3.6. Построение дополнительной проекции точки

Две проекции дают однозначную модель точки на чертеже. Любое третье её изображение является дополнительным или избыточным и может быть построено по двум данным проекциям, которые определяют исходную модель точки. Примем за исходную модель ортогональный чертёж, имеющий фронтальную и горизонтальную проекции. Рассмотрим приёмы построения третьей проекции.

В качестве дополнительной плоскости возьмём профильную плоскость. Обозначим её 3 (она перпендикулярна фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций). Тогда дополнительная проекция будет назы-

ваться профильной проекцией и иметь индекс 3.

3.6.1. Построение дополнительной ортогональной проекции

На рис. 78 заданы две проекции А1 и А2 произвольной точки А пространства. Требуется построить её профильную проекцию А3.

а	б	в
	Рис. 78

Приём 1 (рис. 78, а). Проводим две взаимно перпендикулярные прямые: одну горизонтально, другую вертикально. Горизонтальную прямую линию можно совместить с осью х12, вертикальную – на любом расстоянии от проекций. Обозначим точку их пересечения буквой О. Через А2 проводим горизонтальный луч до пересечения с вертикальной прямой в точке 1. При помощи дуги с центром в точке О радиусом О1 переносим точку 1 на х12. Из полученной точки поднимаем вертикаль. Затем через А1 проводим горизонталь до пересечения с построенной ранее вертикалью в точке А3. Это и будет дополнительная профильная проекция произвольной точки А пространства.

Приём 2 (рис. 78, б). Аналогично предыдущему приёму проводим две взаимно перпендикулярные прямые. На вертикальной прямой линии

82

находим точку 1 и переносим её на х12 при помощи луча, проведённого из этой точки под углом 45 к оси. Из полученной точки поднимаем вертикаль и в пересечении её с горизонталью, проведённой через А1, отмечаем профильную проекцию А3.

Приём 3 (рис. 78, в). Используем прямую преломления, проведённую под углом 45 к оси х12 на любом расстоянии от проекций. Через А2 проводим горизонталь до пересечения с прямой преломления в точке 1. Из отмеченной точки поднимаем вертикаль до пересечения с горизонталью, проходящей через А1. Получаем профильную проекцию А3.

Примечание. Из рассмотренных приёмов предпочтительнее третий вариант. Он менее громоздкий и позволяет удачнее выполнить компоновку чертежа. На начальной стадии изучения черчения можно использовать первые два варианта. Они нагляднее демонстрируют принцип построения профильной проекции, если представить чертёж как развёрнутый трёхгранный угол, образованный плоскостями проекций 1, 2 и 3.

3.6.2. Построение аксонометрии точки

В разделе 3.5.6 было описано построение аксонометрии точек, лежащих в одной из плоскостей проекций. Теперь рассмотрим построение аксонометрии произвольной точки А пространства.

Исходной моделью точки А является ортогональный чертёж, представленный на рис. 79, а фронтальной и горизонтальной проекциями А1 и А2. Необходимо построить дополнительное изображение этой точки – её аксонометрию.

а

б

в

Рис. 79

Выполняем привязку точки А к координатной системе. Задаём координатные оси х, у, z. Ось х направляем по горизонтали влево, у – по верти-

83

кали вниз, z – по вертикали вверх. Взяли левую систему координат. Такая же система должна быть и в аксонометрии, т. е. х – слева, у – справа.

На ортогональном чертеже определяем координаты Ах и Ау точки А. Построение аксонометрической модели начинаем со вторичной проекции. Замеряем координаты Ах и Ау и откладываем их соответственно на аксоно-

метрических осях х и у от О с учётом коэффициентов искажения. Через отметку Ах проводим прямую, параллельную у, через Ау – параллельную х. На пересечении проведённых прямых получаем вторичную проекцию А точки пространства. Из А поднимаем вертикаль и откладываем на ней координату z (расстояние от А1 до оси х). Получаем первичную проекцию или аксонометрию точки А.

На рис. 79, б построена прямоугольная изометрия точки А. Поскольку по всем осям коэффициент искажения равен 1, то все отрезки отложены в масштабе 1:1.

