В качестве примера рассмотрим один из подходов, в котором предполагается, что дислокации играют роль источников и стоков вакансий, подобную роли границ зерен в процессе диффузной ползучести. В этом случае можно воспользоваться формулой (9.15), из которой коэффициент эффективной вязкости можно получить в виде:

η		=	RTb2	µ2	1			E	+ PV
	eff						exp(	a	a	) , (9.18)
			24V D		σ 2
									RT
			a	0

где b – вектор Бюргерса для дислокаций, µ - модуль сдвига (см. также [Жарков, 1983, с.

185]).

Как видим, коэффициент эффективной вязкости для дислокационной ползучести обратно пропорционален квадрату касательного напряжения и прямо пропорционален экспоненциальной функции давления, деленного на абсолютную температуру. Зависимость ηeff от напряжения приводит к тому, что породы легче деформируются в тех

областях, где концентрируются напряжения.

Зависимость между напряжением и деформацией для некоторых реологических сред

Вязкость (внутренне трение) – свойство текучих тел (жидкостей и газов) оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой. Вязкость η измеряется в СГС [η] = г/(см·с) = 1 Пуаз (П) или в СИ [η] = н·с/м2 = Па·с

(Паскаль·секунда) = 10 П. Основной закон вязкого течения был установлен И. Ньютоном

в 1687 г. [Физический, 1983, с. 99].

Вязкоупругость – свойство веществ в твердом состоянии быть как упругими, так и вязкими. При вязкоупругости напряжения и деформации зависят от истории протекания процесса деформирования и характеризуются рассеянием энергии на замкнутом цикле деформации (нагружения) и постепенным исчезновением деформации при полном снятии нагрузок. При этом четко выражены ползучесть материалов и релаксация напряжений,

которая может сопровождаться фазовым переходом [Физический, 1983, с. 100, 634].

Для сравнения приведем значения вязкости некоторых хорошо известных веществ. Вязкость воды при комнатной температуре равна 0, 01 П, глицерина – 7 П, асфальта – 1010

– 1012 П, стекла при температуре отжига – 1013 П, меди при 2000С – 1018 П, стали при 4500С – порядка 1018 – 1020 П. Как будет показано ниже, вязкость вещества Земли изменяется в больших пределах 10-2 – 1024 П – т.е. от вязкости воды до вязкости самых прочных материалов.

Память среды. Искомые зависимости можно получить разными путями, исходя из некоторых схем, представлений о характере конкретных физических процессов и общих термодинамических соображений. Воспользуемся феноменологическим подходом, основанным на принципе Больцмана и Вольтера, позволяющем с помощью функции K(t −ϑ,σ) учесть состояния материала в моменты времени ϑ , предшествующие моменту

t:

ε(t) =	σ(t)	+ ∫t	K (t −ϑ,σ) σ(t)dθ .	(9.19)
	2µ	0

В соотношении (9.19) первое слагаемое справа дает деформацию, полученную по закону Гука (4.17) или (9.14) для момента времени t.

Моделируя функцию K(t −ϑ,σ) экспериментальными и теоретическими данными

о ползучести, после преобразований соотношения (9.19) основное реологическое уравнение примет вид [Магницкий, 2006, с. 291-292]:

251

d 2σ µη + λη dσ λµ							d 2ε λµ dε	, (9.20)
dt2 +	ηη	dt	+	ηη			σ = µ dt2 + η dt
		1
	1					2

где µ - эффективный модуль сдвига, η - эффективная вязкость, η1 и η2 - коэффициенты, характеризуемые разными по сущности обратимым и необратимым физическими

процессами, λ = ∂∂σε - модуль упрочнения.

Принцип суперпозиции заключается в следующем [Хайкин, 1963, с. 478]. Представим себе, что мы подвергли тело какой-либо деформации, например, растяжению, а затем другой деформации, например, сдвигу. Пока предел пропорциональности не достигнут (т.е. пока тело остается гуковым), модули упругости, характеризующие упругие тела, в данном случае модули Юнга Е и сдвига µ , являются константами, не зависящими

от того, деформировано тело или нет. Поэтому при сдвиге в теле возникнут такие же дополнительные деформации σµ = µε , как и в том случае, если бы тело не было

предварительно растянуто σE = Eε . Общее напряжение в теле будет представлять собой сумму тех напряжений (в данном случае: σµ + σE ), которые возникли бы, если бы тело

было подвергнуто только растяжению или только сдвигу. Это и есть принцип суперпозиции (наложения) в применении к нашему конкретному случаю. Он справедлив потому, что упругие свойства тела не зависят от деформации, почему и соблюдается закон Гука. Принцип суперпозиции используется и при построении моделей различных реологических сред.

