Примечание. Геометрические тела, рёбра или образующие которых перпендикулярны плоскости проекций, называются проецирующими. К таким телам относятся прямая призма (рис. 81) и прямой цилиндр (рис. 83).

3.8. Сечение тела проецирующей плоскостью

Плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется проецирующей. Она задается своим следом (см. рис. 58).

Поскольку геометрические тела в детали могут иметь срез или вырез, то необходимо рассмотреть, как построить линии среза или выреза. Проще эта задача решается с проецирующими геометрическими телами (прямой призмойипрямым круговымцилиндром) исложнееспирамидойиконусом.

Чтобы строить сечение, необходимо знать, как найти проекции точки, лежащей на заданной поверхности.

3.8.1. Построение точек, лежащих на поверхности геометрического тела

Рассмотрим три варианта.

В а р и а н т 1. Поверхность проецирующая. В этом случае одна из проекций точки, лежащей на заданной поверхности, совпадает с основанием геометрического тела, поверхность которого рассматривается.

Пр и м е р 1. Дана прямая пятигранная призма с основанием ABCDF

ифронтальные проекции K1 и M1 точек, лежащих на её поверхности (рис. 85). Построить горизонтальные и профильные проекции этих точек.

Через K1 проводим две линии связи: вертикальную и горизонтальную. На пересечении вертикальной линии связи с основанием призмы по-

лучаем горизонтальные проекции K2 и K2 двух точек K, одна из которых лежит в грани AB, другая – в грани AF. Профильная проекция имеет ось симметрии. Она совпадает с проекцией ребра, проходящего через A3. Поэтому на горизонтальной проекции замеряем расстояние от K2 до оси симметрии фигуры и откладываем его по обе стороны от оси симметрии профильной проекции на проведённой ранее через K1 горизонтальной линии связи. Получаем профильные проекции K3 и K3 точек K. Направление проецирования показано стрелочками.

Для построения точки K в аксонометрии определяем её координату х (Kх) и откладываем на аксонометрической оси х. Через отметку Kх проводим прямую, параллельную у. На пересечении проведённой прямой со сторонами основания получаем вторичные проекции K точек K. Из K проводим вертикали и откладываем на них величину hk, взятую с фронтальной проекции. Получаем аксонометрию точек K и K .

88

Точка M лежит на ребре, проходящем через вершину A. Поэтому M2 ≡ A2, а M3 находится на ребре, проходящем через A3.

Рис. 85

Ваксонометрии точку M откладываем на ребре, проходящем через А

на расстоянии от вершины, равном длине отрезка А1М1.

П р и м е р 2. Дан прямой круговой цилиндр и фронтальные проек-

ции А1 и В1 точек, лежащих на его поверхности (рис. 86). Построить горизонтальные и профильные проекции этих точек.

Точка А1 лежит на очерковой образующей m1, профильная проекция m3 которой совпадает с осью симметрии цилиндра (см. рис. 83). На пересечении горизонтальной линии связи, проведенной из А1, с осью цилиндра получаем профильную проекцию А3 точки А. Горизонтальная её проекция А2 попадает на основание цилиндра и совпадает с левым концом горизонтального диаметра окружности основания цилиндра.

Ваксонометрии вторичная проекция А находится на оси х. Прово-

дим через неё образующую m и откладываем высоту hA, взятую с фронтальной проекции. Получаем аксонометрию точки А.

Из В1 проводим вертикальную и горизонтальную линии связи. На пересечении вертикальной линии связи с основанием цилиндра получаем горизонтальные проекции В2 и В2 . Замеряем расстояние от В2 (или В2 ) до горизонтального диаметра и откладываем его по обе стороны от оси ци-

89

линдра на проведённой ранее горизонтальной линии связи. Получаем профильные проекции В3 и В3 точки В, лежащей на поверхности цилиндра.

Рис. 86

Для построения аксонометрии определяем координату х точки В на горизонтальной проекции. Измеряем на ортогональном чертеже расстояние от начала координат до Вх и откладываем его вправо от начала координат аксонометрической системы на оси х. Через отметку Вх проводим прямую, параллельную у, до пересечения с эллипсом. Получаем вторичные проекции В. Их аксонометрия В и В находится на образующих, проведённых через точки В, на расстоянии hВ от них

Примечание. Призма и цилиндр построены в прямоугольной изометрии, поэтому все размеры с ортогонального чертежа перенесены в натуральную величину.

В а р и а н т 2. Поверхность линейчатая, образующие которой не перпендикулярны плоскости проекций. Типичными представителями такой поверхности являются пирамида и конус.

Если точка лежит на линейчатой поверхности, то она принадлежит какой-либо её образующей. Это обстоятельство и будем использовать при построении точек поверхности.

