6. Формулы полной вероятности и Байеса (с доказательством). Примеры.

Формула полной вероятности. Теорема.

Теорема. Если событие F может произойти только при условии появления одного из событий (гипотез) A1,А2,…,Аn образующих полную группу, то вероятность события F равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий (гипотез) на соответствующие условные вероятности события F:

□ По условию гипотезы А₁,А₂,…,А_n образуют полную группу, следовательно, они единственно возможные и несовместные. Т.к гипотезы А₁,А₂,…,А_n - единственно возможные, а событие F может произойти только вместе с 1 из гипотез, то

.

В силу того что гипотезы А₁,А₂,…,А_n несовместны, можно применить теорему сложения вероятностей:

По теореме умножения вероятностей .■

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса.

Она применяется, когда событие F, которое может появиться только с одной из гипотез А₁,А₂,…,А_n образующих полную группу событий, произошло и необходимо произвести количественную переоценку априорных вероятностей этих гипотез P(A₁), Р(А₂),..., Р(А_n), известных о испытания, Т.е. надо найти апостериорные (получаемые после проведения испытания) условные вероятности гипотез P_F(A₁),P_F(А₂),...,Р_F(А_n).

□ Для получения искомой формулы запишем теорему умножения вероятностей событий F и Аi в двух формах:

, откуда

или с учетом формулы полной вероятности: . ■

Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события Р, т.е. по мере получения новой информации, мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы. Такой подход, называемый байесовским, дает возможность корректировать управленческие решения в эк-ке, оценки неизвестных параметров распределения изучаемых признаков в статистическом анализе и т.п.

Пример: Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8; для второго - 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что она принадлежит: а) l-му стрелку; б) 2-му стрелку?

Решение. Обозначим события:

А₁ - оба стрелка не попали в мишень; А₂ - оба стрелка попали в мишень; А₃ - 1-й стрелок попал в мишень, 2-й нет; А₄ - 1-й стрелок не попал в мишень, 2-й попал; F - в мишени одна пробоина (одно попадание).

Найдем вероятности гипотез и условные вероятности события F для этих гипотез:

Р(A₁) = 0,2 · 0,6 = 0,12, Р_А1(F) = 0;

Р(А₂) = 0,8 · 0,4 = 0,32, Р_А2(F) = 0;

Р(А₃) = 0,8 · 0,6 = 0,48, Р_А3(F) = l;

Р(А₄) = 0,2 · 0,4 = 0,08, Р_А4(F) = l.

Теперь по формуле Байеса:

, ,

Т.е. вероятность того, что попал в цель l-й стрелок при наличии одной пробоины, в 6 раз выше, чем для второго стрелка.

7. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли (с выводом). Примеры.

Если вероятность наступления события А в каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других, то такие испытания называются независимыми относительно события А. Если независимые повторные испытания проводятся при одном и том же комплексе условий, то вероятность наступления события А в каждом испытании одна и та же. Эта последовательность независимых испытаний получила название схемы Бернулли.

Формула Бернулли

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность Р_m,n того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях, равна

Где .

□ Пусть и- соответственно появление и непоявление событияА в i-ом испытании (i = 1,2,...,n), а - событие, состоящее в том, что вn независимых испытаниях событие А появилось m раз.

Представим событие через элементарные события.

Например, при n = 3, m = 2 событие ,

т.е. событие А произойдет 2 раза в 3 испытаниях, если оно произойдет в l-м и 2-м испытаниях (и не произойдет в 3-м), или в l-м и 3-м (и не произойдет во 2-м), или произойдет во 2-м и 3-м (и не произойдет в l-м).

В общем виде

,

Т.е. каждый вариант появления события Вm (каждый член суммы) состоит из m появлений события А и n-m непоявлений, т.е. из m событий А и из n-m событий с различными индексами.

Число всех комбинаций (слагаемых суммы) равно числу способов выбора из n испытаний m, в которых событие А произошло, т.е. числу сочетаний . Вероятность каждой такой комбинации (каждого варианта появления события Вm) по теореме умножения для независимых событий равна , т.к., а,i = 1,2,...,n. В связи с тем, что комбинации между собой несовместны, по теореме сложения вероятностей получим

.■