- •Классификация случайных событий. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности события, непосредственный подсчет вероятности. Примеры.
- •Свойства вероятности события:
- •Статистическое определение вероятности события и условия его применимости. Пример.
- •Несовместные и совместные события. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей (с доказательством).
- •Полная группа событий. Противоположные события. Соотношение между вероятностями противоположных событий (с выводом).
- •Зависимые и независимые события. Произведение событий. Понятие условной вероятности. Теорема умножения вероятностей (с доказательством).
- •Формулы полной вероятности и Байеса (с доказательством). Примеры.
- •Повторные независимые испытания. Формула Бернулли (с выводом). Примеры.
- •Локальная теорема Муавра-Лапласа, условия ее применимости. Свойства функции Дх). Пример.
- •Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применимости. Пример.
- •Интегральная теорема Муавра-Лапласа и условия ее применимости. Функция Лапласа ф(х) и ее свойства. Пример.
- •Следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа (с выводом). Примеры.
- •Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства (с выводом). Примеры.
- •Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства (с выводом). Примеры.
- •Функция распределения случайной величины, ее определение, свойства и график.
- •Непрерывная случайная величина (нов). Вероятность отдельно взятого значения нсв. Математическое ожидание и дисперсия нсв.
- •Плотность вероятности непрерывной случайной величины, ее определение, свойства и график.
- •Случайная величина, распределенная по биномиальному закону, ее математическое ожидание и дисперсия. Закон распределения Пуассона.
- •Математическое ожидание и дисперсия числа и частости наступлений события в п повторных независимых испытаниях (с выводом).
- •Определение нормального закона распределения. Теоретико-вероятностный смысл его параметров. Нормальная кривая и зависимость ее положения и формы от параметров.
- •Функция распределения нормально распределенной случайной величины и ее выражение через функцию Лапласа.
- •Формулы для определения вероятности: а) попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал; б) ее отклонения от математического ожидания. Правило «трехсигм».
- •Понятие двумерной (/7-мерной) случайной величины. Примеры. Таблица ее распределения. Одномерные распределения ее составляющих. Условные распределения и их нахождение по таблице распределения.
- •Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между екоррелированностью и независимостью случайных величин.
- •Понятие о двумерном нормальном законе распределения. Условные математические ожидания и дисперсии.
- •Неравенство Маркова (лемма Чебышева) (с выводом). Пример.
- •Неравенство Чебышева (с выводом) и его частные случаидля случайной величины, распределенной по биномиальному закону, и для частости события.
- •Теорема Чебышева (с доказательством), ее значение и следствие. Пример.
- •Закон больших чисел. Теорема Бернулли (с доказательством) и ее значение. Пример.
- •Неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин (с выводом).
- •Центральная предельная теорема. Понятие о теореме Ляпунова и ее значение. Пример.
- •Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифметическая и дисперсия ряда. Упрощенный способ их расчета.
- •Понятие об оценке параметров генеральной совокупности. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность.
- •Оценка генеральной доли по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность выборочной доли.
- •Оценка генеральной средней по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность выборочной средней.
- •Оценка генеральной дисперсии по собственно-случайной выборке. Смещенность и состоятельность выборочной дисперсии (без вывода). Исправленная выборочная дисперсия.
- •Понятие об интервальном оценивании. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Предельная ошибка выборки. Ошибки репрезентативности выборки (случайные и систематические).
- •Формула доверительной вероятности при оценке генеральной средней. Средняя квадратическая ошибка повторной и бесповторной выборок и построение доверительного интервала для генеральной средней.
- •Определение необходимого объема повторной и бесповторной выборок при оценке генеральной средней и доли.
- •Статистическая гипотеза и статистический критерий. Ошибки 1-го и 2-го рода. Уровень значимости и мощность критерия. Принцип практической уверенности.
- •Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Понятие о критериях согласия.
- •Критерий согласия х2-Пирсона и схема его применения.
- •Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Различия между ними. Основные задачи теории корреляции.
- •Линейная парная регрессия. Система нормальных уравнений для определения параметров прямых регрессии. Выборочная ковариация. Формулы для расчета коэффициентов регрессии.
- •Упрощенный способ:
- •Оценка тесноты связи. Коэффициент корреляции (выборочный), его свойства и оценка достоверности.
Формула доверительной вероятности при оценке генеральной доли признака. Средняя квадратическая ошибка повторной и бесповторной выборок и построение доверительного интервала для генеральной доли признака.
Формула доверительной вероятности при оценке генеральной средней. Средняя квадратическая ошибка повторной и бесповторной выборок и построение доверительного интервала для генеральной средней.
