Математический анализ / Математический анализ учебник

то бесконечно малая ¯(x) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем ®(x). А ®(x) называется бесконечно малой более низкого порядка, чем ¯(x) при x ! a.

Пример 1.2.4. Рассмотрим функции ®(x) = x; ¯(x) = xn при x ! 0 и n > 1. Тогда

	lim	¯(x)	= lim	xn	= lim xn¡1 = 0:
		®(x)		x
	x!0		x!0		x!0

Значит ¯(x) бесконечно малая более высокого порядка, чем ®(x).

Определение 1.2.5. Бесконечно малая ¯(x) называется бесконечно малой k-ого порядка относительно бесконечно малой ®(x) при x ! a, если ¯(x) и (®(x))k бесконечно малые одного порядка, т.е. если

lim			¯(x)	= A = 0; =	:
x	!	a (®(x))k		6 6 1

Пример 1.2.5. Рассмотрим функции ®(x) = x; ¯(x) = sin3x. Тогда ¯(x) есть бесконечно малая 3 порядка относительно ®(x) при x ! 0, так как

	lim	¯(x)	= lim	sin3 x		= 1:
		(®(x))3		x3
	x!0		x!0

Определение 1.2.6. Бесконечно малые ®(x) и ¯(x) называются эквивалентными бесконечно малыми ®(x) » ¯(x) при x ! a, если

lim

¯(x)

= 1:

®(x)

x!a

Пример 1.2.6.

sin kx

»

kx

при

x

!

0;

так как

lim

sin kx

= 1:

kx

x

!

0

Пример 1.2.7.

tg kx

»

kx

при

x

!

0;

так как

lim

tg kx

= 1:

kx

x

!

0

Пример 1.2.8. ln(1 + x) » x при x ! 0; так как

¯

ln(1 + x)

1

y ¯

1

1

¯

¯

lim

x

lim ln(1 + x)x

=

¯

y =

x

; y

! 1¯

=

x!0

= x!0

= lim ln

1 +

¶

¯= ln e = 1:

¯

y

y!1

µ

21

Пример 1.2.9. 1 ¡ cos x »

x2

при x ! 0; так как

2

1 ¡ cos x

2 sin2

x

sin

x

sin

x

= lim

lim

= lim

2

2

2

= 1:

x2

x2

x

¢ x

x

!

0

x

!

0

x

!

0

2

2

2

2

x

Пример 1.2.10. p1 + x ¡ 1 »

при x ! 0;

n = 1; 2; :::

n

n

Теорема 1.2.7. Если ®(x) и ¯(x) эквивалентные бесконечно малые при x ! a, то ®(x) ¡ ¯(x) бесконечно малая более высокого порядка, чем ®(x) и ¯(x). И обратно, если ®(x) ¡¯(x) есть бесконечно малая более высокого порядка чем ®(x) или ¯(x), то ®(x) эквивалентно ¯(x).

Доказательство. 1. Предположим, что ®(x) ¡ ¯(x) бесконечно малая более высокого порядка, чем ®(x). Тогда

	lim	®(x) ¡ ¯(x)	= 0	или	lim	1	¡	®(x)	= 0:
		®(x)						¯(x)
	x!a				x!a	µ			¶

Отсюда легко получить,что lim ®(x) = 1, а значит функция ®(x) эквива-

x!a ¯(x)

лентна функции ¯(x).

2. Обратно. Пусть ®(x) эквивалентна ¯(x). Тогда

lim

®(x) ¡ ¯(x)

= lim 1

lim

®(x)

= 1

¡

1 = 0;

®(x)

x

!

a

x

!

a

¡ x

!

a ¯(x)

т.е. ®(x) ¡ ¯(x) бесконечно малая более высокого порядка, чем ®(x). Аналогично доказывается и для функции ¯(x).

Следствие 1.2.2. Сумма конечного числа бесконечно малых эквивалентна бесконечно малой самого низкого порядка малости из всех слагаемых.

