metritchni_proct

Припустимо, що iснує метричний простiр X, який не можна подати як об’єднання двох непорожнiх, неперекривних вiдкритих множин, однак є двi замкненi множини F1 i F2 такi, що

F1 6= , F2 6= , F1 ∩ F2 = i F1 F2 = X. Тодi

= CX = C(F1 F2) = CF1 ∩ CF2,

де CF1, CF2 – вiдкритi множини (як доповнення замкнених множин до простору X). Крiм того

CF1 CF2 = (X \ F1) (X \ F2) = F2 F1 = X.

Звiдси випливає, що простiр X можна подати як об’єднання двох непорожнiх неперекривних вiдкритих множин, що суперечить умовi. А отже, якщо метричний простiр не можна подати як об’єднання двох непорожнiх неперекривних вiдкритих множин, то його не можна подати як об’єднання двох непорожнiх, неперекривних, замкнених множин.

3 4. Нехай метричний простiр X не можна подати як об’- єднання двох непорожнiх, неперекривних, замкнених множин. Доведемо, що , X – єдинi вiдкрито-замкненi множини.

Припустимо, що iснує метричний простiр X, який не можна подати як об’єднання двох непорожнiх, неперекривних, замкнених множин, однак у ньому крiм i X є вiдкрито-замкнена множина A. Тодi з того, що A вiдкрита випливає, що множина CA = X \ A замкнена. А отже, маємо двi непорожнi (A 6= , A 6= X) замкненi множини F1 = A i F2 = X \ A такi, що F1 ∩F2 = i F1 F2 = X, тобто простiр X подається як об’- єднання двох непорожнiх, неперекривних, замкнених множин, що суперечить умовi. Таким чином, якщо метричний простiр не можна подати як об’єднання двох непорожнiх, неперекривних, замкнених множин, то у ньому крiм i X немає вiдкритозамкнених множин.

4 1. Нехай метричний простiр X крiм i X немає iнших вiдкрито-замкнених множин. Доведемо, що X зв’язний.

141

Припустимо, що iснує метричний простiр X, у якому крiм i X немає iнших вiдкрито-замкнених множин, однак вiн незв’я- зний, тобто iснують двi непорожнi роз’єднанi множини A i B такi, що A B = X. Тодi згiдно означення A∩B = A∩B = . А оскiльки B = X \ A, то, врахувавши, що A A i A ∩ (X \ A) = = , дiстанемо, що A = A. А це означає, що множина A замкнена. Аналогiчно обгрунтовується, що i множина B замкнена, а отже, її доповнення CB = X \B = A є вiдкрита множина. Таким чином маємо вiдкрито-замкнену множину A, яка не є порожньою i не збiгається з простором X, що суперечить умовi.

Цим ми завершили доведення ланцюжка тверджень 1 2 3 4 1.

Зауваження. Доведена теорема дає можливiсть сформулювати ще три означення зв’язного метричного простору (зв’язної множини).

Означення 6.4. Метричний простiр X називається зв’я- зним, якщо його не можна подати як об’єднання двох непорожнiх, неперекривних вiдкритих множин, або його не можна подати як об’єднання двох непорожнiх,неперекривних, замкнених множин, або у ньому i X єдинi вiдкритозамкненi множини.

Теорема 6.2. Якщо для будь-яких двох точок метричного простору X iснує зв’язна множина, яка мiстить цi точки, то простiр X є зв’язним.

Доведення. Припустимо, що iснує метричний простiр X такий, що для будь-яких двох точок цього простору iснує зв’язна пiдмножина, що мiстить цi точки, однак X не є зв’язним. Тодi X можна подати як об’єднання двох непорожнiх, неперекривних, замкнених множин F1 i F2, тобто F1 6= , F2 6= , F1 ∩F2 =

142

= , F1 F2 = X. Нехай x F1 i y F2. За умовою iснує зв’язна пiдмножина Q, яка мiстить точки x i y. Оскiльки Q є пiдпростором простору X, то у ньому множини Q∩F1 i Q∩F2 є замкненi. Цi множини непорожнi, бо першiй належить точка x, а другiй – точка y. Перетин цих множин (Q ∩ F1) ∩ (Q ∩ F2) = = Q ∩ (F1 ∩ F2) = Q ∩ = є порожня множина, а об’єднання (Q∩F1) (Q∩F2) = Q, тобто множина Q подається як об’єднання двох непорожнiх, неперекривних, замкнених множин Q ∩ F1 i Q ∩ F2. Останнє суперечить тому, що множина Q є зв’язною. Отже, наше припущення невiрне, i кожен метричний простiр, який задовольняє умовi теореми, є зв’язним.