Среда Максвелла [Шейдеггер, 1987, с. 141-142]. Для вязкой (ньютоновской) жидкости напряжения и деформация связаны следующим образом:

σ = 2η	∂ε .	(9.21)
	∂t

Полагаем, что в вязко-упругой среде выполняется принцип суперпозиции и общее

напряжение определяется суммой σ1 +σ2	вязкой (σ1	= 2η	dε	) и упругой (σ2 = 2µε )
			dt

составляющих. Тогда, выражая вязкую составляющую через упругую (σ1 = 2η dσ2 ), для

2µ dt

суммарного напряжения, опуская нижний индекс, получаем выражение, представляющее собой комбинацию соотношений (9.14) и (9.21):

	∂ε =	1	∂σ	+	σ(t) ,	(9.22)
		2µM	∂t
	∂t				2ηM
	где коэффициенты «жесткости»		µM		и «вязкости»	ηM называются постоянными

Максвелла (М). Отметим, что полагая модуль упрочнения равным нулю λ = 0 , выражение (9.22) получается из (9.20). Если теперь допустить, что деформация поддерживается на постоянном уровне (ε = const ), то релаксация напряжений со временем происходит по экспоненциальному закону, характеризуемому постоянной τ - «временем релаксации» тела:

σ(t) ≈ e−	t		ηM .
	τ	, τ =		(9.23)
			µM

252

С другой стороны, если считать, что напряжение является постоянной величиной (σ = const =σ0 ), то деформация (ползучесть) происходит с постоянной скоростью:

∂ε	=	σ0	= const .	(9.24)
∂t
		2ηM

Реологическая среда, описываемая уравнениями (9.22) – (9.24), называется средой Максвелла (J. Maxwell).

Как видим, если время приложения силы мало по сравнению с τ , тело ведет себя подобно упругому телу с модулями Ламэ λM и µM , если же это время велико по сравнению с τ , поведение тела подобно поведению жидкости с вязкостью ηM =τµM

[Кольский, 1955, с. 104].

Тело Фохта [Кольский, 1955, с. 104-106]. Рассмотрим другой тип соединения упругого и вязкого элементов. Фохт предположил, что компоненты напряжения в твердом теле выражаются в виде суммы двух групп членов, из которых первая пропорциональна деформациям, а вторая – скоростям изменений деформации. Таким образом, в уравнениях движения (4.17) каждая компонента напряжения должна определяться суммой из двенадцати членов: шести членов с коэффициентами Ламэ, пропорциональными деформации и шести членов с соответствующими постоянными вязкости, пропорциональными скоростям деформации.

В случае одноосного растяжении стержня, когда боковая поверхность свободна от напряжений, для тела Фохта зависимость между напряжением и деформацией имеет вид:

	σ = Eε + E/	∂ε	,	(9.25)
		∂t

где модуль продольной упругости Е равен:

E= µ(3λ + 2µ) ,

λ+ µ

акоэффициент нормальной вязкости E/ определяется соотношением:

E/	=	λµτ1 + (3λ2 + 4λµ + 2µ2 )τ2	,
E		(λ + µ)(3λ + 2µ)

где

τ1	= λλ	, τ2 =	µµ .
	/		/

Оказалось, что продольные колебания стержня, поведение которого подобно телу Фохта, можно представить уравнением движения второго порядка, логарифмический декремент затухания ∆ которого определяется выражением:

∆ = πν E/ ,

E

где ν - частота колебаний.

253

Тело Кельвина [Шейдеггер, 1987, с. 142-144]. Комбинация уравнений для упругих тел Гука (9.14) и ньютоноских жидкостей (9.21) в виде:

σ(t) = 2µK ε(t) + 2ηK	∂ε	(9.26)
	∂t
описывает тело Кельвина с постоянными µK и ηK		и временем релаксации τ =	ηK .
			µK

Тело Кельвина характеризуется упругим последействием. Если имеет место изменение напряжения, то тело по экспоненте приходит в состояние, соответствующее закону Гука, что позволяет получить соотношение для постоянных величин материала из наблюдений фазовых смещений в вынужденных колебаниях при разных значениях частоты ν =1/τ .

