39. Оценка генеральной дисперсии по собственно-случайной выборке. Смещенность и состоятельность выборочной дисперсии (без вывода). Исправленная выборочная дисперсия.

На первый взгляд, наиболее подходящей оценкой для генеральной дисперсии является выборочная дисперсия. Следующая теорема свидетельствует о том, чтоне является «наилучшей» оценкой.

Теорема. Выборочная дисперсия повторной и бесповторной выборок есть смещенная и состоятельная оценка генеральной дисперсии.

Δ Принимая без док-ва состоятельность оценки , докажем, что она - смещенная оценка. В соответствии с 4 свойством дисперсии:. На основании свойства 3 средней арифметической и дисперсии , если все значения признака уменьшить на одно и то же число С, то средняя уменьшится на это число, т.е., а дисперсия не изменится:

.

Полагая , получим.

а) Выборка повторная

Для повторной выборки выборочные значения рассматриваем как независимые случайные величины , каждая из к-ых имеет один и тот же закон распределения, что и у оценки генеральной средней с числовыми характеристиками (1) и (2), т.е.M,, k = 1,2,...,n.

Найдем мат-кое ожидание оценки :

.

Первый член в правой части .

Второй член с учетом того, что есть несмещенная оценка, т.е.,.

Поэтому .

б) Выборка бесповторная

Для бесповторной выборки - зависимые случайные величины. Можно показать, что

(т.к. объем генеральной совокупности N, как правило, большой и N ≈ N -1).

Итак, и для повторной выборки, и для бесповторной , т.е- смещенная оценка. ▲

Т.к. и, то выборочная дисперсия (в n среднем, полученная по разным выборкам) занижает генеральную дисперсию. Поэтому, заменяяна, мы допускаем систематическую погрешность в меньшую сторону. Чтобы ее ликвидировать, достаточно ввести поправку, умноживна. Тогда с учетом () получим«исправленную» выборочную дисперсию:

.

Очевидно, что .

Т.е. является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной дисперсии.

39. Понятие об интервальном оценивании. Доверительная ве­роятность и доверительный интервал. Предельная ошибка выбор­ки. Ошибки репрезентативности выборки (случайные и систематические).

Интервальной оценкой параметра θ называется числовой интервал , к-ый с заданной вероятностью γ накрывает неизвестное значение параметра θ.

Обращаем внимание на то, что границы интервала и его величина находятся по выборочным данным и потому являются случайными величинами в отличие от оцениваемого параметра θ - величины неслучайной, поэтому правильнее говорить о том, что интервал «накрывает», а не «содержит» значение θ.

Такой интервал называетсядоверительным, а вер-ть γ - доверительной вер-тью, уровнем доверия или надежностью оценки.

Величина доверительного интервала существенно зависит от объема выборки n (уменьшается с ростом n) и от значения доверительной вер-ти γ (увеличивается с приближением γ к 1).

Очень часто (но не всегда) доверительный интервал выбирается симметричным относительно параметра θ, т.е. (θ-Δ,θ+Δ).

Наибольшее отклонение Δ оценки от оцениваемого параметра θ, в частности, выборочной средней (или доли) от генеральной средней (или доли), к-ое возможно с заданной доверительной вер-тью γ, называетсяпредельной ошибкой выборки.

Ошибка Δ является ошибкой репрезентативности (представительства) выборки. Она возникает только вследствие того, что исследуется не вся совок-ть, а лишь часть, ее (выборка), отобранная случайно. Эту ошибку часто называют случайной ошибкой репрезентативности. Ее не следует путать с систематической ошибкой репрезентативности, появляющейся в рез-те нарушения принципа случайности при отборе элементов в выборку.