Пример 1.2.11. x + x3 » x при x ! 0, так как x бесконечно малая более низкого порядка, чем x3 при x ! 0.

Пример 1.2.12. px + x » px при x ! 0, так как px бесконечно малая более низкого порядка чем x при x ! 0.

22

Пример 1.2.13. Рассмотрим бесконечно малые ®(x) =

x +

1

и ¯(x) =

1

2

x

при x ! 1. Тогда ®(x) эквивалентна ¯(x), так как

x

x + 1

1

®(x) ¡ ¯(x)

¡

=

x + 1 ¡ x

= lim

1

= 0:

lim

=

lim

x2

x

lim

1

x

¯(x)

x

x

1

x

!1 x

!1

!1

!1

x2 ¢

x

x

Аналогично

доказывается

и

для

бесконечно

малой

®(x),

что

lim

®(x) ¡ ¯(x) = 0

, т.е.

®(x)

эквивалентна

¯(x)

при

x

! 1.

x

!1

®(x)

Теорема

1.2.8.

Если

®(x)

эквивалент-

на

¯(x)

при

A

x

!

a

и

существует

lim (®(x)

¢

f(x)) =

, то существует и

lim (¯(x)

¢

f(x))

и выполня-

x

!

a

x

!

a

lim (®(x)

¢

f(x)) = lim (¯(x)

¢

f(x)) = A:

ется x a

x

!

a

!

lim (®(x)

f(x)) =

A

Доказательство. Пусть

существует x

a

¢

. Так

как

®(x)

!

lim

= 1, то

¯(x)

x!a

®(x)

lim (¯(x)

¢

f(x)) = 1

¢

lim (¯(x)

¢

f(x)) = lim

lim (¯(x)

¢

f(x)) =

¯(x)

x a

x

!

a

x

!

a

¢ x

!

a

!

lim

®(x)

lim (®(x)f(x)) = A:

µ¯(x) ¢ ¯(x)f(x)¶

= x!a

= x!a

Рассмотрим примеры вычисления пределов с помощью эквивалентных

бесконечно малых.

Пример 1.2.14. Так как sin kx » kx при x ! 0, то

lim

sin 5x

= lim

5x

= 5:

x

Пример 1.2.15.

x!0

x

x!0

lim

x + x2 + x3

= lim

x

= 1;

x!0

x

x!0 x

так как x + x2 + x3

» x при x ! 0.

Пример 1.2.16.

lim

arcsin 3x ¢ sin 8x

= lim

3x ¢ 8x

= lim

24x2

= 24;

x2

x!0

(x ¡ x2)2

x!0 x2 ¡ 2x3 + x4

x!0

так как при x ! 0 следующие функции эквивалентны:

arcsin 3x

» 3x; sin 8x

» 8x; x ¡ x2

¢

2 = x2 ¡ 2x3 + x4

» x2:

23

¡

1.3. Непрерывные функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Пусть функция y = f(x) определена в окрестности U(x0) точки x0 2 R

и y0 = f(x0). Для x 2 U(x0) обозначим ¢x = x ¡ x0 и ¢f = f(x) ¡ f(x0). Тогда x = x0 + ¢x; а f(x) = f(x0) + ¢f.

Определение 1.3.1. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x0, если

1: lim f(x0 + ¢x) = f(x0) или

¢x!0

2: lim f(x) = f(x0) или

x!x0

3: lim ¢f = 0.

¢x!0

Пример 1.3.1. Покажем, что функция f(x) = x2 непрерывна в про-

извольной

точке x

0 22 R

. Так как ¢f = f(x

+ ¢x)

¡

f(x

), то получим

2

2

2

0

2

0

2

¢f = (x0 + ¢x)

¡ x0 = x0 + 2x0¢x + (¢x)

¡ x0

= 2x0¢x + (¢x) . Тогда

lim ¢f =

lim

2x ¢x + (¢x)2

¢

=

¢x!0

¢x!0 ¡

0

2

= 0 + 0 = 0;

= 2x0 lim ¢x +

lim (¢x)

¢x!0

¢x!0

отсюда вытекает, что функция f(x) = x2 непрерывна в произвольной точке области определения.