Если в уравнение (9.21) ввести предел текучести ϑ , то можно получить реологические тела обобщенного вида. Если принять µ = 0 , то получим соотношение:

	σ(t) =ϑ + 2η	∂ε	,	(9.27)
		∂t

которое является определяющим уравнением для тела Бингама. В (9.27) коэффициент η

называется пластической вязкостью. Вводя в конститутивные уравнения все большее число понятий, мы тем самым можем моделировать разные стороны процесса деформации. Но, в то же время, при этом все больше усложняются уравнения, что при интерпретации получаемого результата может привести к потере физического смысла.

Согласно классификации Ф. Стейси [1972, с. 223], тело Максвелла является упруговязким, тела Кельвина и Фохта – жестковязкими, и тело Бингама – вязкопластическим.

Реология Земли

Реология пород земной коры [Теркот, Шуберт, 1985, с. 552-556].

Приповерхностные породы проявляют не только свойство хрупкости, обуславливающее образование отдельностей и разломов, но и, как об этом свидетельствует существование складок самого различного пространственного размера, деформируются жидкоподобным образом. Складкообразование можно приписать либо пластической деформации, либо жидкообразному течению. Имеются наблюдательные данные, свидетельствующие о возможности обоих этих процессов.

Пластические деформации, в основе которых заложена упругая идеально пластическая реология, описаны выше. Показано, что переход от упругости к пластичности происходит при напряжениях, превышающих критическое напряжение пластического течения.

Ниже покажем, как относительно холодные породы могут течь наподобие жидкости.

Микроструктура многих смятых в складки пород указывает на то, что деформация, приведшая к образованию складок, была результатом переноса массы путем диффузии. Однако исследования метаморфических реакций в породах свидетельствуют о том, что температура во время складкообразования составляла лишь малую долю температуры солидуса. Поэтому деформация не могла вызываться термически активируемой диффузией атомов, которая была рассмотрена выше. В данном случае скорость диффузного переноса массы увеличивается благодаря растворению под давлением в жидкой пленке, присутствующей между зернами породы. В этом процессе материал

254

растворяется в тех областях, где давление или напряжение велико, и выпадает в осадок там, где оно низко. Компрессионная ползучесть при растворении подобна ползучести Кобле в том отношении, что в обоих случаях перенос массы происходит вдоль границ зерен.

Примером деформации, обусловленной растворением под давлением, может служить уплотнение осадков.

Считается, что растворение под давлением играет важную роль при непрерывных деформациях самых разных пород земной коры. Исследования смятых в складки пород показали, что во многих из них действительно происходит такой процесс. Пока на границах зерен присутствует вода, она может действовать как растворитель минералов, слагающих зерна. Растворенные минеральные частицы диффундируют вдоль границ зерен из областей высокого давления, где растворимость велика, в области низкого давления, где она мала. Диффузия растворенных минералов приводит к ползучести.

Качественный расчет компрессионной ползучести при растворении можно выполнить подобно тому, как выше была рассчитана ползучесть, обусловленная диффузией вдоль границ зерен. В результате деформация, осуществляемая механизмом компрессионной ползучести, оказывается пропорциональной приложенному напряжению и эквивалентна течению ньютоновской жидкости. Коэффициент вязкости такой жидкости для кварца при температуре порядка 5000С оказывается порядка 1017 П.

Полученное значение коэффициента вязкости для пород земной коры при 5000С является низким. Тем не менее, ясно, что компрессионная ползучесть при растворении является важным механизмом деформации пород коры, на основе которого может происходить вязкое складкообразование при весьма низкий температурах.

Реология мантии. Вязко-упругие свойства мантии могут быть определены несколькими способами: из реологического состояния σ(ε) вещества мантии, ее

механических свойств, с помощью данных о землетрясениях и других (например, данных о теплопроводности, см. [Жарков, 1983, с. 181-183]).

