8. Локальная теорема Муавра-Лапласа, условия ее примени­мости. Свойства функции Дх). Пример.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от О и 1, то вероятность Р_m,n того, что событие А произойдет m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n, приближенно равна:

где Р - вероятность осуществления события в отдельном испытании, q - вероятность неосуществления события в отдельном испытании, n – кол-во испытаний.

Где - функция Гаусса. И

Чем больше n, тем точнее приближенная формула. Приближенные значения вероятности Р_m,n на практике используются как точные при npq порядка двух и более десятков, Т.е. при условии npq ≥ 20.

Для упрощения расчетов, связанных с применением формулы, составлена таблица значений функции f(x). Пользуясь этой таблицей, необходимо иметь в виду свойства функции f(х).

1. Функция является четной, т.е. f(-x) = f(x).

2. Функция f(x) - монотонно убывающая при положительных значениях х, причем при х → ∞ f(x) → 0.

(Практически можно считать, что уже при х > 4 f(x) ≈ 0.

Пример. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильники.

Решение. Вероятность того, что семья имеет холодильник, равна р = 80/100 = 0,8. Т.к. n = 100 достаточно велико (условие npq = 100·0,8(1-0,8)=64 ≥ 20 выполнено), то применяем локальную формулу Муавра-Лапласа.

Вначале определим по формуле :.

Тогда по формуле :.

(значение f(2,50) найдено по табл.). Весьма малое значение вероятности Р₃₀₀,₄₀₀ не должно вызывать сомнения, т.к. кроме события «ровно 300 семей из 400 имеют холодильники» возможно еще 400 событий: «0 из 400», «1 из 400», ... , «400 из 400» со своими вероятностями. Все вместе эти события образуют полную группу, а значит, сумма их вероятностей равна 1.

Пусть в условиях примера необходимо найти вероятность того, что от 300 до 360 семей (включительно) имеют холодильники. В этом случае по теореме сложения вероятность искомого события

.

9. Асимптотическая формула Пуассона и условия ее примени­мости. Пример.

Предположим, что мы хотим вычислить вероятность Р_m,n появления события А при большом числе испытаний n, например, Р_300,500. По формуле Бернулли:

Ясно, что в этом случае непосредственное вычисление по формуле Бернулли технически сложно, тем более если учесть, что сами р и q - числа дробные. Поэтому возникает естественное желание иметь более простые приближенные формулы для вычисления при больших n. Такие формулы, называемые, асимптотическими, существуют и определяются теоремой Пуассона, локальной и интегральной теоремами Муавра-Лапласа. Наиболее простой из них является теорема Пуассона.

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании стремится к нулю (р → 0) при неограниченном увеличении числа n испытаний (n → 0), причем произведение nр стремится к постоянному числу λ(nр → λ), то вероятность Р_m,n того, что событие А появится m раз в n независимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству:

□ По формуле Бернулли или, учитывая, что, т.е. при достаточно больших nи.

Т.к. ,и, то.■

Строго говоря, условие теоремы Пуассона р → 0 при n → ∞, так что nр → λ, противоречит исходной предпосылке схемы испытаний Бернулли, согласно которой вероятность наступления события в каждом испытании р = const. Однако, если вероятность р - постоянна и мала, число испытаний n - велико и число λ = nр - незначительно (будем полагать, что λ = np ≤ 10), то из предельного равенства вытекает приближенная формула Пуассона:

.

Пример. На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета?

Решение. Вероятность того, что день рождения студента 1 сентября, равна р = 1/365. Т.к. р = 1/365 - мала, n = 1825 - велико и λ = nр = 1825·(1/365) = 5 ≤ 10, то применяем формулу Пуассона:

: (по табл.)