Теорема 6.3. (про перехiд митницi) Якщо зв’язна множина має спiльнi точки з внутрiшнiстю i зовнiшнiстю деякої iншої множини, то вона має спiльнi точки з межею останньої.

Доведення. Припустимо, що iснує метричний простiр X i у ньому двi множини E i A, перша з яких зв’язна, причому E ∩ A◦ 6= , E ∩ Aз 6= , однак F ∩ ∂A = . Розглянемо множини E ∩ A◦ i E ∩ Aз. Оскiльки A◦ i Aз вiдкритi множини у просторi X, то множини E ∩A◦ i E ∩Aз є вiдкритими у просторi E, причому згiдно умови вони непорожнi. Перетин цих множин (E ∩ A◦) ∩ (E ∩ Aз) = E ∩ A◦ ∩ Aз = є порожня множина, а об’єднання, в силу того, що A◦ Aз ∂A = X i E ∂A = , є множина E. Таким чином зв’язна множина E подана як об’- єднання двох непорожнiх, неперекривних, вiдкритих множин, що неможливо. Одержане протирiччя свiдчить про те, що як тiльки зв’язна множина має спiльнi точки як iз зовнiшнiстю, так i з внутрiшнiстю iншої множини, то вона має спiльнi точки iз межею останньої.

Теорема 6.4. Замикання кожної зв’язної множини є множина зв’язна.

143

Доведення. Припустимо, що iснує метричний простiр X i у ньому зв’язна множина E така, що її замикання E не є зв’язною множиною. Тодi iснують двi непорожнi, неперекривнi, замкненi множини F1 i F2 у просторi E, такi, що F1 F2 = E. Розглянемо

множини E ∩F1 i E ∩F2. Оскiльки E E, то множини E ∩F1 i E ∩ F2 замкненi у просторi E, причому (E ∩ F1) ∩ (E ∩ F2) = i (E ∩ F1) (E ∩ F2) = E. А оскiльки за умовою множина E зв’язна, то одна з цих множин має бути порожньою. Нехай для означеностi E ∩ F1 = . Тодi E ∩ F2 = E i F2 E, а

отже, в силу замкненостi F2 у просторi E остання множина є

пiдмножиною F2. Врахувавши, що F1 F2 = E, F1 ∩ F2 =

i E F2, одержимо, що F2 = E, a F1 = , що суперечить нашому припущенню. Отже, припущення невiрне, i замикання кожної зв’язної множини є зв’язним. Зауважимо, що обернене твердження, взагалi кажучи, невiрне. Справдi, замиканням множини Q у метричному просторi R з природною метрикою є сама множина R, яка є зв’язною, бо якi б двi точки з R ми не взяли, iснує вiдрiзок (а вiн є зв’язною множиною), який мiстить цi точки. Таким чином замикання Q зв’язна множина, однак множина Q (див. приклад 2) незв’язна. Щодо теоретико-множинних операцiй над зв’язними множинами, то у випадку, коли зв’язнi множини E1 i E2 не мають спiльних елементiв, їх перерiз є порожня, а отже зв’язна множина, їх об’єднання може бути як зв’язною, так i незв’я- зною множиною (E1 = (−1; 0), E2 = [0; 1) E1 E2 – зв’язна, E2 = (0; 1) E1 E2 – незв’язна). Коли ж зв’язнi множини E1 i E2 мають спiльнi елементи, то їх перерiз може бути як зв’язною E1 = (0; 2), E2 = (1; 3) E1 ∩E2 – зв’язна) так i незв’язною множиною (вiдповiдний приклад буде приведено пiзнiше), разом з

тим їх об’єднання обов’язково зв’язна множина.