Определение 1.3.2. Пусть функция u = u(x) определена на множестве D, а функция f = f(x) определена на множестве G ½ u(D), тогда говорят, что задана сложная функция F (x) = f(u(x)) = f(u):

Предложение 1.3.1. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Таким образом функции y = sin x; y = cos x; y = tg x; y = ctg x; y = xn; y = ex; y = ax; y = ln x; y = loga x и т.д. непрерывны в каждой точке области определения.

Теорема 1.3.1. Если функции f1(x) и f2(x) непрерывны в точке x0, то функции

1: f(x) = f1(x) § f2(x); 2: '(x) = f1(x) ¢ f2(x);

3: Ã(x) = f1(x); f2(x0) 6= 0; f2(x)

непрерывны в точке x0.

24

4: Если функция u = u(x) непрерывна в точке x0, а функция f(u) непрерывна в соответствующей точке u0 = u(x0), то сложная функция F (x) = f(u(x)) непрерывна в точке x0.

Доказательство. Докажем только первое утверждение теоремы. Пусть

функции f1(x) и	f2(x)	непрерывны в точке x0,	тогда существуют
lim f1(x) = f1(x0) и lim		f2(x) = f2(x0). По теореме 1.1.2 имеем
x!x0	x!x0
lim f(x) =	lim (f1(x) + f2(x)) = lim f1(x) +		lim f2(x) =
x!x0	x!x0	x!x0	x!x0

= f1(x0) + f2(x0) = f(x0):

Значит функция f(x) = f1(x) + f2(x) непрерывна в точке x0.

Пример 1.3.2. Используя эту теорему, а также предложение 3.1 легко показать, что функция y = x+sin x непрерывна в каждой точке из области определения.

Определение 1.3.3. Всякая функция непрерывная в каждой точке области D ½ R (интервала (a; b)) называется непрерывной в этой области (непрерывной на этом интервале).

Пример 1.3.3. Рассмотрим функцию

y = ½	x2	;;	0 < x < 1
	2		x > 2:

Она непрерывна на интервале (0; 1) и на интервале (2; +1).

Определение 1.3.4. Если существует lim f(x) = f(x0); то го-

x!x0¡0

ворят, что функция f(x) непрерывна слева в точке x0, если существует lim f(x) = f(x0); то говорят, что функция f(x) непрерывна

x!x0+0

справа в точке x0.

Дадим определение функции непрерывной на отрезке.

Определение 1.3.5. Если функция f(x) непрерывна на интервале (a; b) и непрерывна в точке a справа, а в точке b слева, то говорят, что она непрерывна на отрезке [a; b].

Предложение 1.3.2. Для того, чтобы функция f(x) была непрерывна в точке x0 2 R необходимо и достаточно, чтобы выполнялось

lim f(x) =	lim	f(x) = lim f(x) = f(x0):
x!x0¡0	x!x0+0	x!x0

Без доказательства.

25

1.3.1. Точки разрыва

Определение 1.3.6. Рассмотрим точку x0, если 1: в точке x0 функция f(x) не определена или

2: не существует lim f(x) или

x!x0

3: lim f(x) =6 f(x0) или

x!x0

4: lim f(x) 6= lim f(x),

x!x0¡0 x!x0+0

то говорят, что функция f(x) разрывна в точке x0.

Рассмотрим следующие примеры функций, разрывных в точке.