90

П р и м е р 3. Дана пирамида SABCDE и фронтальные проекции K1, N1 точек, лежащих на её поверхности (рис. 87). Построить горизонтальные и профильные проекции этих точек.

Точка K1 лежит на ребре S1B1. Таким образом, K2 S2B2, K3 S3B3. Поскольку S2B2 совпадает с вертикальной линией связи, то находим снача-

ла K3, а затем через прямую преломления определяем положение проекции K2. Ход построения можно проследить по направлению стрелочек.

В аксонометрии (прямоугольной диметрии) вторичная проекция K лежит на оси у. Для её построения замеряем координату у на ортогональном чертеже, при помощи треугольника пропорциональности уменьшаем этот размер вдвое и полученный отрезок откладываем на у. Из K поднимаем вертикаль до пересечения с ребром SB в точке K.

Для построения проекций точки N проводим через N1 проекцию l1 образующей l и отмечаем точку 11 её пересечения с плоскостью основания пирамиды. Линия связи, проведённая из 11, пересекает основание в точках

12 и 12 . Соединив их с вершиной S2, получаем горизонтальные проекции l2 и l2 образующей l. Из N1 опускаем линию связи и на её пересечении с l2 и l2 находим горизонтальные проекции N2 и N2 точки N. Профильные проекции N3 и N3 построены приёмом, рассмотренным ранее на рис. 79, в.

Рис. 87

По координатам х и у находим вторичные проекции N точек N в диметрии (см. рис. 79, в). Затем через О и N проводим вторичные проекции

91

образующих, которые пересекают основание в точках 1 и 1 . Соединив 1 и 1 с вершиной S, получаем образующие l и l , на которых по линиям связи,

проведённым через N , определяем положение первичных проекций точек

N и N .

Для построения первичных проекций точек можно воспользоваться

икоординатой z, как это было показано ранее на рис. 79, в.

Ва р и а н т 3. Имеем поверхность вращения, представителем которой является прямой круговой конус.

При вращении образующей вокруг оси каждая точка образующей в пространстве описывает окружность. Плоскость этой окружности перпендикулярна оси вращения. Отсюда следует, что если точка лежит на поверхности вращения, то она принадлежит какой-либо окружности этой поверхности. На ту плоскость проекций, которой ось параллельна, окружность проецируется в виде отрезка, перпендикулярного оси.

П р и м е р 4. Дан конус и фронтальные проекции K1 и М1 точек, лежащих на поверхности конуса (рис. 88). Построить горизонтальные и профильные проекции этих точек.

Рис. 88

Точка K1 лежит на очерковой образующей a1 (S111) конуса. Горизонтальная проекция a2 (S212) этой образующей совпадает с левой частью

92

горизонтального диаметра основания. Профильная проекция a3 (S313) совпадает с осью конуса. Это уже было показано на рис. 84. Поэтому из K1 проводим вертикальную и горизонтальную линии связи и на пересечении

сгоризонтальным диаметром отмечаем K2, с осью конуса – K3.

Впрямоугольной диметрии вторичная проекция K точки K расположена на оси х. Расстояние от О до K взято с ортогонального чертежа (равные расстояния отмечаются одинаковым количеством чёрточек). При

помощи вертикали, проведённой из K , на образующей а получаем первичную проекцию точки K.

Точка М не попадает на очерковую образующую. Её будем строить через окружность. Ось конуса i параллельна 1 и 3. Поэтому на данные плоскости окружность проецируется в виде отрезков, перпендикулярных i1 и i3. Через М1 проводим горизонтальный отрезок. Измеряем расстояние r от оси до очерковой образующей. Радиусом, равным этому расстоянию, проводим окружность на 2 и по линии связи находим на ней горизонтальные проекции М2 и М2 . Затем замеряем расстояние от горизонтального диаметра до М2 или М2 и откладываем его по обе стороны от оси конуса на одном уровне с М1. Получаем профильные проекции М3 и М3 точки М.

Построение аксонометрии точки выполняем так же, как и на поверхности пирамиды. По координатам х и у определяем положение вторичных проекций точек М. Через О и М проводим вторичные проекции образующих, которые пересекают основание в точках 2 и 3. S2 и S3 – первичные проекции этих образующих конуса. Из М поднимаем вертикали до пересечения с образующими. Получаем аксонометрию точек М и М .

3.8.2. Сечение многогранников проецирующей плоскостью

В сечении многогранника плоскостью получается многоугольник. Для его построения достаточно найти точки на рёбрах многогранника и его основании, если оно пересекается плоскостью.

