10. Неравенство Маркова (лемма Чебышева) (с выводом). При­мер.

Теорема. Если СВ Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного числа А верно неравенство:

☺ Доказательство проведем для дискретной СВ Х. Расположим ее значения в порядке возрастания, из которых часть значений будут не более числа А, а другая часть -будут больше А, т.е.

(рис. 6.1) .

Запишем выражение для математического ожидания М(Х): ,

где - вероятности того, что СВ Х примет значения соответственно.

Отбрасывая первые k неотрицательных слагаемых (напомним, что все ), получим:.

Заменяя в неравенстве значения меньшим числом А, получим более сильное неравенство:или.

Cумма вероятностей в левой части полученного неравенства представляет собой сумму вероятностей событий , т.е. вероятность события Х>А. Поэтому.☻

Т.к. события Х > А и Х ≤ А противоположные, то заменяя Р(Х > А) выражением 1 - Р(Х ≤ А), придем к другой форме неравенства Маркова:

.

Неравенство Маркова применимо к любым неотрицательным случайным величинам.

Пример. Среднее количество вызовов, поступающих на коммутатор завода в течение часа, равно 300. Оценить вероятность того, что в течение следующего часа число вызовов на коммутатор: а) превысит 400; б) будет не более 500.

Решение. а) По условию М(Х) = 300. По формуле :т.е. вероятность того, что число вызовов превысит 400, будетне более 0,75.

б) По формуле :т.е. вероятность того, что число вызовов не более 500, будетне менее 0,4.

10. Неравенство Чебышева (с выводом) и его частные случаидля случайной величины, распределенной по биномиальному за­кону, и для частости события.

Теорема. Для любой случайной величины, имеющей математическое ожидание и дисперсию, справедливо неравенство Чебышева: ,

где а = М(Х), е > 0.

☺ Применим неравенство Маркова в форме к случайной величине, взяв в качестве положительного числа. Получим:.

Т.к. неравенство равносильно неравенству, аесть дисперсия случайной величины Х, то из неравенства получаем доказываемое неравенство. ☻

Учитывая, что события ипротивоположны, неравенство Чебышева можно записать и в другой форме: .

Неравенство Чебышева применимо для любых случайных величин. В форме оно устанавливаетверхнюю границу, а в форме -нижнюю границу вероятности рассматриваемого события.

Запишем неравенство Чебышева в форме для некоторых случайных величин:

а) для СВ Х = m, имеющей биноминальный закон распределения с математическим ожиданием а = М(Х) = nр и дисперсией D(X) = npq: .

б) для частости события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностьюи имеющей дисперсию: .

3амечание. Если М(Х) > А или , то правые части неравенств Маркова и Чебышева в форме соответственноибудутотрицательными а в форме ибудутбольше 1.

Это означает, что применение указанных неравенств в этих случаях приведет к тривиальному результату: вероятность события больше отрицательного числа либо меньше числа, превосходящего 1.

30. Теорема Чебышева (с доказательством), ее значение и след­ствие. Пример.

Теорема. Если дисперсии n независимых случайных величин ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа n средняя арифметическая случайных величин сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий, т.е.

Или

☺ По условию ,, где С - постоянное число.

Получим неравенство Чебышева в форме для средней арифметической случайных величин, т.е. для.

Найдем математическое ожидание М(Х) и оценку дисперсии D(Х):

;

.

(Здесь использованы свойства математического ожидания и дисперсии и, в частности, то, что случайные величины независимы, а следовательно, дисперсия их суммы равна сумме дисперсий.)

Запишем неравенство для случайной величины:

.

Т.к. по доказанному , то,

Следовательно .

в пределе при n → ∞ величина стремится к нулю, и получим доказываемую формулу. ☻

Подчеркнем смысл теоремы Чебышева. При большом числе n случайных величин практически достоверно, что их средняя величина случайная, как угодно мало отличается от неслучайной величины, т.е. практически перестает быть случайной.

Следствие. Если независимые случайные величины имеют одинаковые математические ожидания, равные а, а их дисперсии ограничены одной и той же постоянной, то:

,

Или

Теорема Чебышева и ее следствие имеют большое практическое значение. Например, страховой компании необходимо установить размер страхового взноса, который должен уплачивать страхователь; при этом страховая компания обязуется выплатить при наступлении страхового случая определенную страховую сумму. Рассматривая частоту/убытки страхователя при наступлении страхового случая как величину случайную и обладая известной статистикой таких случаев, можно определить среднее число/средние убытки при наступлении страховых случаев, которое на основании теоремы Чебышева с большой степенью уверенности можно считать величиной почти не случайной. Тогда на основании этих данных и предполагаемой страховой суммы определяется размер страхового взноса. Без учета действия закона больших чисел (теоремы Чебышева) возможны существенные убытки страховой компании (при занижении размера страхового взноса), либо потеря привлекательности страховых услуг (при завышении размера взноса).