Wint = 2G∫abdV .

Выражение для энергии взаимодействия Wint получаем в виде [Викулин 2008а, б; Викулин, Иванчин, 1998]:

Wint	=	3	πρΩ2 R014	R024 l −3	cos φ ,	(11.27)
		2

или

W	=	45	W	R4		cosφ =	45	W	R4	cosφ ,	(11.27.1)
					02				01
		8			l3				R l3
int			01 R				8 02
				01					02

где R01 и R02 характерные размеры первого и второго блоков, l – расстояние между их центрами, φ - угол между их моментами сил, W01(02) = 12 I01(02)Ω2 - «собственные» энергии первого(01) ивторого(02) блоков, I01(02) - соответственноихмоментыинерции.

Момент силы Kint , обусловленный энергией взаимодействия, определяется путем дифференцированиявыражениядля Wint (11.27) поуглу φ :

K	int	= −	3 πρΩ2 R4		R4 l−3 sinφ .	(11.28)
			2	01	02

Момент Kint для обоих блоков имеет одно и то же значение, но для разных блоков

направлен в противоположные стороны. Момент силы (11.28) приложен со стороны упругого поля к поверхностикаждого из блоков и направлен таким образом, чтобы уменьшить величину энергии взаимодействия Wint до минимума. Такой процесс минимизации энергии

взаимодействия Wint в соответствии с соотношениями (11.27.1) равносилен минимизации «собственных» энергий и W01 и W02 , что может произойти только в результате землетрясения-

дуплета или пары землетрясений с очагами, расположенными в пределах обоих взаимодействующих блоков. Другими словами, в рамках предложенной модели двух блоков землетрясение – процесс выделения упругой энергии, является результатом моментного взаимодействияблоковмеждусобой.

Выше приведены данные о землетрясениях-дуплетах и парах землетрясений, которые показывают, что такие события являются не исключением, а, скорее, закономерностью сейсмического процесса. Другими словами, землетрясения-дуплеты и пары землетрясений можно считать доказательством возможности существования моментного взаимодействия.

Представляется, что только в рамках таких моментных представлений окажется возможным дать разумное объяснение тем многочисленным фактам вихревого и ротационного движения, которые приведены выше и о которых будет говориться в следующих главах настоящейкниги.

Дальнодействие. Будем полагать блоки равновеликими. Тогда из (11.23.2) и (11.27) получаем:

K	int	=	ΩR		R	3	sinφ		V
			0		0			≈	R	,	(11.29)
					l		sin β / 2
K			VS						VS

315

где VS = G / ρ и VR = ΩR0 - скорость поперечной упругой волны и центробежная скорость

соответственно. Из соотношения (11.29) видно, что инерционные моментные эффекты взаимодействия, связанные с поворотом блоков внутри вращающегося тела, становятся тем более существенными, чем с большей скоростью вращается тело и чем больше размер блока R0 илимагнитудаземлетрясения.

Отношение энергии взаимодействия Wint (11.27) к собственной энергии блока W (11.23.2) вслучаеравновеликихблоковопределяетсяравенством:

	W	=	45		R	3	cosφ	=δ .	(11.30)
	int				0
	W		32		l		sin2 β / 2

Откуда видно, что максимальное (cosφ =1) расстояние Λ, на котором энергия взаимодействия Wint будет по порядку величины близка собственной энергии W блока (δ =1) , определится из выражения:

Λ ≈ 2β−2 / 3R ≈ (102	÷103 )R ,	(11.31)
0	0

вкоторомзначениеуглаповоротаблокабылопринято β ≈10−4 рад.

Из полученного соотношения (11.31) видно, что упругие поля, создаваемые вокруг поворачивающихся внутри вращающегося тела блоков, распространяются на расстояния, протяженность которых на два – три порядка превышает размеры блоков, то есть такие ротационные упругие поля являются дальнодействующими. Другими словами, сейсмофокальный объем протягивающийся вдоль всей окраины Тихого океана можно считать совокупностью взаимодействующих между собой «элементарных» блоков с размерами R0 ≈100 км, представляющих собой очаги сильнейших землетрясений с М ≈ 8, в которых

периодическипроисходитвыделениеупругойэнергии.

Физически ясно, что только такое свойство сейсмического процесса, как его дальнодействие, может лежать в основе статистически обоснованных эффектов удаленных форшоковиафтершоков.

Уравнение движения однородной цепочки взаимодействующих блоков (на примере окраины Тихого океана). Рассмотрим одномерную (длина цепочки много больше ее ширины) цепочку поворачивающихся взаимодействующих блоков, расположенную внутри твердого тела, вращающегося с угловой скоростью Ω - аналог сейсмотектонического пояса планеты, например, сейсмофокальной зоны, протягивающейся вдоль окраины Тихого океана. Будем полагать, чтовсеблокиравновеликииимеютформушарарадиуса R0 .

Рассмотрим случай, когда все блоки в цепочке движутся равномерно. Тогда, в соответствии с полученными выше результатами, уравнение для движения блока в цепочке можнозаписатьввиде:

		I	d	2β	= K	1	+ K	2	,	(11.32)
			dt2
где β - как	и	прежде,		угол,			на	который		повернулся блок в результате подготовки
землетрясения,	I –	его момент инерции, K1								- «собственный» момент силы поля упругих

напряжений вокруг блока в результате его поворота, значение которого определяется из соотношения (11.23.1), K2 - момент силы, отвечающий за взаимодействие рассматриваемого блокасостальнымиблокамицепочки.

