- •Классификация случайных событий. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности события, непосредственный подсчет вероятности. Примеры.
- •Свойства вероятности события:
- •Статистическое определение вероятности события и условия его применимости. Пример.
- •Несовместные и совместные события. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей (с доказательством).
- •Полная группа событий. Противоположные события. Соотношение между вероятностями противоположных событий (с выводом).
- •Зависимые и независимые события. Произведение событий. Понятие условной вероятности. Теорема умножения вероятностей (с доказательством).
- •Формулы полной вероятности и Байеса (с доказательством). Примеры.
- •Повторные независимые испытания. Формула Бернулли (с выводом). Примеры.
- •Локальная теорема Муавра-Лапласа, условия ее применимости. Свойства функции Дх). Пример.
- •Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применимости. Пример.
- •Интегральная теорема Муавра-Лапласа и условия ее применимости. Функция Лапласа ф(х) и ее свойства. Пример.
- •Следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа (с выводом). Примеры.
- •Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства (с выводом). Примеры.
- •Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства (с выводом). Примеры.
- •Функция распределения случайной величины, ее определение, свойства и график.
- •Непрерывная случайная величина (нов). Вероятность отдельно взятого значения нсв. Математическое ожидание и дисперсия нсв.
- •Плотность вероятности непрерывной случайной величины, ее определение, свойства и график.
- •Случайная величина, распределенная по биномиальному закону, ее математическое ожидание и дисперсия. Закон распределения Пуассона.
- •Математическое ожидание и дисперсия числа и частости наступлений события в п повторных независимых испытаниях (с выводом).
- •Определение нормального закона распределения. Теоретико-вероятностный смысл его параметров. Нормальная кривая и зависимость ее положения и формы от параметров.
- •Функция распределения нормально распределенной случайной величины и ее выражение через функцию Лапласа.
- •Формулы для определения вероятности: а) попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал; б) ее отклонения от математического ожидания. Правило «трехсигм».
- •Понятие двумерной (/7-мерной) случайной величины. Примеры. Таблица ее распределения. Одномерные распределения ее составляющих. Условные распределения и их нахождение по таблице распределения.
- •Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между екоррелированностью и независимостью случайных величин.
- •Понятие о двумерном нормальном законе распределения. Условные математические ожидания и дисперсии.
- •Неравенство Маркова (лемма Чебышева) (с выводом). Пример.
- •Неравенство Чебышева (с выводом) и его частные случаидля случайной величины, распределенной по биномиальному закону, и для частости события.
- •Теорема Чебышева (с доказательством), ее значение и следствие. Пример.
- •Закон больших чисел. Теорема Бернулли (с доказательством) и ее значение. Пример.
- •Неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин (с выводом).
- •Центральная предельная теорема. Понятие о теореме Ляпунова и ее значение. Пример.
- •Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифметическая и дисперсия ряда. Упрощенный способ их расчета.
- •Понятие об оценке параметров генеральной совокупности. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность.
- •Оценка генеральной доли по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность выборочной доли.
- •Оценка генеральной средней по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность выборочной средней.
- •Оценка генеральной дисперсии по собственно-случайной выборке. Смещенность и состоятельность выборочной дисперсии (без вывода). Исправленная выборочная дисперсия.
- •Понятие об интервальном оценивании. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Предельная ошибка выборки. Ошибки репрезентативности выборки (случайные и систематические).
- •Формула доверительной вероятности при оценке генеральной средней. Средняя квадратическая ошибка повторной и бесповторной выборок и построение доверительного интервала для генеральной средней.
- •Определение необходимого объема повторной и бесповторной выборок при оценке генеральной средней и доли.
- •Статистическая гипотеза и статистический критерий. Ошибки 1-го и 2-го рода. Уровень значимости и мощность критерия. Принцип практической уверенности.
- •Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Понятие о критериях согласия.
- •Критерий согласия х2-Пирсона и схема его применения.
- •Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Различия между ними. Основные задачи теории корреляции.
- •Линейная парная регрессия. Система нормальных уравнений для определения параметров прямых регрессии. Выборочная ковариация. Формулы для расчета коэффициентов регрессии.
- •Упрощенный способ:
- •Оценка тесноты связи. Коэффициент корреляции (выборочный), его свойства и оценка достоверности.
Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Понятие о критериях согласия.
Одной из важнейших задач матем-кой статистики является установление теоретического закона распределения случайной величины, характеризующей изучаемый признак по опытному (эмпирическому) распределению, представляющему вариационный ряд.
Для решения этой задачи необходимо определить вид и параметры закона распределения.
Предположение о виде закона распределения м.б. выдвинуто исходя из теоретических предпосылок, опыта аналогичных предшествующих исследований и, наконец, на основании графического изображения эмпирического распределения.
Параметры распределения, как правило, неизвестны, поэтому их заменяют наилучшими оценками по выборке.
Критерии согласия отвечают на вопрос: объясняются ли расхождения между эмпирическим и теоретическим распределениями только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, что теоретический закон распределения подобран неудачно.
Пусть необходимо проверить нулевую гипотезу Н0 о том, что исследуемая СВ Х подчиняется определенному закону распределения. Для проверки гипотезы Н0 выбирают некоторую СВ U, характеризующую степень расхождения теоретического и эмпирического распределений, закон распределения которой при достаточно больших n известен и практически не зависит от закона распределения СВ Х.
Зная закон распределения U, можно найти вероятность того, что U приняла значение не меньше, чем фактически наблюдаемое в опыте u, т.е. U ≥ u.
Если Р(U ≥ u) = α мала, то это означает в соответствии с принципом практической уверенности, что такие, как в опыте, и большие отклонения практически невозможны. В этом случае гипотезу Н0 отвергают.
Если же вероятность Р(U ≥ u) = α не мала, расхождение между эмпирическим и теоретическим распределениями несущественно и гипотезу Н0 можно считать правдоподобной или по крайней мере не противоречащей опытным данным.
Критерий согласия х2-Пирсона и схема его применения.
Критерии - Пирсона в качестве меры расхождения U берется величина, равная сумме квадратов отклонений частостей (статистических вер-тей)от гипотетических, рассчитанных по предполагаемому распределению, взятых с некоторыми весами:
.
Веса вводятся т.о., чтобы при одних и тех же отклоненияхбольший вес имели отклонения, при которыхмала, и меньший вес - при которыхвелика. Очевидно, этого удается достичь, если взятьобратно пропорциональными вер-тям. Взяв в качестве весов, можно доказать, что при n → ∞ статистика.
, или .
имеет -распределение сk = m - r - 1 степенями свободы, где m - число интервалов эмпирического распределения (вариационного ряда); r - число параметров теоретического распределения, вычисленных по экспериментальным данным.
Числа иназываются соответственноэмпирическими и теоретическими частотами.
Схема применения критерия для проверки гипотезы Н0 сводится к следующему:
Определяется мера расхождения эмпирических и теоретических частот по
Для выбранного уровня значимости α по таблице -распределения находят критическое значениепри числе степеней свободы k =m - r - 1.
Если фактически наблюдаемое значение больше критического, т.е.то гипотеза Н0 отвергается, если гипотеза Н0 не противоречит опытным данным.
3амечание. Статистика имеет-распределение лишь при n → ∞, поэтому необходимо, чтобы в каждом интервале было достаточное количество наблюдений, по крайней мере 5 наблюдений. Если в каком-нибудь интервале число наблюдений ni< 5, имеет смысл объединить соседние интервалы, чтобы в объединенных интервалах было не меньше 5.