metritchni_proct

обмеженої числової послiдовностi можна видiлити збiжну пiдпослiдовнiсть. Очевидно, що з кожної послiдовностi (xn) точок вiдрiзка [a; b] можна видiлити збiжну пiдпослiдовнiсть (xnk ), причому його замкненiсть гарантує, що

lim xnk [a; b].

k→∞

! Якраз властивiсть, яка полягає у тому, що з кожної послiдовностi точок множини можна видiлити пiдпослiдовнiсть збiжну до точки цiєї множини, i є характеристичною властивiстю множин, роль яких в аналiзi вiдображень метричних просторiв схожа з роллю вiдрiзкiв в аналiзi числових функцiй.

Нехай маємо метричний простiр (X, d).

Означення 5.1. Множина K точок метричного простору X називається компактною множиною, якщо з кожної послiдовностi точок множини K можна видiлити пiдпослiдовнiсть, яка збiгається до точки цiєї множини.

Якщо з кожної послiдовностi точок метричного простору X можна видiлити збiжну пiдпослiдовнiсть, то замiсть термiну "компактна множина"будемо вживати термiн "компакт". Зрозумiло, що кожну компактну множину K можна назвати компактом, якщо розглядати її як пiдпростiр метричного простору X.

Означення 5.2. Якщо ж з кожної послiдовностi точок множини A можна видiлити збiжну пiдпослiдовнiсть (не обов’язково до точки з множини A), то її називають вiдносно компактною (передкомпактною) множиною.

Очевидно, що кожна компактна множина є вiдносно компактною. Однак не кожна вiдносно компактна множина є компактною. Так, наприклад, вiдрiзок [a; b] як множина точок метричного простору R з природною метрикою є компактною множиною, а от напiвiнтервал (a; b] є тiльки вiдносно компактною множиною, бо хоча з кожної послiдовностi його точок можна видiлити збiжну пiдпослiдовнiсть, однак кожна пiдпослiдовнiсть

111

послiдовностi a + b −n a збiгається до точки a, яка цьому напiвiнтервалу не належить.

Приклад 1. Довести, що будь-яка скiнченна множина точок метричного простору є компактною множиною.

Розв’язання. Нехай множина K скiнченна i нехай (xn) послiдовнiсть точок цiєї множини. Тодi хоч одна iз точок множини K буде зустрiчатись у послiдовностi нескiнченне число раз, тобто iснує точка x◦ K така, що у послiдовностi (xn) xn1 = = xn2 = . . . = xnk = . . . = x◦. Очевидно, що пiдпослiдовнiсть (xnk ), всi члени якої однаковi, збiжна, причому

klim→∞ xnk = x◦ K.
Приклад 2. Довести, що множина
K = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, a < b, c < d}

точок метричного простору R2 з евклiдовою метрикою є компактною множиною.

Розв’язання. Нехай ((xn, yn)) – довiльна послiдовнiсть точок множини K. Прямокутник K (pис.13)

Рис. 13

112

розiб’ємо прямими x = 12(a + b), y = 12(c + d) на чотири пря-

мокутники. Хоча би один з них мiстить безлiч членiв заданої послiдовностi. Оберемо якийсь iз них i позначимо його через R1 = {(x, y) | a1 ≤ x ≤ b1, c1 ≤ y ≤ d1}. Прямокутник R1 розiб’є-

	мо прямими x =	1	(a1 + b1), y =	1	(c1 + d1) на чотири прямоку-
		2		2

тники. Знову хоча би один з них мiстить безлiч членiв заданої послiдовностi. Оберемо якийсь iз них i позначимо його через R2 = {(x, y) | a2 ≤ x ≤ b2, c2 ≤ y ≤ d2}. Продовжимо цю процедуру необмежено. Матимемо послiдовнiсть прямокутникiв (Rn), кожен з яких мiстить безлiч членiв послiдовностi ((xn, yn)), при-

чому K R1 R2 . . . Rn . . .. Нехай (xn1 , yn1 ) член послiдовностi, який належить R1, (xn2 , yn2 ) (n1 < n2) член

послiдовностi, який належить R2, . . . , (xnk , ynk ) (nk−1 < nk) член послiдовностi, який належить Rk, . . . . У такий спосiб ми дiстаємо послiдовнiсть (xnk , ynk ), де n1 < n2 < . . . < nk < . . ., тобто пiдпослiдовнiсть заданої послiдовностi. Доведемо, що вона збiгається до точки множини K.

