вещества Земли в рамках подхода Буллена с помощью условий Радо, Молоденского и Адамса-Вильямсона. Распределение упругих модулей, давления и ускорения силы тяжести с глубиной. Мантия и ядро Земли. Распределение плотности, температуры, давления и ускорения силы тяжести в современной Земле в модели Сорохтина.

Обзор развития представлений о моделях Земли

1863 г. - Лорд Кельвин (Sir W. Thomson, Lord Kelvin), исследуя деформации однородного несжимаемого упругого шара под действием объемных сил получил оценку

модуля сдвига для Земли: µ = (1,2 −1,5) 1011 Н/м2 при жесткости стали при атмосферном давлении, равной µ = 0,8 1011 Н/м2 [Буллен, 1978, с. 94].

1879 г. - Лорд Кельвин и П. Тэйт (P.G. Tait) рассмотрели модель Земли, состоящую из ядра однородной плотности ρ1 радиусом а1, окруженного также оболочкой однородной

плотности ρ2 .

1885-1891 гг. - сначала Р. Радо (R.R. Radau) затем Е. Вихерт (E. Wiechert)

выполнили подробные численные расчеты для таких моделей. Радо выбрал плотность оболочки ρ2 =2,7 г/см3 и получил плотность ядра ρ1 =7,47 г/см3 и радиус ядра а1 = 0,844а =

5383 км. Вихерт положил ρ2 =3,2 г/см3 и получил ρ1 =8,21 г/см3 и а1 = 0,779а = 4968 км

[Буллен, 1978, с. 82, 84].

1891 - 1896 гг. - Ф. Тиссеран (F. Tisserand) получил первую оценку предела плотности в центре Земли ρ , равную ρ > 7,07 г/см3. В соответствии с этой оценкой в

большинстве моделей, предложенных в то время, значение плотности для центра Земли лежало в пределах 10-12 г/см3. Такая сравнительно высокая плотность в центре Земли совместно с данными по метеоритам привела к предположению, высказанному Е. Вихертом, что Земля состоит из внешней оболочки (mantel), окружающей более плотное металлическое ядро [Буллен, 1978, с. 90, 172].

1897 г. - Е. Вихерт первым предположил, что Земля состоит из мантии и ядра и в каждом из этих подразделений в качестве первого приближения можно допустить плотность постоянной.

1915 г. - В. Классман (W. Klussman) распространил уравнения Вихерта на трехслойную модель.

1923 г. - Е. Вильямсон (E.D. Williamson) и Л. Адамс (L.H. Adams) впервые вычислили плотность в мантии, предположив, что мантия является однородной и изотермической и плотность возрастает с глубиной в соответствии с ростом давления. Кроме того, они предположили, как это обычно делается, что давление является гидростатическим

1925 г. - следующий шаг сделал Х. Хаальк (H. Haalck), который предположил, что плотность в верхней части мантии возрастает с постоянной скоростью до разрыва непрерывности второго рода, который, как он считал, находится на глубине 1200 км. Как найдено теперь, этот разрыв непрерывности второго рода расположен на глубине около

950 км.

1936 г. - в своем первом вычислении плотности в Земле К. Буллен (K.E. Bullen) предполагал, что отдельные составные части Земли являются однородными. Полученная Булленом зависимость плотности от глубины достаточно близка современным определениям [Гутенберг, 1963, с. 181-183].

1902 г. - Д. Крейхауер (D. Kreichgauer), вероятно первый, на основании данных об изменениях климата составил довольно правдоподобную карту предполагаемого движения Северного полюса вращения относительно континентов северного полушария в течение геологических периодов [Гутенберг, 1963, с. 248].

1906 г. - Олдгем привел сейсмические доказательства существования центрального ядра. Он обнаружил значительное запаздывание в прибытии волн Р на угловых

135

расстояниях, превышающих 1200 от очага землетрясения, и сделал из этого вывод, что Земля содержит центральную область, характеризуемую заметно меньшей средней скоростью волн Р, чем в окружающей оболочке.

Было найдено, что мантия пропускает волны Р и S во всех направлениях и, следовательно, является твердой. Никаких волн S не удалось обнаружить глубже мантии, и была высказана догадка, что большая часть ядра находится в расплавленном состоянии

[Буллен, 1978, с. 172-173].