Реологический аспект рассмотрим в соответствии с данными работы [Теркот, Шуберт, 1985, с. 523-525, 536-551]. Выше были рассмотрены два главных механизма субсолидусной деформации пород – диффузионная и дислокационная ползучести. Какой из этих механизмов управляет течениями в мантии не известно, но на этот счет можно проводить некоторые более и менее обоснованные предположения. Если преобладает диффузная ползучесть, то мантия ведет себя как ньютоновская жидкость. Если же дислокационная – то поведение ее соответствует жидкости со степенной реологией:

&n	(9.28)
σ = Cε

при n = 3, где n=2k+1, k – целое число, С – положительная постоянная. (При k = 0, n = 1, получаем течение ньютоновской жидкости (9.21) и коэффициент С равен удвоенной вязкости жидкости C = 2η . С увеличением n градиенты скорости у стенок (где сдвиговое

напряжение максимально) увеличиваются. Там, где напряжения малы, течение имеет практически жесткое ядро. «Тупой» профиль скорости при больших n возникает вследствие зависимости коэффициента эффективной вязкости от напряжения.)

Хотя понимать реологию мантии весьма важно, для построения качественной картины течения в мантии нет особой необходимости различать реологические уравнения (9.28) с n = 1 и n = 3. Если бы коэффициент вязкости определялся как коэффициент эффективной вязкости для дислокационной ползучести, то течения в мантии лишь количественно отличались бы от течения ньютоноской жидкости. Оказывается, однако, что с точки зрения влияния на мантийные течения намного более существенной является одинаковая для обоих видов ползучести зависимость коэффициента вязкости от температуры и давления, а не та или иная возможная зависимость от напряжения.

255

Информацию о реологии мантии можно получить, исследуя данные о послеледниковых поднятиях. Эти данные находятся в соответствии с предположением о том, что вещество мантии является ньютоновской жидкостью. Тогда коэффициент вязкости во всей мантии имеет порядок 1022 П.

Другим важным источником информации о реологии мантии являются лабораторные исследования ползучести. Поскольку основным минералом мантии является оливин, исследования его ползучести представляют особый интерес. Данные измерений сухого оливина при температуре 14000С хорошо описываются реологическим законом с n = 3. Оказалось, что и другие геологические материалы в лабораторных условиях деформируются при высоких температурах в соответствии с нелинейным законом ползучести: 2 < n ≤ 6,5. (В соответствии с [Сорохтин, Ушаков, 2002, с. 55] мантия состоит из леорцита, который, согласно [Геологический, 1978, с. 390], представляет собой разновидность перидотита, сложенного переменными количествами пироксена и оливина с примесью хромшпинелида и магнетида.)

Как видим, экспериментальные данные согласуются с теоретической зависимостью для дислокационной ползучести. Это можно считать доказательством того, что при скоростях деформации, достигаемых в лаборатории, доминирующим механизмом деформации является дислокационная ползучесть.

Практическое постоянство коэффициента вязкости в мантии можно понять, рассмотрев его сильную зависимость от температуры и давления (9.17), (9.18), (9.28). Увеличение температуры мантии с глубиной стремиться уменьшить коэффициент вязкости. Однако нарастание давления с глубиной, наоборот, стремится увеличить его. Эти два противоборствующих эффекта могут взаимно скомпенсироваться и сохранить коэффициент вязкости почти постоянным.

В соответствии с механическими свойствами мантии [Сорохтин, Ушаков, 2002, с. 79-81] совместить ее реологические (вязкопластические) свойства можно лишь в одном случае, считая, что мантийное вещество ведет себя подобно вару, т.е. очень вязкой жидкости. Используя приведенные выше значения отклонения геоида от равновесной фигуры эллипсоида вращения жидкого тела (около ± 100 м), характерные размеры мантии (примерно 3000 км) и возможные средние скорости конвективных течений в мантии (порядка 10 см/год), можно оценить среднюю вязкость всей мантии, которая по порядку

величины совпадает с приведенной выше оценкой 3 1022 П.

Судя по скорости вздымания областей, сравнительно недавно (около 10 тыс лет назад) освободившихся от нагрузки покровных ледников, таких, как Балтийский и Канадский континентальные щиты, вязкость мантийного вещества под континентами близка к 1022 П. Теоретические определения вязкости нижней мантии по кажущейся скорости дрейфа полюсов приводят к значениям порядка (6·1023 - 5·1024) П. По расчетам, принимавшим во внимание адиабатическое распределение температуры в мантии, ее вязкость меняется от (1020 - 5·1020) П в астеносфере до 6·1023 П в нижней мантии на глубинах около 2700 км.

