- •Классификация случайных событий. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности события, непосредственный подсчет вероятности. Примеры.
- •Свойства вероятности события:
- •Статистическое определение вероятности события и условия его применимости. Пример.
- •Несовместные и совместные события. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей (с доказательством).
- •Полная группа событий. Противоположные события. Соотношение между вероятностями противоположных событий (с выводом).
- •Зависимые и независимые события. Произведение событий. Понятие условной вероятности. Теорема умножения вероятностей (с доказательством).
- •Формулы полной вероятности и Байеса (с доказательством). Примеры.
- •Повторные независимые испытания. Формула Бернулли (с выводом). Примеры.
- •Локальная теорема Муавра-Лапласа, условия ее применимости. Свойства функции Дх). Пример.
- •Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применимости. Пример.
- •Интегральная теорема Муавра-Лапласа и условия ее применимости. Функция Лапласа ф(х) и ее свойства. Пример.
- •Следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа (с выводом). Примеры.
- •Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства (с выводом). Примеры.
- •Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства (с выводом). Примеры.
- •Функция распределения случайной величины, ее определение, свойства и график.
- •Непрерывная случайная величина (нов). Вероятность отдельно взятого значения нсв. Математическое ожидание и дисперсия нсв.
- •Плотность вероятности непрерывной случайной величины, ее определение, свойства и график.
- •Случайная величина, распределенная по биномиальному закону, ее математическое ожидание и дисперсия. Закон распределения Пуассона.
- •Математическое ожидание и дисперсия числа и частости наступлений события в п повторных независимых испытаниях (с выводом).
- •Определение нормального закона распределения. Теоретико-вероятностный смысл его параметров. Нормальная кривая и зависимость ее положения и формы от параметров.
- •Функция распределения нормально распределенной случайной величины и ее выражение через функцию Лапласа.
- •Формулы для определения вероятности: а) попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал; б) ее отклонения от математического ожидания. Правило «трехсигм».
- •Понятие двумерной (/7-мерной) случайной величины. Примеры. Таблица ее распределения. Одномерные распределения ее составляющих. Условные распределения и их нахождение по таблице распределения.
- •Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между екоррелированностью и независимостью случайных величин.
- •Понятие о двумерном нормальном законе распределения. Условные математические ожидания и дисперсии.
- •Неравенство Маркова (лемма Чебышева) (с выводом). Пример.
- •Неравенство Чебышева (с выводом) и его частные случаидля случайной величины, распределенной по биномиальному закону, и для частости события.
- •Теорема Чебышева (с доказательством), ее значение и следствие. Пример.
- •Закон больших чисел. Теорема Бернулли (с доказательством) и ее значение. Пример.
- •Неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин (с выводом).
- •Центральная предельная теорема. Понятие о теореме Ляпунова и ее значение. Пример.
- •Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифметическая и дисперсия ряда. Упрощенный способ их расчета.
- •Понятие об оценке параметров генеральной совокупности. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность.
- •Оценка генеральной доли по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность выборочной доли.
- •Оценка генеральной средней по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность выборочной средней.
- •Оценка генеральной дисперсии по собственно-случайной выборке. Смещенность и состоятельность выборочной дисперсии (без вывода). Исправленная выборочная дисперсия.
- •Понятие об интервальном оценивании. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Предельная ошибка выборки. Ошибки репрезентативности выборки (случайные и систематические).
- •Формула доверительной вероятности при оценке генеральной средней. Средняя квадратическая ошибка повторной и бесповторной выборок и построение доверительного интервала для генеральной средней.
- •Определение необходимого объема повторной и бесповторной выборок при оценке генеральной средней и доли.
- •Статистическая гипотеза и статистический критерий. Ошибки 1-го и 2-го рода. Уровень значимости и мощность критерия. Принцип практической уверенности.
- •Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Понятие о критериях согласия.
- •Критерий согласия х2-Пирсона и схема его применения.
- •Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Различия между ними. Основные задачи теории корреляции.
- •Линейная парная регрессия. Система нормальных уравнений для определения параметров прямых регрессии. Выборочная ковариация. Формулы для расчета коэффициентов регрессии.
- •Упрощенный способ:
- •Оценка тесноты связи. Коэффициент корреляции (выборочный), его свойства и оценка достоверности.
Оценка генеральной доли по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность выборочной доли.
Пусть генеральная совок-ть содержит N элементов, из к-ых М обладает нек-ым признаком А. Следует найти «наилучшую» оценку генеральной доли . Рассмотрим в качестве такой возможной оценки параметра р его статистический аналог - выборочную долю.
а) Выборка повторная.
Выборочную долю можно представить как среднюю арифметическую n альтернативных случайных величин, т.е., где каждая СВ(k=1,2,…,n) выражает число появлений признака в k-м элементе выборки (т.е. при наличии признака , при его отсутствии) и имеет один и тот же закон распределения:
Случайные величины независимы.
Теорема. Выборочная доля повторной выборки есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной долипричем ее дисперсия:, Гдеq = 1 – p.
☺ Докажем вначале несмещенность оценки w.
Матем-кое ожидание и дисперсия частости события в n независимых испытаниях, в каждом из к-рых оно может наступить с одной и той же вероятностью р, равны соответственно
, .
Т.к. вер-ть того, что любой отобранный в выборку элемент обладает признаком А, есть генеральная доля р, то из 1 равенства вытекает, что частость или выборочная доля w есть несмещенная оценка генеральной доли р.
Осталось доказать состоятельность оценки , к-ая следует из теоремы Бернулли:, или. ☻
б) Выборка бесповторная.
В случае бесповторной выборки СВ будут зависимыми.
Теорема. Выборочная доля бесповторной выборки есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной доли, причем ее дисперсия:
.
☺ Очевидно, что и для бесповторной выборки , т.е. w - несмещенная оценка для генеральной доли. Это связано с тем, что мат-кое ожидание суммы любых случайных величин равно сумме их мат-ких ожиданий (в том числе суммы зависимых случайных величин, каковой является выборочная доля w бесповторной выборки).
Найдем дисперсию выборочной доли для бесповторной выборки:
,
При выводе формулы использовали то, что СВ Х = m в случае бесповтoрной выборки имеет гипергеометрическое распределение, и ее дисперсия определяется по формуле .
Оценка генеральной средней по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность выборочной средней.
Пусть из генеральной совокупности объема N отобрана случайная выборка , где Xk - СВ, выражающая значение признака у k-гo элемента выборки (k=1,2, ...,n). Следует найти «наилучшую» оценку для генеральной средней.
Рассмотрим в качестве такой возможной оценки выборочнyю среднюю х, т.е. .
а) Выборка повторная.
Закон распределения для каждой случайной величины (k=1,2,...,n) имеет вид:
Случайные величинынезависимы, т.к. независимы любые события(k=1,2,...n; i=1,2,...,m) и их комбинации.
Найдем числовые характеристики СВ :
, (1)
. (2)
т.е. мат-кое ожидание и дисперсия каждой СВ - это соот-но генеральная средняя и генеральная дисперсия.
Теорема. Выборочная средняя повторной выборки есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной среднейпричем.
□ Докажем вначале несмещенность оценки. Найдем мат-кое ожидание выборочной средней , учитывая (2) и то, что- независимые случайные величины:
.
Осталось доказать состоятельность оценки , которая следует непосредственно из теоремы Чебышева:или
б) Выборка бесповторная
В этом случае случайные величины будут зависимыми.
Теорема. Выборочная средняя бесповторной выборки есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной средней, причем
.