Построение доверительного интервала для гeнеральной средней и гeнеральной доли по большим выборкам. Для построения доверительных интервалов для параметров генеральных совокупностей м.б. реализованы 2 подхода, основанных на знании точного (при данном объеме выборки n) или асимптотического (при n → ∞) распределения выборочных характеристик (или некоторых функций от них). Первый подход реализован далее при построении интервальных оценок параметров для малых выборок. В данном параграфе рассматривается второй подход, применимый для больших выборок (порядка сотен наблюдений).
Теорема. Вер-ть того, что отклонение выборочной средней (или доли) от генеральной средней (или доли) не превзойдет число Δ > 0 (по абсолютной величине), равна:
Где |
, Где . |
Ф(t) - функция (интеграл вероятностей) Лапласа.
Формулы получили название формул доверительной вер-ти для средней и доли.
Среднее квадратическое отклонение выборочной средней и выборочной долисобственно-случайной выборки называетсясредней квадратической (стандартной) ошибкой выборки (для бесповторной выборки обозначаем соответственно и).
Следствие 1. При заданной доверительной вер-ти γ предельная ошибка выборки равна t-кратной величине средней квадратической ошибки, где Ф(t) = γ, т.е.
,
.
Следствие 2. Интервальные оценки (доверительные интервалы) для генеральной средней и генеральной доли могут быть найдены по формулам:
,
.
Определение необходимого объема повторной и бесповторной выборок при оценке генеральной средней и доли.
Для проведения выборочного наблюдения весьма важно правильно установить объем выборки n, к-ый в значительной степени определяет необходимые при этом временные, трудовые и стоимостные затраты для определения n необходимо задать надежность (доверительную вер-ть) оценки γ и точность (предельную ошибку выборки) Δ.
Если найден объем повторной выборки n, то объем соответствующей бесповторной выборки n' можно определить по формуле:
.
Т.к. , то при одних и тех же точности и надежности оценок объем бесповторной выборки n' всегда меньше объема повторной выборки n.
Статистическая гипотеза и статистический критерий. Ошибки 1-го и 2-го рода. Уровень значимости и мощность критерия. Принцип практической уверенности.
Определение. Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения.
Различают простую и сложную статистические гипотезы. Простая гипотеза, в отличие от сложной, полностью определяет теоретическую функцию распределения СВ.
Проверяемую гипотезу обычно называют нулевой (или основной) и обозначают Н0. Наряду с нулевой гипотезой рассматривают альтернативную, или конкурирующую, гипотезу H1, являющуюся логическим отрицанием Н0. Нулевая и альтернативная гипотезы представляют собой 2 возможности выбора, осуществляемого в задачах проверки статистических гипотез.
Суть проверки статистической гипотезы заключается в том, что используется специально составленная выборочная характеристика (статистика) , полученная по выборке, точное или приближенное распределение которой известно.
Затем по этому выборочному распределению определяется критическое значение - такое, что если гипотеза Н0 верна, то вер-ть мала; так что в соответствии с принципом практической уверенности в условиях данного исследования событиеможно (с некоторым риском) считать практически невозможным. Поэтому, если в данном конкретном случае обнаруживается отклонение, то гипотеза Н0 отвергается, в то время как появление значения , считается совместимым с гипотезой Н0, которая тогда принимается (точнее, не отвергается). Правило, по которому гипотеза Н0 отвергается или принимается, называется статистическим критерием или статистическим тестом.
Принцип практической уверенности:
Если вер-ть события А в данном испытании очень мала, то при однократном выполнении испытания можно быть уверенным в том, что событие А не произойдет, и в практической д-ти вести себя так, как будто событие А вообще невозможно.
Т.о., множество возможных значений статистики - критерия (критической статистики) разбивается на 2 непересекающихся подмножества:критическую область (область отклонения гипотезы) W и область допустимых значений (область принятия гипотезы) . Если фактически наблюдаемое значение статистики критерияпопадает в критическую область W, то гипотезу Н0 отвергают. При этом возможны четыре случая:
Определение. Вероятность α допустить ошибку l-го рода, т.е. отвергнуть гипотезу Н0, когда она верна, называется уровнем значимости, или размером критерия.
Вероятность допустить ошибку 2-го рода, т.е. принять гипотезу Н0, когда она неверна, обычно обозначают β.
Определение. Вероятность (1-β) не допустить ошибку 2-го рода, т.е. отвергнуть гипотезу Н0, когда она неверна, называется мощностью (или функцией мощности) критерия.
Следует предпочесть ту критическую область, при которой мощность критерия будет наибольшей.