связаны с изменением объема отдельных участков тела. Напротив, для продольных волн

divu ≠ 0 ; эти волны сопровождаются сжатиями и расширениями в теле. В монохроматической упругой волне вектор смещения имеет вид:

u = Re(u0 (r)e−iωt ) ,

(4.36)

где u0 - функция координат, ω - частота, Re – обозначает, что берется только реальная

часть от соотношения, стоящего в скобках, т.е. Re (a + ib) = a. При подстановке (4.36) в (4.31) или (4.34) получаем:

∆u + k 2 u	l	= 0 , ∆u		t	+ k2 u	t	= 0 ,	(4.37)
l l					t
где kl =ω / cl , kt = ω / ct			- волновые векторы продольной и поперечной волн.

Поверхностные упругие волны

Особым видом упругих волн являются волны, распространяющиеся вблизи поверхности среды и не проникающие в глубь нее – волны Рэлея, открытые в 1885-1887 гг. английским физиком Дж.У. Рэлеем (D.W. Rayleigh).

Поверхность упругой среды будем предполагать плоской и выберем ее в качестве плоскости xy; области среды пусть соответствует z < 0.

Напишем уравнение движения в виде (4.34):

	∂2 u	− c2	∆u	= 0 ,	(4.38)
	∂t2
где u - какая-либо из компонент векторов;					ul , ut , а с – соответствующая ей скорость cl

или ct .

Решение уравнения (4.38) будем искать для полупространства z < 0 при граничном условии на поверхности z = 0, отвечающем свободной поверхности, для которой должно

выполняться условие σik nk = 0 . Поскольку вектор нормали n направлен по оси z, то отсюда граничные условия можно переписать в виде:

σxz =σyz =σzz = 0 ,

(4.39)

откуда

uxx = 0 , uyz = 0 , σ(uxx +uyy ) + (1−σ)uzz = 0 .

(4.40)

Поскольку все величины не зависят от координаты y, то второе из условий (4.40) дает:

uy = 0 .

(4.41)

Таким образом, в поверхностной волне вектор деформации u лежит в плоскости, проведенной через направление распространения волны перпендикулярно к поверхности и частицы среды на поверхности z = 0 и под ней движутся по эллипсам в направлении, обратном направлению распространения волны.

112

Решение для смещения задачи (4.38) – (4.40) будем искать в виде:

u = el (kx−ωt ) f (z) .

(4.42)

Подставляя (4.42) в уравнение движения (4.38) с точностью до множителя А, определяемого условиями возбуждения волны, получим решение для смещения в виде:

u = Aei(kx−ωt )eχz ,

(4.43)

где скорость затухания смещения в волне с глубиной z определится соотношением:

	2	ω2
χ = (k		1/ 2	.	(4.44)
		− c2 )

Истинный вектор деформации u в поверхностной волне является суммой векторов ul и ut , компоненты каждого из которых удовлетворяют уравнению (4.38) со скоростью c = cl для ul и c = ct для ut . В случае объемных волн в неограниченной среде эти две

части представляют собой две независимо распространяющиеся волны. В случае же поверхностных волн из-за наличия граничных условий (4.39), (4.40) такое разделение на

две независимые части оказывается невозможным. Вектор смещения u должен быть

определенной линейной комбинацией векторов ul и ut . По поводу этих последних надо также отметить, что они отнюдь не имеют теперь смысла параллельных и перпендикулярных к направлению распространения волны компонент смещения.

Подставляя решение (4.43) в граничные условия для скорости поверхностной

волны cR получим выражение:
cR = ctξ ,					(4.45)
где ξ есть решение следующего уравнения:
ξ6 −8ξ4 +8ξ2 (3 − 2	c2	) −16(1−	c2	) = 0 .	(4.46)
	t		t
	c2		c2
	l		l

Уравнение (4.46) имеет единственное решение. Величина отношения ct cl в соответствии с (4.35) для различных веществ изменяется в пределах:

0,874 ≤ξ ≤ 0.995.

(4.47)

Итак, в соответствии с (4.35), (4.45) и (4.47) скорости упругих волн между собой соотносятся следующим образом:

cl > ct > cR ,

(4.48)

или, точнее:

0,866cl > ct =ξ1cR , 1,005 ≤ ξ1 ≤1,144 .

(4.49)

113

Отличительной особенностью поверхностных волн является, в соответствии с (4.42) – (4.44), практически полное (около 90%) сосредоточение связанной с волной энергии в приповерхностном слое толщиной порядка длины поверхностной волны

λR = cR /υ .

(4.50)

Поэтому поверхностные волны с большими частотами υ (с меньшими периодами) проникают на меньшую глубину (так называемый скин-эффект).

Кважной разновидности поверхностных волн относятся волны Лява,

существующие	в слоистой системе, состоящей из упругого полупространства
z > 0 , 0 ≤ x < ∞,	0 ≤ y < ∞ и слоя − h ≤ z ≤ 0 , расположенного над ним [Красильников,

Крылов, 1984, с. 204]. В такой слоистой системе могут существовать чисто сдвиговые поверхностные волны. В случае их распространения вдоль оси х, такие волны описываются следующими выражениями:

u	y	= Acos(s (h + z))ei(kx−ωt ) , − h < z < 0 ,				(4.51.1)
		1
uy		= Acos(s1h)e	(ikx−s2 z −ωt )	,	z > 0 ,	(4.51.2)

где А – постоянная, определяемая условиями возбуждения волны,

s	= (k2	− k2 )1/ 2 , s	2	= (k2	− k2	)1/ 2 , k	t1,2	=ω/ c	,	(4.52.1)
1	t1				t 2			t1,2

ct1 , ct 2 - скорости поперечных волн в слое и полупространстве соответственно, а волновое число k определяется из дисперсионного уравнения:

tg(s1h) = µ2s2 / µ1s1 .

(4.52.2)

При условии, соответствующему замедляющему слою:

ct1 < ct 2

(4.53)

уравнение (4.52.2) имеет действительные корни kn , лежащие в пределах kt 2 < kn < kt1 , т.е. фазовая скорость волн Лява cL больше скорости поперечных волн в слое, но меньше их скорости в полупространстве:

ct1 < cL < ct 2 .	(4.54)
Таким образом, в слоистой системе с ct1 < ct 2	уравнение (4.48), определяющее
соотношения между скоростями, перепишется в виде:
cl > ct1 > cL > ct 2 > cR .	(4.55)

Кроме волн Лява в слоистой среде вдоль границы слой-полупространство могут распространяться так называемые волны Стоунли, которые правильнее было бы называть

граничными волнами.

114