На рис. 79, в построена прямоугольная диметрия точки А. По осям х и z коэффициент равен 1, поэтому данные размеры отложены в натуральную величину. По оси у коэффициент 0,5, поэтому координату Ау пришлось уменьшить вдвое при помощи треугольника пропорциональности.

На рис. 80 показано построение аксонометрии той же точки, но только в правой системе координат.

а

б

в

Рис. 80

На ортогональном чертеже (рис. 80, а) ось х направлена по горизонтали вправо. В следствие чего и аксонометрические оси х расположены справа. На рис.80, б показана прямоугольная изометрия, на рис. 80, в – прямоугольная диметрия.

84

3.7. Модели геометрических тел

Геометрическое тело представляет собой совокупность точек. Умея строить модели одной точки, можно получить модели и их совокупности. На рис. 81 изображена шестигранная призма в ортогональных проекциях и аксонометрии (прямоугольная изометрия). Третья проекция построена с использованием циркуля. Вертикальная прямая проводится на любом расстоянии от заданных проекций.

Рис. 81

Для построения аксонометрии на горизонтальной проекции задают оси координат х, y. Сначала строят аксонометрию фигуры основания (см. рис. 75). Затем из каждой вершины поднимают вертикали и на них откладывают высоту рёбер призмы. Достраивают верхнее основание и обводят ребра с учетом их видимости.

На рис. 82 изображена правильная трехгранная пирамида. Профильная проекция построена при помощи прямой преломления, проведенной под углом 45° к горизонтали на любом расстоянии от заданных проекций.

Для удобства построения аксонометрии координатные оси х, y проведены через проекцию вершины пирамиды. Сначала строится диметрия А′ В′ С′ основания с учетом коэффициентов искажения (по оси y – ½, вдоль х – 1: А′С′ =АС). Высота пирамиды откладывается по оси z.

Имейте в виду: обозначение вершин способствует приведению в порядок мыслей и облегчает построение проекций.

На рис. 83 изображен прямой круговой цилиндр. Поверхность цилиндра так же, как и поверхности рассмотренных выше многогранников, является линейчатой, поскольку образована перемещением в пространстве прямой линии. Прямая, которая образует поверхность, называется обра-

85

зующей. Образующие, ограничивающие изображение цилиндра, называются очерковыми. На рис. 83 они обозначены малыми буквами: a1, b1 – фронтальные; c3, d3 – профильные очерковые. На горизонтальной проекции они изображаются точками A2, B2, C2, D2.

Рис. 82

Рис.83

Изучив на примере многогранников принцип построения профильной проекции, можно строить третью проекцию цилиндра без циркульных дуг (как на рис. 78, а) и прямой преломления (как на рис. 78, в). Поскольку фи-

86

гура симметрична, то достаточно на любом расстоянии от проекций провести ось симметрии и по обе стороны от нее откладывать размеры, взятые с горизонтальнойпроекции. ЗамерятьрасстояниянеобходимоотдиаметраА2В2.

Для построения прямоугольной диметрии координатные оси х, y совмещаем с осями симметрии фигуры основания. Ось z совпадает с высотой цилиндра. Поскольку в основании цилиндра окружность, то в аксонометрии необходимо строить эллипс одним из рассмотренных ранее способов (см. рис. 68, б, 73). В целях рациональности построения рекомендуется строить оба основания сразу. Для этого на оси z′ откладываем высоту цилиндра и проводим в верхней плоскости оси х′, y′ и направление осей эллипса. Следует иметь в виду, что аксонометрические очерковые образующие не совпадают с ортогональными очерковыми. На аксонометрическом изображении показаны фронтальные (а′, b′) и профильные (с′, d′) очерковые.

На рис. 84 представлено изображение прямого кругового конуса. Его можно отнести и к линейчатой поверхности, и к поверхности вращения. Так же, как и цилиндр, конус имеет в ортогональных проекциях четыре очерковые образующие (а1, b1, c3, d3). На рис. 84 показаны все проекции очерковых образующих. Построение профильной проекции следует начинать с проведения оси симметрии конуса.

Рис. 84

В аксонометрии строится сначала основание конуса (эллипс). Затем на оси z′ откладывается его высота и из точки S проводятся очерковые образующие так, чтобы они касались эллипса. На аксонометрическом изображении показаны проекции ортогональных очерковых образующих.

87