4. СТРОЕНИЕ ЗЕМЛИ ПО ДАННЫМ СЕЙСМОЛОГИИ

Основы теории упругости: тензор деформации, тензор напряжений, закон Гука, упругие модули, однородные деформации, упругие волны в изотропной среде, законы Ферма, Гюйгенса, Снеллиуса. Сейсмические волны. Развитие сейсмометрических наблюдений: сейсмические станции и их сети, годографы, траектории волн внутри Земли. Определение скорости распространения сейсмических волн с помощью уравнения Гертлоца-Вихерта. Скорости продольных и поперечных волн как функции радиуса Земли. Состояние вещества Земли по данным сейсмологии. Земная кора. Литосфера и астеносфера. Сейсмология и глобальная тектоника.

Основы теории упругости [Ландау, Лифшиц, 2003, с. 9-25, 130-144]

Тензор деформации

Механика твердых тел, рассматриваемых как сплошные среды, составляет содержание теории упругости. Основные уравнения теории упругости были установлены О.Л. Коши и С.Д. Пуассоном в 20-х годах 19 века (подробнее см. главу 15).

Под влиянием приложенных сил твердые тела в той или иной степени деформируются, т.е. изменяют свою форму и объем. Для математического описания деформации тела поступают следующим образом. Положение каждой точки тела определяется ее радиус-вектором r (с компонентами х1 = х, х2 = у, х3 = z) в некоторой системе координат. При деформировании тела все его точки, вообще говоря, смещаются. Рассмотрим какую-нибудь определенную точку тела; если ее радиус-вектор до деформирования был r, то в деформированном теле он будет иметь некоторое другое

значение r/ (с компонентами xi/ ). Смещение точки тела при деформировании изобразится тогда вектором r/ - r, который обозначим буквой u:

u = x/ − x .	(4.1)
i i i

Вектор u называют вектором деформации (или вектором смещения). Знание вектора u

как функции от xi полностью определяет деформацию тела.

При деформировании тела меняются расстояния между его точками. Если радиусвектор между ними до деформирования был dxi , то в деформированном теле радиус-

вектор между теми же двумя точками будет dxi/ = dxi + dui . Само расстояние между точками до деформирования было равно:

dl = dx12 + dx22 + dx32 ,

а после деформирования:

dl/ = dx1/ 2 + dx2/ 2 + dx3/ 2 .

Окончательно получаем:

dl/ 2 = dl2 + 2u	dx dx	,	(4.2)
ik	i k

где

103

uik

=

1

(

∂ui

+

∂uk

+

∂ul

∂ul

) .

(4.3)

2

∂xk

∂xk

∂xi

∂xi

Этими выражениями определяется изменение элемента длины при деформировании тела. Тензор uik называется тензором деформации; по своему определению он симметричен:

uik = uki .

(4.4)

Как и всякий симметричный тензор, тензор uik в каждой точке можно привести к

главным осям и убедиться, что в каждом элементе объема тела деформацию можно рассматривать как совокупность трех независимых деформации по трем перпендикулярным направлениям – главным осям тензора деформации. Практически почти во всех случаях деформирования тел деформации оказываются малыми. Это значит, что изменение любого расстояния в теле оказывается малым по сравнению с самим расстоянием. Другими словами, относительные удлинения малы по сравнению с единицей.

За исключением некоторых особых случаев, которых касаться не будем, если тело подвергается малой деформации, то все компоненты тензора деформации также являются малыми. Поэтому в выражении (4.3) можно пренебречь последним членом как малой величиной второго порядка. Таким образом, в случае малых деформаций тензор деформации определится выражением:

u = 1		(	∂ui	+ ∂uk ) .	(4.5)
ik	2		∂xk	∂xi

Итак, силы являются причиной возникающих в теле движений (перемещений), а деформации – результатом движений [Хайкин, 1963, с. 176].

Основное допущение классической теории упругости

В недеформированном теле расположение молекул соответствует состоянию его теплового равновесия. При этом все его части находятся друг с другом и в механическом равновесии. Это значит, что если выделить внутри тела какой-нибудь объем, то равнодействующая всех сил, действующих на этот объем со стороны других частей, равна нулю.

При деформировании же расположение молекул меняется, и тело выводится из состояния равновесия, в котором оно находилось первоначально. В результате в нем возникнут силы, стремящиеся вернуть тело в состояние равновесия. Эти возникающие при деформировании внутренние силы называются внутренними напряжениями. Если тело не деформировано, то внутренние напряжения в нем отсутствуют.