316

Из самых общих соображений ясно, что величина момента K2 должна быть пропорциональна как упругой энергии рассматриваемого блока, равной Vd 2β / dx2 , так и

упругой энергии, соответствующей всем остальным блокам цепочки. В качестве последней выбираем величину, равную средней линейной плотности упругой энергии цепочки блоков w.

Здесь V = 4 / 3πR03 - объем блока, х – координата вдоль цепочки. Таким образом, момент силы,

отвечающий за взаимодействие рассматриваемого блока с другими блоками цепочки, можно записатьввиде:

K2 =ςwVd 2β / dx2 ,

(11.33)

где ς - безразмерный коэффициент, характеризующий однородность цепочки. Для тихоокеанскогопояса, являющегосядостаточнооднородным, примем ς =1.

Окончательно уравнение движения (11.32) для блока с координатой х в момент времени t с учетом (11.23.1) и (11.33) в безразмерных координатах ξ = k0 x , η = c0k0t можно записать в

виде:

	∂2θ	−	∂2θ	= sinθ ,	(11.34)
	∂ξ2		∂η2
где θ = β / 2 . Волновое число			k0	и скорость	c0 , характеризующие цепочку блоков -

сейсмический процесс, протекающий в цепочке, соответственно определяются из следующих соотношений:

2	=	3πΩ	3V 4 / 3	ρG	,	(11.35)
k0				15
		wV	4π
c2	= wV / I .					(11.36)
0

Уравнение(11.34) известнокакуравнениесинус-Гордона(СГ).

Сильно нелинейные уравнения, в том числе СГ уравнение, в настоящее время достаточно широко используются при решении разного рода задач [Быков, 2000, 2005; Скотт, Чжу, Маклафлин, 1973; Проблемы…, 2003]. Отличительной особенностью полученного нами СГ уравнения является то обстоятельство, что определяемые нелинейными свойствами твердой геофизической среды постоянные k0 (11.35) и c0 (11.36) оказались зависимыми от

угловойскоростивращениятела(Земли).

Свойства решений. Полученное СГ уравнение (11.34), как и любое другое синусГордона уравнение, имеет много решений. Среди них в технических, физических и геофизических приложениях часто встречаются решения в виде локализованных (уединенных) волн – солитонов (soliton) [Быков, 2000, 2005]. В длинной цепочке блоков, когда можно не учитывать влияние ее концов (какими являются и сейсмические пояса планеты, в том числе и тихоокеанское кольцо), возможны решения, получившие название экситонов (exiton) [Давыдов, 1982].

Качественная зависимость энергии возбуждения Е от скорости распространения V для солитоной(sol, I) иэкситонов(ex, II) приведенанарис. 11.9.

317

Рис. 11.9. Волновые решения уравнения СГ: I - солитоны, II - экситоны, V0 – характерная скорость процесса как предельная скорость солитонного решения, E0 > 0 - минимальная энергия солитонноно возбуждения [Давыдов, 1982].

Зависимости для энергий возбуждения солитонов и экситонов, в соответствии с [Давыдов, 1982], удовлетворяютследующимусловиям:

E	sol	≈V n	, E	sol	≥ 0 , V	≤V ; E	ex	≈V p , V	>V ; n > p , (11.37)
		sol			sol	0		ex ex	0

где V0 - характернаяскоростьпроцесса, протекающеговцепочкевзаимодействующихблоков.

В квазилинейном приближении, когда процесс можно отобразить с помощью линеаризованного уравнения СГ, закон дисперсии для экситонных решений оказывается возможныманалитическизаписатьввиде:

ω2 =ω2	(1+ λ2	/ λ2 ) , λ = 2πc		/ω	0	,	(11.38)
0	0	0	0

где ω и λ - частота и длина волны экситона соответственно, ω0 - собственная частота поворотногодвиженияблока, λ0 - соответствующаяейдлинаволны.

Первой характерной особенностью закона дисперсии (11.38) является его связь с нелинейными свойствами цепочки блоков (геофизической среды, заполняющей сейсмофакальный объем и примыкающую к нему часть земной коры), а не с ее дискретной структурой.

Второй отличительной особенностью закона дисперсии (11.38) является то, что частота распространяющихся по цепочке блоков волн всегда выше ω0 . Физически очевидно, что

частота ω0 достигается прибольшойдлиневолны(впределе λ → ∞ ), когда всеблокицепочки

движутся как единое целое, без ее деформации. Этот случай нулевого экситонного состояния соответствует экстраполяции экситонной зависимости Eex (V ) в (11.37) в область значений

скорости Vex <V0 :

Vex = 0 , Eex = Emin = E0 > 0 .

(11.39)

Характерная скорость процесса. По аналогии с обычными упругими волнами (случай тектонического приближения [Николаевский, 1996]), считая длину волны экситона λ0 равной

размерусейсмофокальногоблока:

λ0 ≈ R0 , k0 ≈ 2π / R0 ,

(11.40)

для значения характерной скорости волнового процесса в цепочки взаимодействующих блоков c0 получаемследующеетеоретическоемодельноевыражение:

318