось проверить, что A = [xi]

i2I

Пусть y 2 A, тогда по предложению 2.1 y 2 [y]. Следовательно, y лежит в некотором классе эквивалентности.

Поскольку F содержит все классы эквивалентности, то [y] 2 F.

#

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Докажем обратное

Бинарные отношения