Законы Ферма, Гюйгенса и Снеллиуса

Истинное величие науки состоит в том, что часто можно найти такой способ рассуждения, при котором закон становится очевидным [Фейман, 1967, с. 9]. Поэтому основные законы распространения волн и были установлены задолго до того, как была создана количественная теория, описанная выше. К таким законам, в первую очередь,

относятся законы В. Снеллиуса (Snellius van Royen, 1580-1626), П. Ферма (Fermat, 16011665) и принцип Х. Гюйгенса (Huygens, 1665-1681).

Впервые общий принцип, наглядно объясняющий закон поведения света, был предложен примерно в 1650 г. П. Ферма и получил название принципа наименьшего времени или принципа Ферма: свет выбирает из всех возможных путей, соединяющих две точки, тот путь, который требует наименьшего времени для его прохождения [Фейман, 1967, с. 9].

В некоторых частных случаях приближенное решение задачи распространения волны в среде можно найти с помощью геометрического построения, основанного на принципе Гюйгенса, сформулированного в 1678 г. и опубликованного в 1690 г. создателем волновой теории света Х. Гюйгенсом [Храмов, 1983, с. 95]. Согласно этому принципу, каждую точку среды, до которой в данный момент дошел фронт волны, можно рассматривать как источник вторичных элементарных волн. Принцип Гюйгенса позволяет определить расположение фронта волны в последующие моменты времени, если известно расположение фронта в некоторый начальный момент, а также направление и скорость распространения волн [Шебалин, 1981, с. 216].

Закон Снеллиуса [Ландау, Лифщиц, 2003, с. 133-134]. Рассмотрим отражение и преломление плоской монохроматической (строго одной частоты) упругой волны на границе раздела между двумя различными упругими средами. При этом надо иметь в виду, что при отражении и преломлении характер волны, вообще говоря, меняется. Если на границу раздела падает чисто поперечная или чисто продольная волна, то в результате получаются смешанные волны, содержащие как поперечные, так и продольные части. Характер волны не меняется (как явствует из соображений симметрии) только в случае перпендикулярного падения волны на поверхность раздела и в случае падения под произвольным углом поперечной волны с параллельными плоскости раздела колебаниями.

Соотношения, определяющие направления отраженной и преломленной волн, могут быть получены непосредственно из постоянства частоты и касательных к

поверхности раздела компонент волнового вектора. Пусть θ и θ/ - угол падения и угол отражения (или преломления), а с, с/ - скорости отраженной (или преломленной) волн. Тогда справедливо соотношение, называемое законом Снеллиуса:

sinθ	=	c	.	(4.56)
sinθ/
		c/

Когда скорость распространения отраженной или преломленной волны больше скорости падающей волны, должен существовать критический угол падения, при котором угол отражения или преломления становится равным π / 2 . Для углов падения, больших этого угла, соотношение (4.56) перестает быть верным и положение становится подобным тому, которое в оптике известно как полное внутреннее отражение [Кольский, 1955, с. 43].

Упругие волны в твердых телах и сейсмические волны

На рис. 4.1 представлена полученная на сейсмостанции Петропавловск-Камчатский сейсмограмма от далекого сильного глубокого землетрясения с очагом в море Флорес

115

(Индонезия). На сейсмограмме отчетливо выделяется две группы волн. Волны, пришедшие на стацию первыми принято обозначать Р, от Prima – первый. Эти волны с максимальной амплитудой записаны на вертикальном (Z) канале и по характеру записи на всех каналах, представляют собой продольные волны, скорости которых в сейсмологии принято обозначать через VP . Вторую группу волн, пришедших на станцию несколько

позже, принято обозначать S, от Second – второй. Наибольшую амплитуду эти волны всегда имеют на горизонтальных каналах (в данном случае на канале NS - Север-Юг) и поэтому представляют собой волны сдвига.