Теорема 6.5. Якщо множини E1 i E2 точок деякого метричного простору X зв’язнi i E1 ∩ E2 6= , то їх об’єднання зв’язна множина.

144

Доведення.Припустимо, що iснує метричний простiр X i у ньому зв’язнi множини E1 i E2 такi, що E1 ∩ E2 6= , однак їх об’єднання E = E1 E2 незв’язна множина. Тодi iснує подання E = F1 F2, де F1 i F2 непорожнi, неперекривнi, замкненi множини у просторi E. Покажемо, що хоча би одна з множин E1 або E2 має непорожнiй перерiз i з F1, i з F2. Справдi, якщо, наприклад, E2 ∩ F1 = , то F2 E2 i E1 F1, тому E1 ∩ F2 E1 ∩ E2 6= i E1 ∩ F1 = F1 6= . Нехай, для означеностi, E1 ∩ F1 6= , E1 ∩ F2 6= . Тодi

(E1 ∩ F1) (E1 ∩ F2) = E1 ∩ (F1 F2) = E1 ∩ E = E1,

(E1 ∩ F1) ∩ (E1 ∩ F2) = E1 ∩ F1 ∩ F2 =

i множини E1 ∩ F1, E1 ∩ F2 замкненi у просторi E1, тобто множина E1 подається як об’єднання двох непорожнiх, неперекривних, замкнених множин. Останнє неможливо в силу зв’язностi множини E1. Звiдси випливає, що наше припущення невiрне, а отже, об’єднання двох зв’язних множин з непорожнiм перерiзом є зв’язна множина.

Нехай маємо два метричнi простори (X, d1) i (Y, d2). Домовимось надалi, що прямий добуток X × Y надiлено метрикою:

для будь-яких (x1, y1), (x2, y2) X × Y
d((x1, y1), (x2, y2)) = pd1 2(x1, x2) + d2 2(y1, y2)	(6.1)

або еквiвалентною їй

d 0((x1, y1), (x2, y2)) = d1(x1, x2) + d2(y1, y2), d 00((x1, y1), (x2, y2)) = max(d1(x1, x2), d2(y1, y2)).

Метричний простiр (X × Y, d) називають добутком метричних просторiв (X, d1) i (Y, d2).

З’ясуємо, за яких умов множини точок простору X × Y будуть зв’язнi. Зрозумiло, що мова йде про умови, пов’язанi з просторами X i Y .

145

Теорема 6.6. Непорожня множина E = E1 × E2 точок добутку метричних просторiв X i Y є зв’язною тодi i тiльки тодi, коли E1 i E2 зв’язнi вiдповiдно у метричних просторах

X i Y .

Доведення. Необхiднiсть. Припустимо, що iснує метричний простiр X ×Y i у ньому непорожня множина E = E1 ×E2, яка зв’язна, однак множина E1 незв’язна у просторi X. Тодi iснують непорожнi роз’єднанi множини A i B такi, що E1 = A B. Оскiльки множини A i B непорожнi, A ∩B = A ∩B = , то для непорожнiх множин A × E2 i B × E2 маємо:

(A × E2) (B × E2) = (A B) × E2 = E1 × E2 = E,

A × E2 ∩ B × E2 A × E2 ∩ B × E2 = (A ∩ B) × E2 = ,

A × E2 ∩ B × E2 A × E2 ∩ B × E2 = (A ∩ B) × E2 = .

Звiдси випливає, що множина E подається як об’єднання двох непорожнiх роз’єднаних множин. Це неможливо в силу зв’я- зностi множини E. Таким чином наше припущення невiрне, а отже, як тiльки множина E = E1 ×E2 зв’язна, то i множини E1 i E2 зв’язнi.