Рассмотрим случай, когда к среде прикладывается периодическое напряжение σ =σ0eiωt , что вызовет появление деформации ε = ε0eiωt . Тогда из общего выражения (9.20) можно получить реологическое частотное соотношение

σ =σ(ε,ω) ,

которое позволит изучать реологические свойства среды как функции частоты ω [Магницкий, 2006, с. 294-305]. При таком рассмотрении характер изменений реологических свойств мантии наглядно будет проявляться в поведении так называемого фактора сдвиговой добротности Q, который обратно пропорционален диссипативной функции 1/Q, определяющей затухание сейсмических волн и собственных колебаний Земли на разных глубинах мантии. Используя экспериментальные данные о затухании

256

упругих волн в Земле, удалось построить модели распределения этого фактора в мантии. Согласно таким моделям максимальная добротность мантии (около 600) наблюдается на глубинах около 1800-2500 км, в астеносфере и на подошве нижней мантии фактор добротности снижается приблизительно до 100. Можно ожидать, что в непосредственной близости от границы ядра механическая добротность мантийного вещества снижается еще больше.

В соответствии с приведенными данными о величине добротности в астеносфере верхней мантии под океаническими литосферными плитами на глубинах до 85-100 км вязкость частично расплавленного мантийного вещества не должна превышать (1019 – 1020) П. Под континентальными плитами на глубинах около 250-300 км вязкость мантии возрастает до значений около (1021 – 1022) П. В нижней мантии вязкость повсеместно возрастает с глубиной, достигая на глубинах около 2000 км значений порядка (1024 – 1025) П. На еще больших глубинах в нижней мантии вязкость вещества вновь начинает уменьшаться, снижаясь, вероятно, до (1019 – 1020) П в переходном слое D//. Наконец, можно ожидать, что на подошве нижней мантии в слое Берзон, где происходит дезинтеграция мантийного вещества, его вязкость резко подает на много порядков, приближаясь в погранслое на поверхности земного ядра к вязкости «ядерного» вещества в самом ядре.

Данные о землетрясениях [Жарков, 1983, с. 189] позволяют приведенные выше значения о максимальной вязкости (1024 – 1025) П на глубинах около 2000 км распространить и на меньшие глубины до 700 км, на которых отмечаются самые глубокие землетрясения. Действительно, рост касательных напряжений σ в соответствии с ((9.18):

ηeff ≈σ −2 ) понижает вязкость ηeff , а это приводит к релаксации напряжений, которые

«рассасываются» за счет течений. Как только в какой-то зоне вязкость мантии снижается до ηeff < 1022 П, она переходит из статического состояния в конвективное. Начинают

происходить вынос тепла и резкое понижение температуры, что способствует возвращению мантии в исходное состояние с вязкостью ηeff > 1023П. Таким образом,

физические условия в сверхглубокой (на глубинах более 700 км) мантии таковы, что вязкость в ней поддерживается на уровне (1023 – 1024) П, а это и объясняет отсутствие в мантии сверхглубоких (с гипоцентрами на глубинах больших 700 км) землетрясений.

Проведенные с привлечением данных о землетрясениях оценки вязкости мантии дают правдоподобные и физически прозрачные результаты. Это позволяет сформулировать важный вывод, касающийся условий, определяющих реологическое состояние вещества мантии. Известно, что глубины гипоцентров максимально глубоких очагов тихоокеанских землетрясений достигают значений около 700 км в экваториальной зоне (сейсмофокальные зоны в районах Фиджи и Боливии) постепенно уменьшаясь до 200 км в среднеширотных районах (Алеутские острова – Аляска на севере окраины Тихого океана и Новая Зеландия и южная оконечность Южной Америки на южной окраине Тихого океана). От экватора к средним широтам вследствие вращения Земли уменьшается и значение центробежной скорости. Тогда, если принять, что максимальные по глубинам очаги землетрясений являются индикаторами положения изолинии (1022-1023) П вязкости в мантии, то напрашивается следующий физически прозрачный вывод: кроме Р-Т условий реологическое состояние вещества мантии определяется и величиной угловой скорости вращения Земли.

Как видно из (9.18), дислокационная вязкость мантии обратно пропорциональна квадрату касательного напряжения, распределение которого в мантии неизвестно. По оценкам они лежат в интервале 1 – 100 бар. Таким образом, если положить среднее значение касательного напряжения в мантии равным среднему значению 10 бар, то неопределенность в значении дислокационной вязкости из-за незнания величины касательных напряжений в мантии выразится коэффициентом, пропорциональным

четырем порядкам по величине 10±2 [Жарков, 1983, с. 185].

257