1907 г. - Е. Вихерт разработал теорию распространения сейсмических волн. К. Цепритц (K. Zoeppertz) и Л. Гейгер (L. Geiger) вычислили скорость продольных волн в мантии [Гутенберг, 1963, с. 31].

К. Цеппритц создал пригодные для практической работы таблицы времен пробега некоторых фаз сейсмических волн [Буллен, 1978, с. 173].

1909-1910 гг. - А. Мохоровичич (A. Mohorovicic), изучая записи землетрясения, происшедшего в 40 км от Загреба (Югославия), заметил, что на расстоянии больше 200 км от источника первой на сейсмостанции вступает продольная волна другого типа, чем на более близких расстояниях. Он объяснил это существованием на глубине порядка 50 км границы, на которой скорость резко возрастает. Эта граница подошвы земной коры в настоящее время называется границей Мохоровичича или Мохо [Буллен, 1978, с. 173;

Гутенберг, 1963, с. 49].

1913-1915 гг. - Б.Б. Голицын на основании наблюдений над углами выхода сейсмических волн обнаружил границу на глубине 492 км, с которой связывают залегание слоя с повышенным градиентом скорости [Оноприенко, 2002, с. 170].

1914 г. - В. Гутенберг (B. Gutenberg) изучал записи землетрясений с эпицентральными расстояниями более 800 от Геттингена. Он нашел, что на глубине 2900 км скорость продольных волн скачком уменьшается от 13,25 до 8,5 км/с и что радиус ядра равен приблизительно 3500 км [Гутенберг, 1963, с. 33]. Учитывая, какими данными наблюдений располагал В. Гутенберг, можно считать, что неопределенность его оценки глубины залегания границы между мантией и ядром была порядка 50-100 км [Буллен, 1978, с. 173]. Граница между мантией и ядром на глубине 2900 км в настоящее время называется границей Гутенберга.

Ж. Баррел (J. Barrell) назвал слой с относительно малым пределом текучести, который позволяет путем медленных движений постепенно приближаться к состоянию гидростатического равновесия, астеносферой [Гутенберг, 1963, с. 98].

1917 г. - Б.Б. Голицыным [1960, с. 268-364] был создан оригинальный метод изучения внутреннего строения Земли по наблюдениям над углами выхода сейсмических лучей [Оноприенко, 2002, с. 169].

1925 г. - В. Конрад (V. Konrad) обнаружил еще одну фазу продольных волн при изучении землетрясения в восточных Альпах. Эта граница, располагающаяся в земной коре между осадочным слоем и границей Мохо, получила название границы Конрада

[Гутенберг, 1963, с. 49].

1926 г. - Дж. Джеффрис (J. Jeffreys), продолжая работу Кельвина, нашел, что средняя жесткость µ1 земного ядра значительно меньше, чем средняя жесткость µ2

мантии, и, может быть, даже равна нулю. Этим он подкрепил предположение о том, что большая часть ядра находится в основном в жидком состоянии. Дж. Джеффрис вывел

предварительную оценку для средней жесткости мантии: µ2 =1,7 1011 Н/м2 [Буллен, 1978,

с. 174].

1936 г. - И. Леман (I. Lehmann), интерпретируя некоторые сейсмологические данные, предположила, что ядро состоит их двух частей – внутреннего и внешнего ядра и скорость сейсмических волн во внутреннем ядре больше, чем во внешнем [Гутенберг, 1963, с. 34].

1938 г. - В. Гутенберг и Ч. Рихтер (C. Richter) сделали попытку определить радиус границы между внутренними и внешним ядром и нашли, что переход от внешнего ядра к

136

внутреннему начинается на расстоянии примерно 1500 км от центра Земли и охватывает зону притяжением около 300 км [Гутенберг, 1963, с. 34].

1939 г. - В. Гутенбергом и Дж. Джеффрисом независимо друг от друга были получены близкие графики изменения значений продольной и поперечной скоростей сейсмических волн с глубиной.