Достатнiсть. Нехай непорожнi множини E1 i E2 зв’язнi вiдповiдно у просторах X i Y . Доведемо, що множина E = E1 ×E2 зв’язна у просторi X × Y . Вiзьмемо у множинi E двi довiльнi точки (x1, y1) i (x2, y2), i розглянемо множини {x1} × E2 i E1 × {y2}. Оскiльки для будь-яких точок (x1, y1), (x1, y2) з множини {x1} × E2

q

d((x1, y1), (x1, y2)) = d21(x1, x1) + d22(y1, y2) = d2(y1, y2),

то метричнi простори {x1}×E2 i E2 iзометричнi, а отже, множина {x1}×E2 зв’язна у просторi X ×Y . Аналогiчно для будь-яких точок (x1, y2), (x2, y2) з множини E1 × {y2}

q

d((x1, y2), (x2, y2)) = d21(x1, x2) + d22(y2, y2) = d1(x1, x2),

146

тобто метричнi простори E1 × {y2} i E1 iзометричнi, i множина E1 ×{y2} зв’язна у просторi X ×Y . Перерiз множин {x1}×E2 i E1 ×{y2} непорожний, бо кожнiй з них належить точка (x1, y2). Тодi в силу теореми 6.5 об’єднання цих множин є зв’язна множина, причому як точка (x1, y1), так i точка (x2, y2) їй належать. Таким чином для будь-яких двох точок множини E iснує зв’я- зна множина, яка мiстить цi двi точки, а це й означає (див. теорему 6.2), що множина E зв’язна.

Означення 6.5. Двi точки метричного простору X називаються зв’язаними, якщо iснує зв’язна пiдмножина точок цього простору, яка мiстить цi точки.

Через означення 6.4 на метричному просторi X задається бiнарне вiдношення, яке є вiдношенням еквiвалентностi. Справдi, вiдношення "x i y зв’язaнi в X"є рефлексивним (одноелементна множина {x} зв’язна i симетричним в силу означення. Покажемо, що воно транзитивне. Якщо "x i y зв’язaнi в X" i "y i z зв’язaнi в X", то iснують зв’язна множина E1, яка мiстить точки x i y, i множина E2, яка мiстить точки y i z, причому оскiльки y E1 i y E2, то E1 ∩ E2 6= . Тодi об’єднання E1 E2 є зв’язна множина. Очевидно, що точки x i z належать E1 E2. А це й означає, що "x i z зв’язанi в X".

Таким чином кожен метричний простiр X стосовно вiдношення "бути зв’язаними"розбивається на класи еквiвалентних (зв’язаних) точок. Кожен такий клас називається зв’язним компонентом простору X, а зв’язним компонентом точки x X називається зв’язний компонент, який мiстить точку x.

Теорема 6.7. Зв’язний компонент точки x X є об’єднання всiх зв’язних множин у цьому просторi, кожна з яких мiстить точку x, i є замкненою множиною.

Доведення. Нехай Ex – зв’язний компонент точки x, a Ex — об’єднання всiх зв’язних множин у просторi X, кожен з яких

147

мiстить точку x (зрозумiло, що Ex – зв’язна множина як об’-

єднання зв’язних множин з непорожнiм перерiзом ). Доведемо,

що Ex = Ex.

Нехай y Ex. Тодi точки x i y зв’язанi, а отже, iснує зв’язна множина Exy, яка мiстить точки x i y. Зв’язна множина Exy мiстить точку x, i тому Exy входить в об’єднання всiх зв’язних

множин, кожна з яких мiстить точку x. Звiдси випливає, що

Exy Ex i y Ex. Нехай y Ex. Тодi iснує зв’язна множина,

яка мiстить i точку y, i точку x, тобто точки y i x зв’язанi. А це

й означає, що y Ex. З включень Ex Ex i Ex Ex випливає,
що Ex = Ex.
Оскiльки Ex – зв’язна множина, то i Ex – зв’язна, а отже,
входить в об’єднання всiх	зв’язних множин, кожна з яких

мiстить точку x. Звiдси випливає, що E E i E = E, тобто

множина Ex, а отже, i множина Ex, замкнена.

Як наслiдок маємо, що коли метричний простiр X має скiнченне число зв’язних компонентiв, то кожен з них є вiдкритозамкнена множина. Якщо ж їх нескiнченне число, то вони будуть вiдкрито-замкненi множини, коли простiр локально зв’я- зний.

Означення 6.6. Метричний простiр X називається локально зв’язним, якщо для кожної точки x X i кожної кулi B(x, r) iснує зв’язна куля B(x, rx),яка включається у кулю

B(x, r).

