должна заключаться в определении физической поверхности Земли, и внешнего гравитационного поля. М.С. Молоденский высказал мысль о том, что триангуляцию нужно редуцировать сразу на эллипсоид, минуя сложный и неизвестный геоид. Геоид в этом случае не определяется, но его и не нужно определять. Задача геодезии состоит в определении земной поверхности и внешнего гравитационного поля. Эту задачу геодезия может и должна решать на основании лишь проведенных измерений, без привлечения каких-либо гипотез о внутреннем строении Земли. В теории М.С. Молоденского за фигуру сравнения (относимости), относительно которой определяется фигура реальной Земли, принимается уровенный эллипсоид, потенциал которого находится в результате решения задачи Стокса – квазигеоид.

Квазигеоид на поверхности океана совпадает с геоидом. На материках квазигеоид будет тем больше отступать от геоида, чем больше аномалии силы тяжести и чем сложнее рельеф местности. На материках квазигеоид может быть принят за приближенное выражение для геоида [Грушинский, 1976, с. 329].

С этой новой современной точки зрения проблема редуцирования измеренных величин на геоид потеряла для геодезии свое значение [Бровар, Магницкий, Шимьерев, 1961, с. 58; Бровар, Юркина, 2001].

М.С. Молоденский - автор первой отечественной «Инструкции по гравиметрическим работам ля общей основной гравиметрической (маятниковой) съемки

СССР» (1935) и автор первого отечественного гравиметра ГМК – гравиметр кольцевой Молоденского [Геодезия, 2008а, с. 461].

1960 г. - выход в свет основополагающего руководства М.С. Молоденского, В.Ф. Еромеева и М.П. Юркиной [1960] «Методы изучения внешнего гравитационного поля и фигуры Земли», на основе которого развивается современная геодезия [Бровар, Юркина, 2001].

1963 г. - выход в свет первого издания фундаментального труда Н.П. Грушинского (1915-2001) «Теория фигуры Земли», в котором автор развил современную концепцию физической геодезии [Геодезия, 2008а, с. 189-190; Грушинский, 1976].

О фигуре реальной Земли

Вопрос о фигуре Земли имеет принципиальное значение. «Если для планеты заданы ее фигура, распределение масс и параметры движения, то можно определить ускорение силы тяжести на любой эквипотенциальной поверхности этой планеты»

[Гутенберг, 1963, с. 26].

Традиционно для Физики Земли и Геофизики проблема фигуры Земли рассматривалась в рамках описанного выше ньютоновского подхода с ориентацией на получаемые экспериментальные данные [Жарков, Трубицын, Самсоненко, 1971; Магницкий, 1965, 2006; Орленок, 2000; Стейси, 1971; Теркот, Шуберт, 1985; Трухин, Показеев, Куницын, 2005].

Но есть и другие работы. Так, в работе [Гутенберг, 1963, с. 23-25] реальная фигура поверхности Земли сравнивается со всевозможными приближенными достаточно гладкими фигурами (шар, эллипсоид вращения, трехосный эллипсоид) и отмечается, что эквипотенциальные поверхности в виде геоидов, близких к среднему уровню моря, имеют наиболее малые отклонения от истинной поверхности Земли. В работе [Хаин, Короновский, 2007, с. 216-224] в качестве причин, влияющих на изменение фигуры Земли, отмечаются ротационные и космические факторы, а также блоковое строение планеты. Во второй части книги мы коснемся вопроса, как эти факторы могут учитываться в рамках вихревой геодинамики.

Сложность и противоречивость проблемы отмечал и патриарх советской геодезии и геофизики М.С. Молоденский [2001, с. 96]: «Ни один из вопросов теоретической и прикладной гравиметрии не привлекал к себе такого внимания, как вопрос о редукции

51

силы тяжести к уровню моря. Этому вопросу посвящены сотни работ, трактующих его с различных точек зрения. К способу редуцирования силы тяжести геодезисты, геологи и геофизики предъявляют различные требования, вытекающие из особенностей решаемых ими задач. В связи с этим предложено значительное число методов редуцирования, каждый из которых обладает известными преимуществами и недостатками, более или менее существенными в условиях той или иной конкретной задачи. При оценке этих методов приходится принимать во внимание целый ряд обстоятельств, начиная с соображений теоретического порядка и кончая чисто практическими мотивами, связанными, например, с современной точностью определения гравиметрических пунктов, их распределением, с объемом вычислительных работ и пр. Мы не имеем возможности осветить этот вопрос всесторонне…» (курсив – А.В.). Поэтому в дальнейшем при изложении материала этой главы будем иметь в виду исключительно ту сторону проблемы, которая связана только с задачей изучения формы Земли и ее размеров.