1

Пример 1.3.4. Функция y = x + 1 разрывна в точке x0 = ¡1, так как

	lim			1	= ¡1;		lim	1		= +1:
x			0 x + 1			x
	1	¡					1+0 x + 1
	!¡						!¡

Пример 1.3.5. Функция

	jxj		½	1	;	x > 0
y =	x	=		¡1	;	x < 0

разрывна в точке x0 = 0, так как

lim (¡1) = ¡1 =6 lim 1 = 1:

x!¡0 x!+0

1

Пример 1.3.6. Функция y = ex¡3 разрывна в точке x0 = 3, так как

1

1

lim

e

= 0;

а x

lim e

= +

1

:

x

x¡3

x¡3

3

¡

0

!

3+0

!

Определение 1.3.7. Если существуют конечные пределы функции f(x) справа и слева в точке x0, т.е.

9	x	lim			0 f(x) = b1	6= 1 и	x	lim		6= 1
		!	x0	¡				!	x0+0 f(x) = b2

и либо

1: b1 6= b2, либо

2: b1 = b2; но функция f(x) не определена в точке x0,

то говорят, что функция f(x) имеет в точке x0 разрыв I рода (конечный разрыв).

В противном случае, т.е. если хотя бы один предел равен бесконечности или не существует, то говорят, что точка x0 точка разрыва

II рода.

26

Впримерах 1.3.4 и 1.3.6 функции имели разрыв II рода, а в примере

1.3.5функция имела разрыв I рода.

	Пример 1.3.7. Рассмотрим функцию y =						sin x				, она не определена в 0,
	но								x
		sin x				sin x
	lim			=	lim				= 1;
		x				x
	x!¡0				x!+0

поэтому x0 = 0 точка разрыва I рода.

1.3.2. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Дадим без доказательства теоремы о свойствах функций, непрерывных на отрезке.

Теорема 1.3.2. Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a; b], то она ограничена на нем. То есть

9M = const : 8x 2 [a; b] ) jf(x)j 6 M:

Теорема 1.3.3. Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a; b], то она достигает своего наибольшего и наименьшего значений на нем. То есть

9c 2 [a; b] : f(c) > f(x) 8x 2 [a; b];

9d 2 [a; b] : f(d) 6 f(x) 8x 2 [a; b]:

Теорема 1.3.4. Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a; b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, то на интервале (a; b) найдется точка, в которой функция равна нулю. То есть пусть

f(a)f(b) < 0; ) 9c 2 (a; b) : f(c) = 0:

Теорема 1.3.5. Непрерывная на отрезке [a; b] функция f(x) принимает все промежуточные значения между ее наименьшим и наибольшим значениями на этом отрезке. Пусть m и M наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a; b], тогда

8¹ : m 6 ¹ 6 M 9c 2 [a; b] : f(c) = ¹:

1.4. Производная функции

Пусть дана функция f(x). Рассмотрим точки x и x+¢x, тогда ¢f = f(x + ¢x) ¡ f(x).

27

Очевидно, что tg ' = ¢¢xy . Тогда по определению производной получим

Определение 1.4.1. Производной данной функции y = f(x) по аргументу x называется предел отношения приращения функции ¢f к приращению аргумента ¢x, когда последний стремится к нулю, т.е.

	f0(x) = lim	¢y		=	lim	f(x + ¢x) ¡ f(x)	:
		¢x				¢x
	¢x!0				¢x!0

Используются следующие обозначения для производной функции:

f0(x); y0(x); y0	;	dy	:
x		dx
1.4.1. Механический смысл производной

Рассмотрим прямолинейное движение некоторой материальной точки. Пусть в некоторый начальный момент времени t0 расстояние точки от начала отсчета было s0. Тогда за время ¢t = t ¡t0 точка пройдет расстояние

¢s = s(t) ¡ s0. Средняя скорость движения точки будет vср. = ¢¢st : Тогда мгновенная скорость движения точки будет определяться как предел средней скорости движения точки при условии, что приращение времени стремится к нулю:

¢s vмг. = lim ¢t :

¢t!0

Таким образом, механический смысл производной заключается в том, что она является мгновенной скоростью любого движения.

