- •Классификация случайных событий. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности события, непосредственный подсчет вероятности. Примеры.
- •Свойства вероятности события:
- •Статистическое определение вероятности события и условия его применимости. Пример.
- •Несовместные и совместные события. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей (с доказательством).
- •Полная группа событий. Противоположные события. Соотношение между вероятностями противоположных событий (с выводом).
- •Зависимые и независимые события. Произведение событий. Понятие условной вероятности. Теорема умножения вероятностей (с доказательством).
- •Формулы полной вероятности и Байеса (с доказательством). Примеры.
- •Повторные независимые испытания. Формула Бернулли (с выводом). Примеры.
- •Локальная теорема Муавра-Лапласа, условия ее применимости. Свойства функции Дх). Пример.
- •Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применимости. Пример.
- •Интегральная теорема Муавра-Лапласа и условия ее применимости. Функция Лапласа ф(х) и ее свойства. Пример.
- •Следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа (с выводом). Примеры.
- •Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства (с выводом). Примеры.
- •Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства (с выводом). Примеры.
- •Функция распределения случайной величины, ее определение, свойства и график.
- •Непрерывная случайная величина (нов). Вероятность отдельно взятого значения нсв. Математическое ожидание и дисперсия нсв.
- •Плотность вероятности непрерывной случайной величины, ее определение, свойства и график.
- •Случайная величина, распределенная по биномиальному закону, ее математическое ожидание и дисперсия. Закон распределения Пуассона.
- •Математическое ожидание и дисперсия числа и частости наступлений события в п повторных независимых испытаниях (с выводом).
- •Определение нормального закона распределения. Теоретико-вероятностный смысл его параметров. Нормальная кривая и зависимость ее положения и формы от параметров.
- •Функция распределения нормально распределенной случайной величины и ее выражение через функцию Лапласа.
- •Формулы для определения вероятности: а) попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал; б) ее отклонения от математического ожидания. Правило «трехсигм».
- •Понятие двумерной (/7-мерной) случайной величины. Примеры. Таблица ее распределения. Одномерные распределения ее составляющих. Условные распределения и их нахождение по таблице распределения.
- •Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между екоррелированностью и независимостью случайных величин.
- •Понятие о двумерном нормальном законе распределения. Условные математические ожидания и дисперсии.
- •Неравенство Маркова (лемма Чебышева) (с выводом). Пример.
- •Неравенство Чебышева (с выводом) и его частные случаидля случайной величины, распределенной по биномиальному закону, и для частости события.
- •Теорема Чебышева (с доказательством), ее значение и следствие. Пример.
- •Закон больших чисел. Теорема Бернулли (с доказательством) и ее значение. Пример.
- •Неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин (с выводом).
- •Центральная предельная теорема. Понятие о теореме Ляпунова и ее значение. Пример.
- •Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифметическая и дисперсия ряда. Упрощенный способ их расчета.
- •Понятие об оценке параметров генеральной совокупности. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность.
- •Оценка генеральной доли по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность выборочной доли.
- •Оценка генеральной средней по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность выборочной средней.
- •Оценка генеральной дисперсии по собственно-случайной выборке. Смещенность и состоятельность выборочной дисперсии (без вывода). Исправленная выборочная дисперсия.
- •Понятие об интервальном оценивании. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Предельная ошибка выборки. Ошибки репрезентативности выборки (случайные и систематические).
- •Формула доверительной вероятности при оценке генеральной средней. Средняя квадратическая ошибка повторной и бесповторной выборок и построение доверительного интервала для генеральной средней.
- •Определение необходимого объема повторной и бесповторной выборок при оценке генеральной средней и доли.
- •Статистическая гипотеза и статистический критерий. Ошибки 1-го и 2-го рода. Уровень значимости и мощность критерия. Принцип практической уверенности.
- •Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Понятие о критериях согласия.
- •Критерий согласия х2-Пирсона и схема его применения.
- •Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Различия между ними. Основные задачи теории корреляции.
- •Линейная парная регрессия. Система нормальных уравнений для определения параметров прямых регрессии. Выборочная ковариация. Формулы для расчета коэффициентов регрессии.
