2.4. Сопряжения

Сопряжением называется плавный переход одной линии в другую. Построение сопряжений основано на свойствах касательных к кривым и сводится к определению положения центра сопрягающей дуги и точек сопряжения. Точкой сопряжения называется точка касания двух линий (либо двух окружностей, либо прямой линии и окружности).

Точка сопряжения двух дуг лежит на прямой, соединяющей центры дуг, и является точкой пересечения линии центров с сопрягающимися дугами. Нетрудно заметить, что при внешнем касании расстояние между центрами сопрягающихся дуг равно сумме радиусов (рис. 36, а), при внутреннем касании (одна окружность находится внутри другой окружности) расстояние равно разности радиусов (рис. 36, б).

При сопряжении прямой и дуги точкой сопряжения является основание перпендикуляра, опущенного из центра дуги на прямую линию (рис. 36, в). Следовательно, расстояние от центра сопрягающей дуги до прямой равно радиусу этой дуги.

а

б

в

Рис. 36

При сопряжении двух дуг третьей или дуги и прямой второй дугой центр сопрягающей дуги определяется как пересечение двух геометрических множеств точек (ГМТ) на плоскости. ГМТ, удалённых от точки (центра окружности) на заданное расстояние, является окружность с центром в этой точке и радиусом, равным заданному расстоянию. ГМТ, равноудаленных от данной прямой, будет прямая, параллельная данной и отстоящая от нее на заданное расстояние.

Рассмотрим различные виды сопряжений.

32

Сопряжение двух прямых дугой радиуса R (рис. 37)

● Строим ГМТ, удалённых от каждой прямой на расстояние радиуса. Это будут две прямые, параллельные заданным прямым.

Рис. 37

Для построения параллельных прямых надо взять раствор циркуля, равный расстоянию между прямыми, и из любых двух точек имеющейся прямой (как из центров) провести небольшие дужки. Параллельная прямая будет касаться этих дужек.

●Отмечаем точку пересечения построенных прямых. Получаем центр О сопрягающей дуги.

●Из центра О опускаем перпендикуляры на каждую из заданных прямых. Получаем точки сопряжения К1 и К2.

●Проводим дугу радиусом R строго между точками сопряжения.

Не следует заводить концы сопрягающей дуги за точки сопряжения, так как тогда не получится плавный ровный контур.

Сопряжение дуги окружности с прямой линией дугой радиуса R

(рис. 38)

Задана окружность с центром в точке О радиусом r и прямая a. Сопрягающая дуга должна коснуться окружности с внешней стороны.

●Строим ГМТ, удалённых от центра О на заданное расстояние. Поскольку касание данной окружности и сопрягающей дуги внешнее, то расстояние между их центрами равно сумме радиусов R + r. Поэтому ГМТ будет окружность с центром в точке О и радиусом R + r.

●Строим ГМТ, удалённых от прямой а на расстояние l = R. Это будет прямая, параллельная а.

●Отмечаем точку пересечения построенных окружности и прямой линии. Получаем центр О1 сопрягающей дуги.

33

●Находим точки сопряжения. Для этого соединяем центры О и О1. На пересечении линии центров с окружностью отмечаем точку К1. Из центра О1 опускаем перпендикуляр на прямую а. Отмечаем основание перпендикуляра – точку К2. К1 и К2 – искомые точки сопряжения.

●Из центра О1 радиусом R проводим сопрягающую дугу от К1 до К2.

Рис. 38

Сопряжение двух окружностей

Заданы две окружности: одна с центром в точке О1 радиусом R1, другая с центром в точке О2 радиусом R2. Требуется построить их сопряжение дугой радиусом R. Возможны три варианта.

Внешнее сопряжение (рис. 39). Обе окружности касаются сопрягающей дуги с внешней стороны, т. е. выпуклой её части. Расстояние от центра каждойокружностидоцентрасопрягающейдугибудетравносуммерадиусов.

● Строим ГМТ, удалённых от О1 на расстояние R1+ R и от О2 на расстояние R2+ R. Это будут две окружности с центрами О1 и О2 и радиусами

R1+ R и R2+ R.

●Отмечаем точку пересечения построенных окружностей. Получаем центр О сопрягающей дуги.

●Находим точки сопряжения. Для этого проводим линии центров

ОО1, ОО2 и отмечаем точки К1 и К2 пересечения их с заданными окружностями. Точки сопряжения находятся между центрами.

34

● Проводим из центра О радиусом R сопрягающую дугу в промежутке между К1 и К2.

Рис. 39

Рис. 40

Внутреннее сопряжение (рис. 40). Обе окружности касаются сопрягающей дуги с внутренней стороны, т. е. её вогнутой части. Расстояние от

35

центра каждой окружности до центра сопрягающей дуги будет равно разности радиусов.

● Строим ГМТ, удалённых от О1 на расстояние R R1, от О2 на расстояние R R2. Это будут две окружности с центрами О1 и О2 и радиусами

R R1 и R R2.

●На пересечении построенных окружностей отмечаем центр О сопрягающей дуги.

●Проводим линии центров ОО1, ОО2 и продолжаем их до пересечения с заданными окружностями в точках К1 и К2. Точки сопряжения находятся за обоими центрами.

●Между точками К1 и К2 проводим сопрягающую дугу с центром О

ирадиусом R.

Внешневнутреннее сопряжение (рис. 41). Одна окружность касается сопрягающей дуги с внешней стороны, другая – с внутренней. Пусть окружность с центром О1 имеет касание внешнее, с центром О2 – внутреннее.

Рис. 41

● Строим ГМТ, удалённых от О1 на расстояние R+ R1, от О2 на расстояние R R2. Это будут две окружности с центрами О1, О2 и радиусами

R+ R1, R R2.

36