Вiдразу зауважимо, що властивостi "бути зв’язним"i "бути локально зв’язним"є незалежними, тобто є простори, якi зв’язнi, але не є локально зв’язними, i навпаки.

Так, наприклад, метричний простiр

X = {(x, y) | x = 0 або x = 1}

148

як пiдпростiр простору R з евклiдовою метрикою є незв’я- зним, однак вiн локально зв’язний, бо для кожної точки з X (наприклад, (0, y) X) i кожної кулi з центром у цiй точцi (B((0, y), r)) iснує зв’язна куля з центром у цiй же точцi

(B((0, y), r◦) = {(x, y) | x = 0, −r◦ < y < r◦, r◦ = min(r, 1)},

яка включається в обрану кулю. Приклад зв’язного, але не локально зв’язного простору приведемо трохи пiзнiше.

Теорема 6.8. Якщо метричний простiр X локально зв’я- зний, то кожний зв’язний компонент є вiдкрито-замкнена множина.

Доведення. Нехай Ex – зв’язний компонент, що мiстить точку x. Згiдно теореми 6.7 це замкнена множина. Доведемо, що вона є також вiдкритою.

Нехай y будь-яка точка з Ex. Оскiльки простiр X локально зв’язний, то для точки y iснує зв’язна куля B(y, r). Тодi всi точки цiєї кулi зв’язанi з точкою y, а отже, i з точкою x, тобто кожна точка цiєї кулi є точкою множини Ex. Таким чином, для кожної точки y Ex iснує куля з центром у цiй точцi, яка включається в Ex, а це й означає, що Ex – вiдкрита множина.

Встановимо ознаки, за якими можна буде розпiзнавати зв’я- знi множини у просторi Rn з евклiдовою (або еквiвалентною їй) метрикою.

Приклад 1, у якому обгрунтовано зв’язнiсть вiдрiзка i теорема 1.6.2 дають можливiсть зробити висновок, що у просторi R з природною метрикою зв’язними будуть множини виду

[a ; b ], [a ; b ), (a ; b ], (a ; b ), [a; +∞), (a; +∞), (−∞; a), (−∞; a],

(−∞; +∞), де a ≤ b. Тодi згiдно теореми 1.6.6 у просторi R2 з евклiдовою метрикою зв’язними будуть, наприклад, множини

{(x, y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, {(x, y) |x = a}, а у просторi R3 з

149

евклiдовою метрикою, наприклад множини

{(x, y, z) |a < x < b, c < y < d, e < z < f}, {(x, y, z) |x = a, y = b}.

Зрозумiло, що множини складної структури подати у виглядi прямого добутку множин з R далеко не просто. А якщо навiть таке подання сконструйовано, то по ньому не можна встановити, чи буде зв’язною задана множина. Наприклад, множина точок R2 з евклiдовою метрикою, у яких хоч одна координата рацiональна, подається у виглядi

A = {(x, y) |x Q або y Q} = (Q × R) (R × Q).

Тут множина Q незв’язна, множина R зв’язна, а отже, як Q × R так R × Q незв’язнi, а от яким буде об’єднання, потрiбно дослiджувати (див. приклад 3).

Iнший шлях пiдказує теорема 6.2 про те, що як тiльки для будь-яких двох точок заданої множини можна вказати зв’язну множину, яка включається у неї, то ця множина зв’язна. Зрозумiло, що ця теорема стане ефективним засобом розпiзнання зв’язних множин, якщо множина, використовувана для перевiрки, буде простою за структурою.

Як вiдомо, на координатнiй площинi пряма, що проходить через точки M1(x1, y1), M2(x2, y2), задається параметрично рiвняннями

x = x1 + (x2 − x1)t,

y = y1 + (y2 − y1)t,

де t R. Тодi вiдрiзком з кiнцями M1 i M2 є множина

{(x, y) | x = x1 + (x2 − x1)t, y = y1 + (y2 − y1)t, 0 ≤ t ≤ 1},

причому точки цiєї множини можна впорядкувати, наприклад, у порядку зростання параметра t.

150