П р и м е р 1. Построить сечение четырёхгранной призмы c основанием ABCD проецирующей плоскостью (рис. 89).

В сечении четырёхгранной призмы плоскостью получится четырёхугольник. Так как плоскость 1, то фронтальная проекция фигуры сечения совпадёт с её следом 1. Это будет та часть следа плоскости, которая расположена в пределах изображения призмы. На пересечении 1 с рёбрами призмы отметим вершины E1, F1, K1, L1. Поскольку призма проецирующая, то горизонтальная проекция фигуры сечения совпадёт с основанием призмы. Поэтому E2 ≡ A2, F2 ≡ B2, K2 ≡ C2, L2 ≡ D2. Остаётся построить только профильную проекцию сечения. Через E1, F1, K1, L1 проводим горизонтальные линии связи до пересечения с соответствующими рёбрами в точ-

93

ках E3, F3, K3, L3. Соединив последовательно найденные вершины, получаем профильную проекцию фигуры сечения. Усечённую часть призмы обводим толстой линией.

В аксонометрии строим сразу усечённую призму: сначала – основание ABCD, затем из каждой вершины поднимаем вертикаль и откладываем на ней высоту соответствующего ребра, взятую с горизонтальной проекции. Полученные точки последовательно соединяем.

Рис. 89

Призму заданной формы (в основании квадрат с вершинами на осях х и у) рекомендуется строить в прямоугольной диметрии. В этом случае изображение получается более наглядным.

П р и м е р 2. Построить сечение пирамиды SABC проецирующей плоскостью Σ (рис. 90).

Поскольку задана трёхгранная пирамида, то в сечении получается треугольник. Так как Σ 1, то фронтальная проекция треугольника совпадает со следом Σ1. На рёбрах отмечаем вершины E1, F1, K1. По линиям связи на соответствующих рёбрах находим их горизонтальные и профиль-

94

ные проекции. Порядок проецирования показан стрелочками. Усечённую часть пирамиды обводим толстой линией.

Рис. 90

В аксонометрии строим сначала полную пирамиду. Затем находим вторичные проекции рёбер AS′, BS′, CS′. По координатам х или у на AS′, BS′, CS′ определяем вторичные проекции вершин Е′, F′, К′. Подняв из них вертикали до пересечения с AS, BS и CS, получаем первичные проекции вершин Е, F, К фигуры сечения. Выполняем обводку усечённой части пирамиды.

3.8.3. Сечение поверхности вращения проецирующей плоскостью

Из поверхностей вращения возьмём прямой круговой цилиндр и прямой круговой конус. В сечении цилиндра и конуса в общем случае получаются кривые второго порядка, в частном случае – отрезки прямых линий. Построение кривых начинают с нахождения характерных точек, т. е. точек, лежащих на очерковых образующих, на основании, крайних левой и правой, высшей и низшей. Затем для уточнения формы сечения необходимо построить несколько промежуточных точек.

П р и м е р 1. Построить сечение цилиндра проецирующей плоскостью (рис. 91).

95

В сечении цилиндра плоскостью получается эллипс, фронтальная проекция которого совпадает с 1 (поскольку 1), а горизонтальная – с окружностью основания (так как поверхность прямого кругового цилиндра является проецирующей). Остаётся построить профильную проекцию эллипса.

Рис. 91

Профильные проекции фронтальных очерковых образующих цилиндра совпадают с проекцией i3 его оси (см. рис. 83). Поэтому точки А1 и С1 с фронтальных очерковых переносим на i3. Их проекции А3 и С3 будут соответственно низшей и высшей точками эллипса. Фронтальные проекции профильных очерковых образующих совпадают с проекцией i1 оси цилиндра. Поэтому расположенную на ней точку В1 переносим на профильные

очерковые. Проекции В3 и В3 будут крайними левой и правой точками. Характерные точки найдены все. Затем берём произвольные точки D1 и Е1 в любом месте между А1 и С1 и приёмом, рассмотренным на рис. 86, строим D3, D3 и Е3, Е3 . Полученные точки соединяем плавной линией.

В аксонометрии точки фигуры сечения строим, используя приём, представленный на рис. 86. Затем найденные точки соединяем плавной линией так, чтобы эллипс коснулся аксонометрических очерковых образующих.

96

П р и м е р 2. Построить сечение конуса проецирующей плоскостью τ

(рис. 92).

Рис. 92

В сечении конуса плоскостью могут получиться окружность (плоскость параллельна основанию), эллипс (плоскость проходит под углом к образующим), парабола (плоскость параллельна одной из образующих конуса) или гипербола (плоскость параллельна оси конуса). В рассматриваемом примере секущая плоскость проходит вертикально. Следовательно, она параллельна оси конуса и в сечении получится гипербола.