Внутренние напряжения обуславливаются молекулярными связями, т.е. силами взаимодействия молекул тела друг с другом. Весьма существенным для теории упругости является то обстоятельство, что молекулярные силы обладают очень незначительным радиусом действия. Их влияние распространяется вокруг создающей их частицы лишь на расстоянии порядка межмолекулярных. Но в теории упругости, как в макроскопической теории, рассматриваются только расстояния, большие по сравнению с межмолекулярными. Поэтому «радиус действия» молекулярных сил в теории упругости должен считаться равным нулю. Можно сказать, что силы, обусловливающие внутренние напряжения, являются в теории упругости силами «близкодействующими», передающимися от каждой точки только к ближайшим с нею точкам.

104

Таким образом, в классической теории упругости силы, действующие на какуюнибудь часть тела со стороны окружающих ее частей, проявляют это действие только непосредственно через поверхность этой части тела.

По сути, такой же идеологии применительно к теории упругости вслед за [Ландау, Лифшиц, 2003] придерживается и автор фундаментального труда [Хайкин, 1963, с. 484].

Тензор напряжений

Вывод о том, что все силы проявляют свое действие только через поверхность, является ключевым для классической теории упругости. Он позволяет для любого объема тела каждую из трех компонент равнодействующей всех внутренних напряжений сил

∫FidV (где Fi - сила, действующая на единицу объема dV ) преобразовать в интеграл по поверхности этого объема. В таком случае, как следует из векторного анализа, вектор Fi должен являться дивергенцией некоторого тензора второго ранга, т.е. иметь вид:

Fi = ∂σik . (4.6)

∂xk

Тогда сила, действующая на некоторый объем, сможет быть записана в виде интеграла по замкнутой поверхности, охватывающей этот объем:

∫FidV = ∫∂∂σxik			= ∫σik dfk ,		(4.7)
	k
где вектор df = df 2	+ df	2	+ df 2	направлен	по внешней нормали к поверхности,
1	2		3

охватывающей объем dV.

Тензор σik называется тензором напряжений. Как видно из (4.7), σik dfk есть i-я

компонента силы, действующей на элемент поверхности df. Выбирая элементы поверхности в плоскостях ху, уz, xz, находим, что компонента σik тензора напряжений

есть i-я компонента силы, действующей на единицу поверхности, перпендикулярную к оси xk . Так, на единичную площадку, перпендикулярную к оси х, действуют нормальная к

ней (направленная вдоль оси х) сила σxx и тангенциальные (направленные по осям y и z)

силы σyx и σzx .

Отметим, что сила, действующая со стороны внутренних напряжений на всю поверхность тела, в отличие от (4.7) есть:

− ∫σik dfk .

Записывая момент сил Mik , действующих на некоторый объем тела, в виде:

Mik = ∫(Fi xk − Fk xi )dV

и требуя, чтобы он выражался в виде интеграла только по поверхности, получаем, что тензор напряжения является симметричным:

σik =σki .

(4.8)

105

К аналогичному выводу можно прийти и более простым путем [Сивухин, 1974, с. 383]. А именно. Момент dMik прямо пропорционален моменту инерции элементарного

объема dMik ≈ I ≈ (dV )5 / 3 и, следовательно, получаем (Fi xk − Fk xi )dV = dMik ≈ (dV )5 / 3 ≈ 0 , откуда автоматически следует соотношение (4.8).

Симметрия тензора напряжений позволяет его в каждой точке привести его к главным осям, т.е. в каждой точке тензор напряжений может быть представлен в виде:

σik =σxx +σyy +σzz .

(4.8.1)

В равновесии силы внутренних напряжений должны взаимно компенсироваться в каждом элементе объема тела, т.е. должно быть Fi = 0 . Таким образом, уравнения

равновесия деформированного тела имеют вид:

∂σik = 0 .

∂xk

Если тело находится в поле силы тяжести, то должна исчезать сумма F + ρ g сил внутренних напряжений F и силы тяжести ρ g, действующей на единицу объема, ρ -

плотность тела, g – вектор ускорения свободного падения. Уравнения равновесия в этом случае имеют вид:

∂σik + ρgi = 0 .	(4.9)
∂xk

Энергия деформирования

Рассмотрим какое-нибудь деформированное тело и предположим, что его деформация меняется так, что вектор деформации ui изменяется на малую величину δui .

Определим работу, производимую при этом силами внутренних напряжений. Умножая силу (4.6) на перемещение δui и интегрируя по всему объему тела, получим:

∫		∫ ∂xk
	δRdV =		∂σik	δuidV .

Символом δR обозначена работа сил внутренних напряжений в единице объема тела. Интегрируя по частям, рассматривая неограниченную среду, не деформированную на бесконечности, устремляя поверхность интегрирования в бесконечность, тогда на ней σik = 0 , получаем:

∫δRdV = −∫σikδuik dV .

Таким образом, находим:

δR = −σikδuik .

(4.10)

Полученная формула определяет работу по изменению тензора деформации, которая и определяет изменение внутренней энергии тела.

106