1.4.2. Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции y = f(x) (см. рис. 1.2.). На этом графике

возьмем две точки M(x; y), где y = f(x) и M1(x + ¢x; y + ¢y). Проведем секущую l через точки M и M1. Если при неограниченном приближении

точки M1 к точке M с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой m, то прямая m называется касательной к кривой в точке M. Обозначим угол наклона с положительным направлением оси OX касательной через ®, а секущей через '. Устремим точку M1 по кривой к точке M, тогда секущая l устремится к касательной m, а угол ' к углу

®.

	y0 = lim	¢y	=	lim tg '(x) = tg ®:
		¢x
	¢x!0			¢x!0

Другими словами, значение производной f0(x) при данном значении x равно тангенсу угла, образованного с положительным направлением

28

Y	m	l
y + ¢y		M1
		¢y

yM

¢x

'®

o x x + ¢x X

Рис. 1.2.

оси OX касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке

M(x; f(x)).

1.4.3. Дифференцируемость функций

Определение 1.4.2. Если функция y = f(x) имеет производную в точке x0, то будем говорить, что при x = x0 функция дифференцируема.

	Определение 1.4.3. Если существует lim	¢f	= f0	(x), то он на-
		¢x
	¢x!¡0		¡

зывается левой производной функции f(x) в точке x. Если существу-

ет lim ¢f = f0 (x), то он называется правой производной функции

				+
	¢x!+0 ¢x
	f(x) в точке x.

Определение 1.4.4. Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке интервала (a; b), то она называется дифференцируемой на этом интервале.

Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a; b) и дифференцируема справа в точке a и слева в точке b, то она называется дифференцируемой на отрезке [a; b].

Теорема 1.4.1. Если функция f(x) дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. По определению производной

f0(x) = lim ¢f :

¢x!0 ¢x

29

Тогда по теореме 1.2.1 будем иметь

¢f

= f0(x) + ®(x);

где ®(x) ! 0

при ¢x ! 0:

¢x

Отсюда

¢f = f0(x)

¢

¢x + ®(x)

¢

¢x:

Найдем

lim

¢f = lim (f0(x)

¢

¢x + ®(x)

¢

¢x) = 0:

¢x 0

¢x

!

0

!

Таким образом мы получили, что функция f(x) непрерывна в точке x. Обратное неверно, т.е. из непрерывности функции в точке x0 не следует ее дифференцируемость в этой точке. Приведем пример подтверждающий

это. p

Пример 1.4.1. Рассмотрим функцию y = 3 x в точке x0 = 0. Тогда

¢y = p3 x0 + ¢x ¡ p3 x0 = p3 ¢x:

Легко найти, что

¢y

p3

x

1

lim

=

lim

¢

=

lim

=

1

:

¢x

¢x

¢x!0

¢x!0

¢x!0 p3

(¢x)2

p

Значит у данной функции y = 3 x не существует производной в точке x0 = 0, хотя она непрерывна в этой точке.

Теорема 1.4.2. Необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции f(x) в точке x0 является существование пределов:

	lim	¢f	=	lim	¢f	= lim	¢f	= f0(x0):
		¢x			¢x		¢x
	x!x0¡0			x!x0+0		x!x0

1.4.4. Производные элементарных функций

Пример 1.4.2. Покажем, что производная функции y = x2 равна y0 = 2x. Найдем ¢y = y(x+¢x)¡y(x) = (x+¢x)2¡x2 = x2+2x¢x+(¢x)2¡x2 = 2x¢x + (¢x)2: Тогда

	y0	= lim	¢y		= lim	2x¢x + (¢x)2	=	lim (2x + ¢x) = 2x:
			¢x			¢x
		¢x!0			¢x!0			¢x!0

Пример 1.4.3. Аналогично предыдущему примеру легко получить, что производная функции y = xn равна y0 = nxn¡1.

30