- •Упрощенный способ:
- •Оценка тесноты связи. Коэффициент корреляции (выборочный), его свойства и оценка достоверности.
Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства (с выводом). Примеры.
Закон (ряд) распределения дискретной случайной величины дает исчерпывающую информацию о ней, т.к. позволяет вычислить вероятности любых событий, связанных со случайной величиной. Однако такой закон (ряд) распределения бывает трудно обозримым, не всегда удобным (и даже необходимым) для анализа. Рассмотрим, например, задачу.
Задача. Известны законы распределения случайных величин Х и У - числа очков, выбиваемых l-м и 2-м стрелками.
Необходимо выяснить, какой из двух стрелков стреляет лучше.
Рассматривая ряды распределения случайных величин Х и У, ответить на этот вопрос далеко не просто из-за обилия числовых значений. К тому же у первого стрелка достаточно большие вероятности (например, больше 0,1) имеют крайние значения числа выбиваемых очков (Х = 0;1 и Х = 9;10), а у второго стрелка - промежуточные значения (У = 4;5;6) (см. многоугольники распределения вероятностей Х и У на рис).
Очевидно, что из двух стрелков лучше стреляет тот, кто в среднем выбивает большее количество очков. Таким средним значением случайной величины является ее математическое ожидание.
Определение. Математическим ожиданием, или средним значением, М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности: |
Обратим внимание на механическую интерпретацию математического ожидания. Если предположить, что каждая материальная точка с абсциссой xi имеет массу, равную pi (i = 1,2,...,n), а вся единичная массараспределена между этими точками, то математичекое ожидание представляет собой абсциссу центра масс системы материальных точек. Так, для систем материальных точек, соответствующим распределениям Х и У в примере, центры масс совпадают: М(Х) = М(У) = 5,36 (см. рис.).
Если дискретная случайная величина Х принимает бесконечное, но счетное множество значений x1,x2,...,xn,..., то математическим ожиданием, или средним значением, такой дискретной случайной величины называется сумма ряда (если он абсолютно сходится): |
Так как данный ряд может и расходиться, то соответствующая случайная величина может и не иметь математического ожидания. Например, случайная величина Х с рядом распределения
не имеет математического ожидания, ибо сумма рядаравна ∞. На практике, как правило, множество возможных значений случайной величины распространяется лишь на ограниченный участок оси абсцисс и, значит, математическое ожидание существует.
Рассмотрим свойства математического ожидания.
Математическое ожидание постоянной величины равно са мой постоянной: .
□ Постоянную величину С можно рассматривать как величину, принимающую значение С с вероятностью 1. Поэтому М(С) = С·1 = 1.■
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. M(kX) = kM(X).
□ Так как случайная величина kX принимает значения kxi (i = 1,2,...,n), то■
3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий, т.e. М (Х ± У) = М(Х) ± М(У).
□ В соответствии с определением суммы и разности случайных величин Х+У (Х-У) представляют случайную величину, которая принимает значения xi+yj (xi-yj) (i = 1,2,...,n) (j = 1,2,...,m) с вероятностями рij = Р[(Х = хi)(У = yj)].
Поэтому .
Так как в первой двойной сумме xi не зависит от индекса j, по которому ведется суммирование во второй сумме, и аналогично во второй двойной сумме yj не зависит от индекса i, то
.■
4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: М(ХУ) = М(Х)М(У).
□ В соответствии с определением произведения случайных величин, ХУ представляет собой случайную величину, которая принимает значения xiyi (i = 1,2,...,n) (j = 1,2,...,m) с вероятностями Рij = P[(Х = хi)(У = yj)], причем в силу независимости Х и У pij = pipj. Поэтому .■
5. Если все значения случайной величины увеличить (уменьшить) на постоянную С, то на эту же постоянную С увеличится (уменьшится) математическое ожидание этой случайной величины: М(Х ± С) = М(Х) ± С.
□ Учитывая свойства 3 и 1 математического ожидания, получим М(Х ± С) = М(Х) ± М(С) = М(Х) ± С.■
6. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю: М[Х-М(Х)] =0.
□ Пусть постоянная С есть математическое ожидание а = М(Х), т.е. С = а. Тогда, используя свойство 5, получим
М(Х - а) = М(Х) - а = а - а = о. ■