Распределение скоростей Р волн, выведенное Дж. Джеффрисом, включало переходный слой, занимающий область между глубинами 4980 и 5120 км. Позднее этот слой был назван зоной F. Никаким простым путем Дж. Джеффрису не удавалось избежать введения в этой области отрицательного градиента для скорости Р волны. На нижней границе зоны F Дж. Джеффрис ввел скачек скорости от 9,40 до 11,16 км/с

[Буллен, 1978, с. 164, 180].

1942 г. - К. Булленом было предложено разделение Земли на семь слоев (А – G), границы между которыми определялись на основании найденных к 1939 г. графиков скоростей сейсмических волн с глубиной [Буллен, 1978, с. 181]:

А 0 - 33 км Нерегулярный (коровые слои)

В33 – 410 км Нормальный (P и S)

C410 – 1000 км Больше чем нормальный (P и S)

D1000 – 2900 км Нормальный (P и S), за исключением области, прилегающей к подошве

Е2900 – 4980 км Нормальный (только Р)

F4980 – 5120 км Отрицательный (только Р)

G5120 – 6370 км Очень маленький, но не отрицательный (только Р)

1949 г. - изучение физического смысла падения градиентов скоростей до нуля в интервале глубин 2700-2900 км, привело К. Буллена (K. Bullen) к подразделению зоны D

на две подзоны: D/ (1000-2700 км) и D// (2700-2900 км) [Буллен, 1978, с. 179].

1950-1953 гг. - сначала Н. Такеучи (H. Takeuchi), затем М.С. Молоденский путем вычислений показали, что жесткость внешнего ядра составляет не более µ1 <109 Н/м2 и µ1 < 5 1010 Н/м2 соответственно [Буллен, 1978, с. 174].

1957-1958 гг. - В. Гутенберг пришел к выводу, что в зоне перехода от внешнего ядра к внутреннему короткие волны распространяются, по-видимому, быстрее, чем длинные, и что это, очевидно, указывает на переходную зону от жидкого к твердому состоянию вещества одного и того же рода [Гутенберг, 1963, с. 34].

1965 г. - выходит в свет фундаментальная монография В.А. Магницкого «Внутреннее строение и физика Земли». Книга представляет собой первое в мировой практике законченное, последовательное и в разумных пределах взаимно согласованное описание практически всех основных разделов (кроме геомагнетизма), характеризующих внутреннее строение Земли и ее физику.

Предпосылки создания теории определения плотности

[Буллен, 1978; с. 77]

Во всей теории, описывающей распределение плотности Земли, наиболее твердо установлены соотношения, основанные только на законе всемирного тяготения и сферической симметрии:

g = GM / R2 , dm = 4πr 2 ρdr .

(5.1)

Здесь g – ускорение свободного падения, G – гравитационная постоянная, M – масса Земли, R – ее радиус и ρ - ее плотность. В случае выполнения гидростатического соотношения

137

dPdz = − dPdr = gρ ,

С. Лаплас нашел одно из основных уравнений, связывающих

плотностью и давлением в ее недрах:

	dP	r
		= −4πGρr −2 ∫ρq2 dq ,
	dr
		0

(5.2)

радиус планеты с

(5.3)

Здесь Р – давление, q – радиус-вектор шарового слоя 0 < q ≤ r . Эти уравнения с учетом

дополнительных предположений о состоянии вещества и были впоследствии положены в основу всех моделей плотности вещества Земли и других планет солнечной системы: модели Эмдема, Роша, Дарвина, Лежандра-Лапласа, Вильямсона-Адамса, М.С. Молоденского, В.Н. Жаркова и других. Подробный обзор этих моделей можно найти в обстоятельных монографиях [Буллен, 1978; Джекобс, 1979; Жарков, Трубицын, 1980; Жарков, Трубицын, Самсоненко, 1971].

Упругость и плотность Земли

Данные о скоростях сейсмических волн, полученные в сейсмологии (рис. 4.10, 4.11), не позволяют найти раздельно функции плотности ρ(r) , модуля сжатия К(r) и

модуля сдвига µ(r) как функций радиуса r. По полученным выше формулам (4.69) можно найти лишь отношения этих величин.

Для раздельного нахождения этих величин необходимы дополнительные условия.