4								L Q
			S			s S
0								E W
-4
3			S
0								NS
-6
3								L R
	P p P
0

-3

1 0 м

2 0 м

3 0 м

Z

Рис. 4.1. Сейсмограмма глубокого (Н = 572 км) землетрясения 09.09.2006 с очагом в море Флорес (Индонезия), зарегистрированного сейсмостанцией Петропавловск-Камчатский. Эпицентральное

расстояние ∆ = 690 . Станционные определения магнитуды: МS = 6,3, MPV = 5,5, MR = 5,2; определения NEIS: MW = 6,3. Горизонтальная шкала времени в минутах; вертикальная шкала смещений в микронах. Z, NS, EW – составляющие, ориентированные в вертикальном, Север-Юг и Восток-Запад направлениях. Обозначены вступления пришедших на станцию Р и S волн и теоретические времена прихода волн Лява (LQ) и Рэлея (LR). Полосой обозначена часть записи, по которой оператором определялось значение магнитуды MR.

На рис. 4.2 представлена полученная на сейсмостанции Петропавловск-Камчатский сейсмограмма от далекого сильного корового землетрясения 28.03.2005, М = 8,5 с очагом примерно в том же месте, что и на рис. 4.1, в районе Индонезии. Видно, что кроме описанных выше продольных Р и поперечных S фаз сейсмограмма содержит и цуги «почти постоянных гармонических колебаний» с периодами сначала около 40 сек – фаза LQ , а затем около 20 сек – фаза LR . В соответствии с имеющимися в мировой практике

данными, фаза LQ - «это горизонтальные поперечные колебания; их вертикальная и

радиальная	горизонтальная компоненты близки нулю. Именно» как волны	Лява
«Гуттенберг	впервые так и интерпретировал» их. Относительно волны	LR

«горизонтальные приборы … показывают, что колебания … происходят в направлении ее распространения, но не в поперечном направлении. Это соответствует … волне Рэлея»

[Рихтер, 1963, с. 248-249].

Как видим данные, представленные на рис. 4.1 и 4.2, показывают, что скорости всех сейсмических волн Р, S, LQ и LR , зарегистрированных станцией Петропавловск-

Камчатский из очага землетрясения 25.04.2005, М = 8,5, удовлетворяют соотношению:

116

VP >VS >VL >VR .

(4.57)

В такой же последовательности эти же волны из очага землетрясения 28.03.2005, М ≈ 8,5 были зарегистрированы и на всех сейсмических станциях Земли. В последовательности, определяемой соотношением (4.57), сейсмические волны регистрируются из очагов всех землетрясений планеты всеми расположенными на всех и возможных эпицентральных расстояниях и азимутах сейсмическими станциями, число которых с момента их появления на Земле вот уже в течение века составляет многие тысячи.

Рис. 4.2. Сейсмограмма корового землетрясения 28.03.2005 с очагом вблизи Индонезии, зарегистрированного сейсмостанцией Петропавловск-Камчатский. Эпицентральное расстояние

∆ = 780 . Станционные определения магнитуды: МS = 8,7, MPV = 8,1, MR = 8,6; определения NEIS: MW = 8,6. Горизонтальная шкала времени в минутах; вертикальная шкала смещений в микронах. Z, NS, EW – составляющие, ориентированные в вертикальном, Север-Юг и Восток-Запад направлениях. Обозначены вступления пришедших на станцию Р и S волн и волн Лява (LQ) и Рэлея (LR). Полосой обозначена часть записи, по которой оператором определялось значение магнитуды MR.

Таким образом, правило (4.57), определяемое порядок вступления сейсмических волн на сейсмических станциях Земли, всегда совпадает с законом (4.48) или (4.55), установленным в рамках теории упругости. Это позволяет сейсмические волны Р, S, LQ и

LR интерпретировать как упругие волны cl , ct , cL и cR соответственно. Другими

словами, приведенные данные доказывают: сейсмические волны, распространяемые из очага землетрясения, с достаточно хорошим приближением можно считать упругими волнами и, следовательно, количественно описывать их в рамках теории упругости.

