Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Примеры

1Рассмотрим отношение 6 на множестве натуральных чисел N; для любых n;m;k 2 N имеем

1)n 6 n (рефлексивность есть)

2)n 6 m и m 6 n (антисимметричность есть)

3)если n 6 m и m 6 k, то n 6 k (транзитивность есть)

4)симметричности нет , например при n = 1 и m = 2 есть n 6 m, но очевидно, 2 6 1.

2Аналогично проверяется, что отношение для подмножеств некоторого множества A также является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным.

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Отношение эквивалентности

Определение

Бинарное отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Отношение эквивалентности

Определение

Бинарное отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Легко проверить, что отношениями эквивалентности являются:

1 отношение ' подобия треугольников на плоскости;

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Отношение эквивалентности

Определение

Бинарное отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Легко проверить, что отношениями эквивалентности являются:

1 отношение ' подобия треугольников на плоскости;

2отношение "учится в одной группе" (т. е. "быть одноклассниками") на множестве студентов данного ВУЗа;

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Отношение эквивалентности

Определение

Бинарное отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Легко проверить, что отношениями эквивалентности являются:

1 отношение ' подобия треугольников на плоскости;

2отношение "учится в одной группе" (т. е. "быть одноклассниками") на множестве студентов данного ВУЗа;

3отношение равенства элементов на любом непустом множестве.

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Отношение эквивалентности

Для иллюстрации последовательности рассуждений проверим, что отношение подобия треугольников ' является отношением

эквивалентности

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Отношение эквивалентности

Для иллюстрации последовательности рассуждений проверим, что отношение подобия треугольников ' является отношением

эквивалентности

для любого треугольника D, очевидно, D ' D;

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Отношение эквивалентности

Для иллюстрации последовательности рассуждений проверим, что отношение подобия треугольников ' является отношением

эквивалентности

для любого треугольника D, очевидно, D ' D;

для любых треугольников D1 è D2 таких, что D1 ' D2

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Отношение эквивалентности

Для иллюстрации последовательности рассуждений проверим, что отношение подобия треугольников ' является отношением

эквивалентности

для любого треугольника D, очевидно, D ' D;

для любых треугольников D1 è D2 таких, что D1 ' D2 очевидно, D2 ' D1;

Бинарные отношения

Свойства бинарного отношения Отношение эквивалентности Частично упорядоченные множества

Отношение эквивалентности

Для иллюстрации последовательности рассуждений проверим, что отношение подобия треугольников ' является отношением

эквивалентности

для любого треугольника D, очевидно, D ' D;

для любых треугольников D1 è D2 таких, что D1 ' D2 очевидно, D2 ' D1;

для любых треугольников D1, D2 è D3 таких, что D1 ' D2 è

D2 ' D3

Бинарные отношения