Понятие об истинной фигуре Земли – геоиде и его геометрическое представление

[Трухин, Показеев, Куницын, 2005, с. 13-18; Стейси, 1972; с. 30-34]

Под формой Земли естественно понимать форму физической поверхности твердой части планеты. Однако в силу большой сложности этой твердой поверхности из нее давно стали выделять более простую (более гладкую часть), в качестве которой принимают невозмущенную приливами, ветрами и т.д. поверхность океана, продолженную некоторым образом под континенты. Для такого приближения имеются достаточно веские основания, так как на долю поверхности океана приходится большая (3/4) часть поверхности всей планеты. От этой поверхности "уровня моря" и ведется отсчет высот при изучении формы реальной поверхности Земли или ее рельефа.

Вращение Земли создает центробежные силы, которые приводят к образованию экваториального вздутия, из-за которого форма Земли существенно отличается от сферической (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Сравнение геоида (сплошная линия) с шаром того же объема (пунктирная линия). Сжатие геоида преувеличено примерно в 50 раз. Радиус шара R=(a2c)1/3, где а и с – большая (экваториальная) и малая (полярная) полуоси. Координата ϕ - географическая широта точки; ϕq – угол между нормалью к поверхности геоида в точке наблюдения и экваториальной плоскостью.

52

Если бы весь земной шар был покрыт морем, то форма поверхности (без учета несущественных возмущений, вызванных ветром, приливами и т.д.) полностью определялась бы гидростатическим равновесием воды под действием силы тяжести и сил, возникающих из-за вращения Земли.

Получающаяся соответствующая невозмущенному уровню моря эквипотенциальная поверхность - поверхность, вдоль которой гравитационный потенциал остается постоянным, называется геоидом, который и определяет фигуру Земли.

Под материками поверхность геоида криволинейна, т.е. проекция его поверхности по любому азимуту переменная кривая.

Геоид не является правильной геометрической фигурой, за поверхность геоида принимается некая поверхность, которая перпендикулярна к линии отвеса во всех точках.

Чтобы понять геометрический смысл понятия геоида для суши, нужно представить себе достаточно узкие каналы, прорытые через материки и соединенные с океанами. Уровень воды в таких каналах примерно соответствовал бы поверхности геоида.

Фигура Земли – обобщенная форма поверхности Земли, обычно совпадающая с уровенной поверхностью потенциала силы тяжести. Фигуру Земли традиционно определяют фигурой геоида, однако неопределенность его поверхности в районах суши, при более строгой постановке задачи, заставила специалистов перейти к понятию квазигеоида [Геодезия, 2008б, с. 370].

Форма геоида была установлена астрономо-геодезической съемкой, проведенной по нескольким дугам на материках. В каждом пункте наблюдения определяется вертикаль, или направление локального вектора силы тяжести относительно звезд. По результатам съемок, произведенных с 1900 по 1960 гг., и по результатам спутниковых наблюдений были определены следующие параметры геоида: экваториальный радиус а = 6378245 м, полярный радиус с = 6356863 м, средний радиус (радиус равновеликого шара)

R0 = 3 a2c = 6371032 м, площадь поверхности Земли 5,1·108 км (из них на долю суши приходится 29,2%, на долю океана 70,8%), ее объем 43 πa2c = 1,1·1012 км3, масса М = 6·1027

г и средняя плотность ρ0 = 43πMa2c = 5,5 г/см3.

Разность между экваториальным a и полярным c радиусами составляет малую величину а – с = 21,4 км, что и определяет сжатие геоида, равное [Таблицы, 1976, с. 991992; Трухин, Показеев, Куницын, 2005, с. 15]:

	ε = a − c	=	1	= 0,00335 .	(2.1)
			298,255
	a

Как видим, поверхность реальной Земли отклоняется от сферы на небольшую величину, примерно равную 1/300.

На средний геоид накладываются приливные эффекты, вызванные градиентами гравитационных полей Луны и Солнца. Но эти эффекты очень малы по сравнению со сжатием Земли, вызываемые ее вращением. Детали рельефа земной коры (материки, горные хребты) создают заметное отклонение реальной земной поверхности от геоида. Однако компенсация масс на некоторой глубине (принцип изостазии) ослабляет влияние рельефа земной поверхности на форму геоида.