В качестве таких данных используются в первую очередь значения массы М,

момента инерции C Земли или связанной с ними величины I2 = εMaH C2 , где εH -

динамическое сжатие, определяемое соотношениями (2.19) - (2.21), (2.23), а – как и выше, экваториальный радиус Земли.

К упомянутым величинам следует отнести и граничные условия - плотность ρ0 самых верхних слоев Земли. К сожалению, установить ρ0 довольно трудно в силу сложности строения земной коры и большого разброса плотностей горных пород. Так как верхние части мантии Земли, как мы видели, по своим свойствам представляются более однородными, то обычно в качестве ρ0 берут плотность вещества мантии непосредственно под границей Мохоровичича.

Определение плотности вещества внутри Земли с помощью схемы расчета Буллена и условий Роша, Молоденского и Адамса - Вильямсона; соответствующие им плотностные модели [Магницкий, 1965; с. 246-254; Сорохтин, Ушаков, 2002, с. 64-67]

Схема расчета Буллена. Несмотря на недоступность недр Земли для непосредственных исследований, распределение плотности вещества в мантии и земном ядре удается определить достаточно надежно по данным о скоростях распространения в этих геосферах сейсмических волн от землетрясений. Впервые разработанная в конце 1950-х гг. К. Булленом [1978] такая методика впоследствии была существенно усовершенствована им и другими исследователями за счет привлечения дополнительной информации о моменте инерции и свободных колебаниях Земли, что значительно повысило достоверность определений.

138

В основе методики определения распределения плотности в Земле лежат известные уравнения гидростатики (5.1) – (5.3) и термодинамические соотношения, связывающие радиальные градиенты плотности в среде с сейсмическими параметрами среды (уравнения состояния, условие сжимаемости и др.). Скорости сейсмических волн с глубиной, обычно, возрастают (рис. 4.10, 4.11). Поэтому интерпретация сейсмических годографов (рис. 4.3) с целью определения зависимостей этих скоростей от глубины проводится по описанной в предыдущей, четвертой главе методике Герглоца-Вихерта.

Уравнения, связывающие между собой значения сейсмических скоростей с параметрами среды, позволяют определять лишь градиент плотности, а не само значение плотности. Поэтому для построения зависимости плотности от глубины приходится задаваться граничным значением плотности на поверхности Земли ρ0. При этом «сшивку» решений, получаемых для отдельных геосфер (например, для ядра и нижней мантии), производят по условию непрерывности давления на границах этих геосфер, а значения плотности в них подбирают таким образом, чтобы расчетные значения массы М = 5,98·1027 г и момента инерции С = 0,8038·1045 г·см2 Земли совпадали бы с их измеренными значениями при среднем радиусе Земли R0 = 6371 км.

Дополнительные уточнения в распределении плотности с глубиной позволяют внести данные о частотном спектре собственных колебаний Земли, возбуждаемых сильными землетрясениями.

Таким образом, любой закон изменения плотности с глубиной должен быть решением следующей задачи, включающей, по крайней мере, три, достаточно жесткие условия:

ρ0 = 3,3 - 3,5 г/см3,
R0
4π ∫ρr2dr = M ,				(5.4)
0
	8π	R
С =		∫0 ρr4dr .
	3	0

Модель Радо. Кроме того, Радо ввел еще очевидное условие неуменьшения плотности с глубиной, вытекающее из (2.11), (2.12):

	dρ	≥ 0 .	(5.5)
	dr

Задача (5.4) - (5.5) позволила Радо, не прибегая к каким-либо гипотезам или дополнительным данным, вычислить для каждой глубины допустимые пределы для плотности с использованием следующей простой схемы.

Пусть ρ - истинный закон изменения плотности, а δ - какой-либо другой закон, предполагаемый нами, но подчиняющийся условиям (5.4). Тогда имеем:

R0

4π ∫δr2dr = M ,

0

(5.6)

8π R∫0δr4dr = C .

3 0

Вычитая из второго соотношения в (5.4) первое соотношение в (5.6), находим:

139

R0
∫(ρ −δ)r2dr = 0 .	(5.7)
0

Так как r2 знак не меняет, то каков бы ни был закон изменения δ, существует, по крайней мере, одно значение r = r1, при котором (ρ - δ) меняет знак.