Тогда в соответствии с (4.32), (4.45), (4.47), (4.54) значения скоростей сейсмических волн определяются из следующих соотношений:

V	=	λ + 2µ , V =		µ ,	VP ≈1,73	, V	≈ 0,92V , V	<V <V	,	(4.58)
P		ρ	S	ρ	VS	R	S S1	L S 2

где VS1 и VS 2 - скорости поперечных волн в слое (земной коре) и полупространстве (ниже подошвы земной коры), λ и µ - коэффициент Ламэ и модуль сдвига вещества Земли.

117

Значения скоростей сейсмических волн по порядку величины близки скоростям в твердом теле, зависят от глубины, увеличиваясь вглубь Земли, и, как будет показано ниже, изменяются в следующих пределах:

0 <VP ≤14 км/с, 0 <VS ≤ 7 км/с.

Следует отметить, что как сами понятия продольной и поперечной волн, так и первые их физические волновые свойства в физику твердого тела вообще и в теорию упругости в частности в конце 19 – начале 20 вв. пришли именно из сейсмологии. Этому, конечно, способствовало достаточно бурное развитие в одно и то же время и сейсмометрии и мировой сети сейсмических станций, которое проводилось, в значительной степени, по инициативе Б.Б. Голицына. Тем не менее, представляется, что обоснование начал практической сейсмологии вполне возможно провести, не опираясь сколько-нибудь существенным образом на теорию упругости. Эту мысль автор и хотел обосновать в настоящем разделе.

В этой связи отметим два следующих обстоятельства.

Первое. Изначально прочная и безальтернативная связка между сейсмологией и теорией упругости и первые теоретические и практические результаты, достигнутые Б.Б. Голицыным, Ф. Рейдом и Г. Джеффрисом в сейсмологии, на взгляд автора, и предопределили на целое столетие именно «очаговое» направление развития и теории и практики сейсмического процесса. Первые модели сейсмического процесса, как процесса, описывающего поведение в пространстве и во времени совокупности взаимодействующих очагов землетрясений, появились, фактически, только в конце 20 – начале 21 вв. Их развитие происходит достаточно вяло. На это, в частности, указывает и то, что даже такие очевидные фактические данные по миграции землетрясений и другим волновым свойствам сейсмичности (подробно см. часть II книги) на протяжении многих десятилетий с момента их открытия так пока и не получили своего надлежащего развития и признания. Правда, здесь существуют и объективные трудности, т.к. до настоящего времени многие из такого рода данных не представляется пока возможным проверить прямыми экспериментальными наблюдениями [Быков, 2005].

Второе. Очаговому направлению развития сейсмологии способствовали и более глубокие корни теоретического плана. Например, принцип Сен-Венана [Ризниченко, 1983, с. 11]. Так, в энциклопедическом словаре [Физический, 1983, с. 675] этот принцип сформулирован в виде фундаментального утверждения. Действительно, согласно принципу Сен-Венана «уравновешенная система сил, приложенная к какой-либо части поверхности однородного упругого тела, вызывает в нем напряжения, очень быстро убывающие по мере удаления от этой части и на расстояниях, существенно превышающих наибольший линейный размер области приложения нагрузок, напряжения и деформации оказываются пренебрежимо малыми».

Однако «фундаментальность» этого принципа для теоретической сейсмологии, на взгляд автора, сейсмологами была сильно преувеличена. Даже не всеми специалистами по теории упругости этот принцип воспринимается как основополагающий, чаще – как некое правило, облегчающее выполнение тех или иных вычислений. Например, в [Седов, 1973, с.364-365] принцип Сен-Венана, подтвержденный «множеством опытных данных и» подкрепленный «многими численными расчетами на частных примерах», «вытекает из … общего свойства решений задач теории упругости». В работе [Жермен, 1965, с. 125-126] правило Сен-Венана оценивается как такой принцип, «который придает формулировкам граничных условий определенную гибкость и тем самым дает возможность расширить область применения теории упругости». В работе [Амензаде, 1976, с. 51-53, 56-57] принцип Сен-Венана рассматривается как «уравнения совместности в декартовой системе координат», которые позволяют «найти такое поле перемещений, для которого малая деформация «в декартовой системе координат … является тензором деформаций». В

118