53

Геофизическое обоснование геоида. Сфероид Клеро

[Магницкий, 1965, с. 200-206; 2006, с. 209-215; Трухин, Показеев, Куницын, 2005, с. 16-18]

Для определения физического смысла геоида введем в рассмотрение потенциал силы тяжести W, который слагается из потенциалов гравитационного притяжения V и центробежных сил U:

W =V +U =V −	1	ω2 (x2	+ y2 ) =V −	1	ω2r2 cos2 ϕ ,	(2.2)
	2			2

где ω - угловая скорость вращения Земли. Ось z направлена по оси вращения Земли, а x, y или r, ϕ (широта) - координаты точек на земной поверхности. В точках внутри Земли полный потенциал содержит еще один член, зависящий от давления. На поверхности ускорение силы тяжести, по определению направлено по нормали к геоиду. Таким образом, задача вычисления формы геоида сводится к получению выражения для потенциала V.

Выражение для V получается из закона всемирного тяготения Ньютона, согласно которому сила притяжения F единичной массы m1 = 1 элементом массы dm на расстоянии между их центрами тяжести r равно:

F = G m1dm	= G dm	,	(2.3)
r2	r2

где G = 6,666·10-8 г-1см3с2 – постоянная тяготения. Тогда потенциал притяжения Земли в точке вне ее, на расстоянии r от ее центра будет равен:

V = G∫dm	,	(2.4)
r

где интегрирование проводится по всему объему Земли.

Если бы Земля была точной сферой радиуса R0 со сферически-симметричным распределением плотности, то гравитационный потенциал на ее поверхности был бы в точности равен:

V =	GM	,	(2.5)
	R
	0

где М – масса планеты.

Как видно из соотношения (2.1), реальная Земля всего на 1/300 отклоняется от сферы, поэтому в первом приближении к основной части потенциала (2.5) достаточно добавить следующий поправочный член в выражении для V через сферические функции - полиномы Лежандра. Так как в системе координат связанной с центром Земли и с осями, направленными вдоль главных моментов инерции, первый полином Лежандра Р1 = 0, то добавление второго члена разложения, содержащего второй полином Лежандра Р2, приводит к выражению:

	V = GM 1− (			R0	)2	I P	(cosΘ)	,	(2.6)
	r			r		2 2
где P (cosΘ) = 2 cos2 Θ − 1			- второй полином Лежандра, Θ = π −ϕ ,
2	3	2						2

54

	I		=	C − A	≈ 0,0012 ~ ε ,	(2.7)
		2		MR2
				0

А и С – моменты инерции Земли относительно осей, проходящих через экватор и полюс соответственно.

Окончательно, в первом приближении, с учетом первого ненулевого члена в разложении потенциала по сферическим функциям, выражение для геопотенциала получаем в виде:

	GM				R		2			1			1
	W =	r	1	− I2 (	0	)2 (		sin2	ϕ −		)	+		ω2r2 sin2 ϕ .	(2.8)
					r		3			2			2

Как видно из соотношения (2.7), величина I2 является малой, порядка величины сжатия Земли. Следовательно, в каждой точке поверхности Земли значения разностей между радиусами «приближенного» геоида r и сферы R0 также должны быть небольшими. Поэтому тело, создающее потенциал (2.8), стало называться сфероидом Клеро или просто

сфероидом.

Выражение для коэффициента I2 (2.7) и геопотенциала (2.8) в том же приближении и с той же точностью, очевидно, может быть переписано в следующем виде, в котором они, как правило, и используются:

I2	=	C − A			~ ε ,
		Ma2
W		GM				− I2		a	2		2		2		1			1	2	r	2		2
	=				1		(		)	(		sin		ϕ −		)	+		ω			sin
								r			3				2			2
		r

(2.7.1)

ϕ. (2.8.1)

В полученной формуле (2.8.1), полагая значение геопотенциала равным ускорению силы тяжести на экваторе, и решая полученное уравнение относительно радиуса, удерживая лишь малые первого порядка, получаем в явном виде уравнение для сфероида Клеро [Магницкий, 1965, с. 200-202; Бровар, Магницкий, Шимберев, 1961, с. 71-72]:

				r = a(1−α0 sin 2 ϕ) ,				(2.9)
		3		C − A		1 ω2 a3
где α0	=				+		~ ε .
		2		Ma2
						2 GM

При учете малых следующего порядка получаем уравнение для сфероида Дарвина-

Де Ситтера [Жарков, Трубицын, 1980, с. 283-284, 300-301]:

	−α0 sin	2	ϕ + (	5	2	− k)sin	2		,
r(ϕ) = a 1				8	α0			2ϕ

где поправочный параметр k, характеризующий отличие уровенных поверхностей от точного эллипсоида вращения, является малой величиной.

55