3. Несовместные и совместные события. Сумма событий. Теоре­ма сложения вероятностей (с доказательством).

Два события называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

2 события называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.

Суммой событий А и В называется событие С = А + В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В. Аналогично суммой конечного числа событий А₁, А₂, ..., А_k называется событие А = А₁+А₂ + ... + А_k, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий Аi, (i = 1, ..., k). Из определения следует, что А + В = В + А. Справедливо также и сочетательное свойство. Однако А + А = А (а не 2А).

Теорема сложения вероятностей:

Теорема. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А + В + ... + К) = Р(А) + Р(В) + ... + Р(К).

□ Докажем теорему для схемы случаев, рассматривая сумму двух событий.

Пусть в результате испытания из общего числа n равновозможных и несовместных (элементарных) исходов испытания (случаев) событию А благоприятствует m_l случаев, а событию В ­ m₂ случаев (рис. 1.4).

Согласно классическому определению .

Т.к. события А и В несовместные, то ни один из случаев, благоприятствующих одному из этих событий, не благоприятствует другому (рис. 1.4). Поэтому событию А+В будет благоприятствовать m_l + m₂ случаев. Следовательно, ■

Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1:

P(A) + P(B) + … + P(K) = 1.

□ Если события А,В,…,К образуют полную группу, то они единственно возможные и несовместные.

Т.к. события А,В,…,К – единственно возможные, то событие А + В + … +К, состоящее в появлении в результате испытания хотя бы одного из этих событий, является достоверным, то его вероятность = 1:

Р(А + В + … + К) = 1.

Т.к. события А,В,…,К – несовместные, к ним применима теорема сложения:

Р(А + В + … + К) = Р(А) + Р(В) + … + Р(К) = 1.■

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий = 1:

□ Утверждение следует из того, что противоположные события образуют полную группу. ■

4. Полная группа событий. Противоположные события. Соот­ношение между вероятностями противоположных событий (с вы­водом).

Несколько событий образуют полную группу событий если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. Это означает, что в результате испытания должно произойти 1 и только 1 из этих событий.

Частным случаем событий, образующих полную группу, являются противоположные события. 2 несовместимых события из которых 1 должно обязательно произойти называются противоположными. Событие противоположное событию А обозначают .

Доказательство теоремы о полной группе событий

1) Т.к. появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события = 1, то Р (A₁ + A₂ + ... + A_n) = 1.

2) Любые 2 события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения: Р (А₁ + А₂ + ... + А_n) = Р (A₁) + Р (A₂) + ... + Р (А_n).

3) Сравнивая (1) и (2), получим Р (А₁) + Р (А₂) + ... + Р (А_n) = 1.