Аналогично, вычитая из третьего соотношения в (5.4) второе в (5.6), находим:

R0

∫(ρ −δ)(r4 − r2r12 )dr = 0 . (5.8)

0

(ρ - δ) меняет знак при r = r1, но в этой же точке меняет знак и (r4 - r2r12), следовательно, подинтегральное выражение (5.8) не меняет знака при r = r1. Таким образом, существует еще одно значение r = r2, при котором (ρ - δ) меняет знак.

Наложим на δ условие Радо (5.5) в виде ddδr = 0 везде, кроме точки r3, где δ может

меняться скачком.

Таким образом, принимаем закон плотности

δ= δ1 при r ≤ r3,

δ= δ2 при r ≥ r3.

Значения δ1 и δ2 сразу определяются из условий (5.6).

На рис. 5.1. ломаная линия 2-2 представляет закон изменения плотности δ, линия 1-1 - истинный ход плотности δ с глубиной. Из данных, представленных на рис. 5.1, и условия (5.5) видно, что при r = r3 кривая δ обязательно пройдет между значениями δ = δ1 и δ = δ2. Следовательно, δ1 и δ2 будут пределами для плотности Земли на расстоянии r3 от центра.

К сожалению, пределы Радо еще очень широки и потому не могут дать существенных сведений о плотности внутри Земли.

Рис. 5.1. Зависимость плотности от радиуса при условии Радо. Пояснения в тексте

Модель Молоденского. Для сужения пределов изменения плотности М.С. Молоденским было предложено вместо условия Радо (5.5) ввести условие [Молоденский, 1953; 2001, с. 314-317; Молоденский, Еремеев, Юркина, 1962]:

− ddrρ ≥ gKρ2 . (5.9)

140

Соотношение (5.9) следует из выполнения следующих упруго-гидродинамических условий. С одной стороны, из закона Гука dρ/ρ = dР/K, с другой – из справедливости гидростатического приближения dР = -gρdr. Вместе эти два уравнения для однородного вещества дают:

− ddρr = gKρ2 . (5.10)

Взяв в качестве предельного случая соотношение (5.10), можно, учитывая (5.6), методом численного интегрирования вычислить кривые, которые удовлетворяют следующему условию:

− ddrδ = gKδ 2 .

Если теперь прямые δ = δ1 и δ = δ2 на рис. 5.1 заменим полученными кривыми, то найдем новые пределы плотности - пределы плотности по Молоденскому, которые на рис. 5.2 проведены пунктиром. Пределы по Молоденскому дают максимально возможный скачек плотности на границе земного ядра, равный 4,6 г/см3. Однако если допустить, что температура может отклоняться от адиабатической, то эти пределы могут несколько расшириться.

Если скачек плотности на границе ядра будет равняться предельно возможному значению, то будет получен закон изменения плотности с глубиной по Молоденскому, изображенный на рис. 5.2 точечным пунктиром.

ρ г/см3

18													B
14													Fe
10													A								A
6								A
2						2
	0			1			3					4	5		6

H, тыс.км

Рис. 5.2. Различные решения для закона изменения плотности с глубиной. А и В – решения Гуттенберга-Буллена, Буллена. Пунктиром обозначены пределы плотности по Молоденскому, точечный пунктир – плотность по Молоденскому. Пояснения в тексте.

Модель Адамса-Вильямсона. Формула (5.9) в случае химически однородного вещества может быть положена в основу модели Адамса-Вильямсона определения закона изменения плотности Земли с глубиной [Williamson, Adams, 1923].

141

Для Земли однородного состава изменение плотности с глубиной можно записать в следующем виде ddrρ = (ddρr )S + (ddrρ)τ . Здесь (ddrρ)S - адиабатическое изменение

плотности (при постоянной энтропии S); (ddrρ)τ - изменение плотности за счет того, что

истинный температурный градиент в Земле отличается от адиабатического на величину

τ .

Из (5.10) имеем (	dρ	)	S	= −	gρ	= −	gρ	, так как, в соответствии с соотношениями
					KS / ρ		F
	dr

(4.69), величины KS/ρ = F = VP2 - 4/3VS2, полученные из сейсмических данных, соответствуют адиабатическим условиям. Если теперь α - коэффициент объемного расширения, то приращение плотности при температурном градиенте τ будет dρ =

αρτdr, (dρ/dr)τ =αρτ.

