30. Понятие об оценке параметров генеральной совокупности. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность.

Сформулируем задачу оценки параметров в общем виде. Пусть распределение признака Х - генеральной совокупности - задается функцией вер-тей (для дискретной СВ Х) или плотностью вер-ти(для непрерывной СВ Х), к-ая содержит неизвестный параметр. Напр, это параметр λ в распределении Пуассона или параметры а идля нормального закона распределения и т.д.

Для вычисления параметра исследовать все элементы генеральной совокупности не представляется возможным. Поэтому о параметрепытаются судить по выборке, состоящей из значений (вариантов). Эти значения можно рассматривать как частные значения (реализации) n независимых случайных величинкаждая из к-ых имеет тот же закон распределения, что и сама СВ Х.

Определение. Оценкой параметраназывают всякую функцию результатов наблюдений над СВ Х (иначе - статистику), с помощью к-ой судят о значении параметра:

.

Поскольку - случайные величины, то и оценка(в отличие от оцениваемого параметра- величины неслучайной, детерминированной) является случайной величиной, зависящей от закона распределения СВ Х и числа n.

О качестве оценки следует судить не по индивидуальным ее значениям, а лишь по распределению ее значений в большой сети испытаний, т.е. по выборочному распределению оценки.

Если значения оценки концентрируются около истинного значения параметра, т.е. основная часть массы выборочного распределения оценки сосредоточена в малой окрестности оцениваемого параметра, то с большой вер-тью можно считать, что оценкаотличается от параметралишь на малую величину. Поэтому, чтобы значениебыло близко к, надо, очевидно, потребовать, чтобы рассеяние случайной величиныотносительно, выражаемое, например, матем-ким ожиданием квадрата отклонения оценки от оцениваемого параметра, было по возможности меньшим. Таково основное условие, к-му должна удовлетворять «наилучшая» оценка.

Свойства оценок.

Определение. Оценка параметраназываетсянесмещенной, если ее мат-кое ожидание равно оцениваемому параметру, т.е. .

в противном случае оценка называется смещенной.

Если это равенство не выполняется, то оценка , полученная по разным выборкам, будет в среднем либо завышать значение(если, либо занижать его (если). Требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании.

Если при конечном объеме выборки n , т.е. смещение оценки, но, то такая оценканазываетсяасимптотически несмещенной.

Определение. Оценка параметраназываетсясостоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е. сходится по вер-ти к оцениваемому параметру:

, или .

В случае использования состоятельных оценок оправдывается увеличение объема выборки, т.к. при этом становятся маловероятными значительные ошибки при оценивании. Поэтому практический смысл имеют только состоятельные оценки. Если оценка состоятельна, то практически достоверно, что при достаточно большом n .

Если оценка параметраявляется несмещенной, а ее дисперсияпри n → ∞, то оценкаявляется и состоятельной. Это непосредственно вытекает из неравенства Чебышева:

.

Определение. Несмещенная оценка параметра сназываетсяэффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра , вычисленных по выборкам одного и того же объема n.

Т.к. для не смещенной оценки есть ее дисперсия, то эф-ть являетсярешающим свойством, определяющим качество оценки.

Эффективность оценки определяют отношением: .

где и - соот-но дисперсии эффективной и данной оценок. Чем ближе е к 1, тем эффективнее оценка. Если е → 1 при n → ∞, то такая оценка называется асuмптотически эффективной.