- •Классификация случайных событий. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности события, непосредственный подсчет вероятности. Примеры.
- •Свойства вероятности события:
- •Статистическое определение вероятности события и условия его применимости. Пример.
- •Несовместные и совместные события. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей (с доказательством).
- •Полная группа событий. Противоположные события. Соотношение между вероятностями противоположных событий (с выводом).
- •Зависимые и независимые события. Произведение событий. Понятие условной вероятности. Теорема умножения вероятностей (с доказательством).
- •Формулы полной вероятности и Байеса (с доказательством). Примеры.
- •Повторные независимые испытания. Формула Бернулли (с выводом). Примеры.
- •Локальная теорема Муавра-Лапласа, условия ее применимости. Свойства функции Дх). Пример.
- •Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применимости. Пример.
- •Интегральная теорема Муавра-Лапласа и условия ее применимости. Функция Лапласа ф(х) и ее свойства. Пример.
- •Следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа (с выводом). Примеры.
- •Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства (с выводом). Примеры.
- •Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства (с выводом). Примеры.
- •Функция распределения случайной величины, ее определение, свойства и график.
- •Непрерывная случайная величина (нов). Вероятность отдельно взятого значения нсв. Математическое ожидание и дисперсия нсв.
- •Плотность вероятности непрерывной случайной величины, ее определение, свойства и график.
- •Случайная величина, распределенная по биномиальному закону, ее математическое ожидание и дисперсия. Закон распределения Пуассона.
- •Математическое ожидание и дисперсия числа и частости наступлений события в п повторных независимых испытаниях (с выводом).
- •Определение нормального закона распределения. Теоретико-вероятностный смысл его параметров. Нормальная кривая и зависимость ее положения и формы от параметров.
- •Функция распределения нормально распределенной случайной величины и ее выражение через функцию Лапласа.
- •Формулы для определения вероятности: а) попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал; б) ее отклонения от математического ожидания. Правило «трехсигм».
- •Понятие двумерной (/7-мерной) случайной величины. Примеры. Таблица ее распределения. Одномерные распределения ее составляющих. Условные распределения и их нахождение по таблице распределения.
- •Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между екоррелированностью и независимостью случайных величин.
- •Понятие о двумерном нормальном законе распределения. Условные математические ожидания и дисперсии.
- •Неравенство Маркова (лемма Чебышева) (с выводом). Пример.
- •Неравенство Чебышева (с выводом) и его частные случаидля случайной величины, распределенной по биномиальному закону, и для частости события.
- •Теорема Чебышева (с доказательством), ее значение и следствие. Пример.
- •Закон больших чисел. Теорема Бернулли (с доказательством) и ее значение. Пример.
- •Неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин (с выводом).
- •Центральная предельная теорема. Понятие о теореме Ляпунова и ее значение. Пример.
- •Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифметическая и дисперсия ряда. Упрощенный способ их расчета.
- •Понятие об оценке параметров генеральной совокупности. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность.
- •Оценка генеральной доли по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность выборочной доли.
- •Оценка генеральной средней по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность выборочной средней.
- •Оценка генеральной дисперсии по собственно-случайной выборке. Смещенность и состоятельность выборочной дисперсии (без вывода). Исправленная выборочная дисперсия.
- •Понятие об интервальном оценивании. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Предельная ошибка выборки. Ошибки репрезентативности выборки (случайные и систематические).
- •Формула доверительной вероятности при оценке генеральной средней. Средняя квадратическая ошибка повторной и бесповторной выборок и построение доверительного интервала для генеральной средней.
- •Определение необходимого объема повторной и бесповторной выборок при оценке генеральной средней и доли.
- •Статистическая гипотеза и статистический критерий. Ошибки 1-го и 2-го рода. Уровень значимости и мощность критерия. Принцип практической уверенности.
- •Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Понятие о критериях согласия.
- •Критерий согласия х2-Пирсона и схема его применения.
- •Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Различия между ними. Основные задачи теории корреляции.
- •Линейная парная регрессия. Система нормальных уравнений для определения параметров прямых регрессии. Выборочная ковариация. Формулы для расчета коэффициентов регрессии.
- •Упрощенный способ:
- •Оценка тесноты связи. Коэффициент корреляции (выборочный), его свойства и оценка достоверности.
Классификация случайных событий. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности события, непосредственный подсчет вероятности. Примеры.
Результат, исход испытания называется событием. Событиями являются: выпадение герба или цифры, попадание в цель или промах, появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости. Для обозначения событий используются большие буквы латинского алфавита: А, В, С и т.д.
Если при каждом испытании, при котором происходит событие А, происходит и событие В, то говорят, что А влечет за собой событие В (входит в В, является частным случаем, вариантом В) или В включает событие А, и обозначают АВ.
Два события называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.
2 события называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.
Несовместимость более чем двух событий в данном испытании означает их попарную несовместимость.
Два события А и В называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит. Событие, противоположное событию А, обозначают .
Событие называется достоверным (обозначаем Ω), если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти. Событие называется невозможным (обозначаем Ø), если в результате испытания оно вообще не может произойти.
Событие А называется случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.
Алгебра событий.
Суммой событий А и В называется событие С = А + В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В.
Аналогично суммой конечного числа событий А1, А2, ..., Аk называется событие А = А1+А2 + ... + Аk, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий Аi, (i = 1, ..., k).
Из определения следует, что А + В = В + А. Справедливо также и сочетательное свойство. Однако А + А = А (а не 2А).
Произведением событий А и В называется событие С = АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошли и событие А, и событие В.
Аналогично произведением конечного числа событий А1, А2, ..., Аk называется событие А = А1А2…Аk, состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.
Из определения непосредственно следует, что АВ = ВА. Справедливы также сочетательный и дистрибутивный законы. Однако АА = А (а не А2).
Говорят, что совокупность событий образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится хотя бы одно из них.
Рассмотрим полную группу попарно несовместимых событий А1, А2, ..., Аn, связанную с некоторым испытанием. Предположим, что в этом испытании осуществление каждого из событий Аi, (i = 1, 2, …, k) равновозможно, т. е. условия испытания не создают преимуществ в появлении какого-либо события перед другими возможными.
События А1, А2, ..., Аn, образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий, называют элементарными событиями (ω).
Событие А называется благоприятствующим событию В, если наступление события А влечет за собой наступление события В.
Классическое определение вероятности. Вероятностью Р(А) события А называется отношение m/n числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т.е.
Р(А) = m/n.