Таким образом,

dρ		gρ2
dr	= −		+αρτ . (5.11)
		KS

Для большей части Земли, за исключением самых верхних ее частей, адиабатический градиент τ можно считать небольшим. В жидком ядре, по-видимому, можно принять τ = 0. Поэтому, в первом приближении выражение (5.11) можно заменить через (5.10). При этом учет возможности изменения химического состава по глубине можно провести путем перехода от неравенства (5.9) к равенству (5.10) следующим образом:

− dρ = χ(r) gρ2 . (5.12) dr KS

Здесь χ(r) - функция, учитывающая отклонение вещества Земли от однородного в результате возможных изменений с глубиной, как химического состава вещества Земли, так и фазовых переходов, происходящих при изменении давления и температуры.

В настоящее время имеется много решений уравнения (5.12) при разных предположениях относительно χ(r). Рассмотрим только самое простое предположение относительно χ(r), которое состоит в следующем. Земля считается однородной, т.е. полагается χ(r) = 1, везде, кроме границы земного ядра, где, как указывают данные сейсмологии, механические характеристики вещества Земли меняются скачком при переходе от мантии к ядру. И покажем, что имеющиеся данные противоречат такому предположению.

Обозначим через m1 массу части Земли, заключенной внутри шара радиуса r1:

r1

m1 = 4π∫ρ(r/ )2 dr/ ; ускорение силы тяжести на расстоянии r от центра Земли примем

0

равным g = Gm/r2. Тогда уравнение (5.12) примет вид:

			−	dρ	= G	mρ	,	(5.13)
				dr		r2 F
где, как и выше,	F =V 2	− 4/ 3V 2	. Полученное					уравнение (5.13) в совокупности с
	P	S

условием

142

dm/dr = 4πρr2

(5.14)

решаем методом численного интегрирования. В качестве граничных условий выбираем

соотношения: m1(r1 → R0 ) → M , ρ1(r1 → R0 ) → ρ0 .

Величину скачка плотности на границе ядра при r1 = 0,55R0 определим из

	8π	R
уравнения		∫0 r4dr = C . Полученное таким образом распределение плотности ρ* (рис.
	3	0
5.3) позволяет найти момент инерции ядра C1 .
		C1
		m1r1	2

Рис. 5.3. Зависимость между безразмерным моментом инерции ядра и плотностью ρ* в модели Адамса-Вильямсона.

Полученная зависимость показывает, что, с одной стороны, ρ* никак не может быть меньше 3,7 г/см3, т.к. в этом случае момент инерции ядра C1 становится больше

0,4m1r12 и плотность в ядре должна убывать с глубиной, что физически маловероятно. С

другой - значение ρ* = 3,7 г/см3, в силу первого соотношения в (5.4) представляется неоправданно большим.

Таким образом, приходится сделать единственно возможный вывод о том, что первоначальное предположение об «однородности» χ(r) = 1 везде, кроме границы ядра, неверно. Другими словами, проведенный анализ показал, что отклонения от однородности вещества следует искать, в первую очередь, в мантии Земли, скорее всего - в слое С.

Модель плотности Гутенберга-Буллена. На рис. 5.2 сплошной линией «А»

показан закон изменения плотности, при котором «скачек» плотности на глубине 500 км в соответствии с сейсмологическими данными заменен плавной интерполяционной кривой в виде полинома второй степени. При этом везде, кроме слоя С и границы ядра,

Земля считается однородной. Момент инерции ядра при этом составляет C1 = 0,387m1r12 .

Полученная в результате плотностная модель строения Земли известна как модель "А" Буллена [Буллен, 1978]. По существу с ней совпадает и модель Земли Гутенберга [Гутенберг, 1963]. Основная разница между ними в том, что при примерно тех же плотностях, как и в модели "А", в модели Гутенберга предполагается изменение скоростей сейсмических волн на глубине в соответствии со скоростным разрезом по Гутенбергу, а не по Джеффису - Буллену, как в модели "А" Буллена.

143