Поскольку τ задана так, что она перпендикулярна и фронтальной, и горизонтальной плоскостям, то соответствующие проекции гиперболы совпадают со следами τ1 и τ2 плоскости. Это будут те части следов, которые расположены в пределах изображений конуса. Задача сводится к по-

97

строению ее профильной проекции. Характерными будут точки В и С, находящиеся на основании конуса и высшая точка А гиперболы. Замеряем расстояние от горизонтального диаметра основания конуса до В2 и С2 и откладываем его на профильной проекции по обе стороны от оси конуса. Получаем В3 и С3. При помощи линии связи, проведённой из А1, на проекции i3 оси конуса получаем высшую точку А3. Затем выбираем произвольные про-

межуточные точки Е1 и F1, и через окружностинаходим сначала Е2 и Е2 , F2

иF2 , затем Е3 и Е3 , F3 и F3 приёмом, рассмотренным ранее на рис. 88.

Ваксонометрии сначала строится полный конус. Затем на него переносятся точки фигуры сечения. Так как плоскость τ вертикальная, то сечение можно построить без использования образующих. На горизонтальной

проекции замеряем расстояние от начала координат до В2С2 и откладываем его на х′. Через полученную отметку проводим прямую, параллельную оси у′, до пересечения с эллипсом в точках В и С. Из точки пересечения ВС с х′ вертикально проводим ось симметрии гиперболы. Все дальнейшие размеры для построения точек гиперболы в аксонометрии берём с профильной

проекции, так как на 3 сечение проецируется без искажения.

3.8.4. Геометрические тела с вырезом

Вырез осуществляется несколькими проецирующими плоскостями. Каждая из них рассекает тело не полностью, а частично и, как правило, по простейшим линиям.

П р и м е р 1. По двум заданным проекциям четырёхгранной призмы

свырезами построить её профильную проекцию и аксонометрию (рис. 93). Призма имеет два выреза: верхний, выполненный двумя горизон-

тальными β, и двумя вертикальными плоскостями, и нижний, выполненный одной горизонтальной и двумя наклонными плоскостями. Фронтальные проекции вершин верхнего выреза обозначим в порядке их следования цифрами 11, …, 61, нижнего выреза – 71, …, 111. Поскольку призма проецирующая, то горизонтальные проекции всех вершин попадают на основание призмы. Горизонтальные рёбра верхнего выреза на 2 видимы и показаны сплошными линиями. Рёбра нижнего выреза невидимы и показаны штриховыми линиями. Профильная проекция призмы симметричная. Ось симметрии совпадает с рёбрами a3, c3. Этим и воспользуемся для построения профильных проекций вершин вырезов, замеряя на 2 расстояния до них от горизонтальной оси симметрии и откладывая их на 3 по обе стороны от a3, c3 на одном уровне с горизонтальными проекциями (см. рис. 85). Полученныевершиныобозначаемипоследовательносоединяеммеждусобой.

Объёмное изображение данной призмы большей наглядностью обладает в прямоугольной диметрии. Зададим на ортогональном чертеже оси x, y, z, и приготовим треугольник пропорциональности с коэффициентом 0,5.

98

Для того чтобы не запутаться в построениях, рекомендуется выполнять их в определённой последовательности.

Рис. 93

●Строим аксонометрию полной призмы. Для этого на оси z откладываем высоту призмы, проводим оси x , у верхнего основания, строим аксонометрию верхнего и нижнего квадратов и соединяем их рёбрами.

●Строим сечения призмы горизонтальными плоскостями , β, , уровни которых проходят через точки I, II, III. Построения выполняем в

тонких линиях, обязательно проводя в каждой из плоскостей оси x , у.

● Замеряем координаты х вершин вырезов и переносим их на x соответствующих сечений или оснований. Через полученные отметки проводим прямые, параллельные оси у, до пересечения со сторонами построенных ранее сечений. Обозначаем вершины вырезов.

● Обводим контуры вырезов и оставшейся части призмы.

99

Все построения выполняют в тонких линиях, и после обводки их не следует удалять.

П р и м е р 2. По заданным фронтальной и горизонтальной проекциям цилиндра с пазом построить его профильную проекцию и аксонометрию

(рис. 94).

Паз выполнен одной горизонтальной и двумя вертикальными плоскостями β и . Поскольку вертикальные плоскости параллельны оси цилиндра, то они пересекают цилиндр по образующим. Горизонтальная плоскость пересечёт его по окружности.

Рис. 94

Обозначим профильные очерковые образующие m3, n3. Согласно рис. 83 их фронтальные проекции m1, n1 совпадут с осью цилиндра. Эти образую-

100