Справдi, послiдовнiсть прямокутникiв (Rk) породжує двi послiдовностi вiдрiзкiв ([ak; bk]), ([ck; dk]), кожна з яких є стяжною послiдовнiстю вкладених вiдрiзкiв. За побудовою для кожного

k xnk [ak; bk], ynk [ck; dk]. Якщо x◦ – точка, яка належить всiм вiдрiзкам першої, а y◦ – точка, яка належить всiм вiдрiз-

кам другої послiдовностi точок, то

lim xnk = x◦,	lim ynk = y◦,
k→∞	k→∞

тобто пiдпослiдовнiсть (xnk , ynk ) збiгається покоординатно до точки (x◦, y◦). А це й означає, що

lim (xnk , ynk ) = (x◦, y◦).

k→∞

Таким чином показано, що з кожної послiдовностi точок множини K можна видiлити збiжну пiдпослiдовнiсть, границя якої

належить K, тобто K – компактна множина.
113

Приклад 3. Переконатись, що у метричному просторi C[0;1] з рiвномiрною метрикою замкнена куля з центром у точцi f◦(x) ≡ 0 i радiусом r = 1 не є компактною множиною.

Розв’язання. Припустимо, що множина

B(f◦, 1) = {f | f C[0;1], d(f◦, f) ≤ 1} =

= {f | f C[0;1], max |f(x) − f◦(x)| ≤ 1} =

0≤x≤1

={f | f C[0;1], |f(x)| ≤ 1}

єкомпактною множиною. Очевидно, що функцiональна послi-

довнiсть (xn) є послiдовнiстю точок з кулi B(f◦, 1). А отже, в силу припущення iснує пiдпослiдовнiсть (xnk ), яка збiгається до точки з кулi B(f◦, 1), тобто до неперервної на вiдрiзку

[0; 1] функцiї g(x), значення якої за модулем не перевищують 1. Оскiльки збiжнiсть у просторi C[0;1] з рiвномiрною метрикою еквiвалентна рiвномiрнiй збiжностi, то пiдпослiдовнiсть (xnk ) збiгається рiвномiрно до неперервної на вiдрiзку [0; 1] функцiї. Останнє неможливо, бо

klim xnk =		0,	якщо	0 ≤ x < 1,
→∞		1,	якщо	x = 1.

Отже, iснує послiдовнiсть точок кулi B(f◦, 1), з якої неможливо видiлити збiжну пiдпослiдовнiсть. А це й означає, що замкнена куля B(f◦, 1) не є компактною множиною.

Зауваження. Оскiльки lim xn не належить C[0;1], то замкне-

n→∞

на куля B(f◦, 1) не є вiдносно компактною.

Приклад 4. Чи буде у метричному просторi C[0;1] з евклiдовою метрикою компактною множина

A = { ax + b | a, b R, |a| ≤ 1, |b| ≤ 1} ?

Розв’язання. Оскiльки за означенням для будь-яких

f1(x) = a1x + b1, f2(x) = a2x + b2 з C[0;1]

114

1

Z (a1x + b1

− a2x − b2)2dx

1

d(f1, f2) = d(a1x + b1, a2x + b2) =

2

=

0

(a1 − a2)2

1

=

+ (a

1−

a

)(b

1 −

b

) + (b

−

b

)2

2

=

3

1

2

2

1

2

2

a1

√3 + 1

=

(a1 − a2)

+ (

− a2

+ b

b

)2

2

a

a

+ b

b

,

12

2

1

−

2

≤

2√3

|

1 −

2|

|

1 −

2|

то очевидно, що функцiональна послiдовнiсть (anx + bn) буде

збiгатись тодi i тiльки тодi, коли

lim a

= a

,

lim b

= b

.

n→∞

n

◦

n→∞

n

◦

Якщо ж (anx + bn) – довiльна послiдовнiсть точок множини A, то для кожного n |an| ≤ 1, |bn| ≤ 1, тобто числовi послiдовностi (an), (bn) обмеженi. За теоремою Больцано-Вейєрштрасса з обмеженої послiдовностi (an) можна видiлити пiдпослiдовнiсть

ank , для якої

lim ank = a◦ [−1; 1].

k→∞

З послiдовностi (bn) видiлимо члени з номерами

n1 < n2 < . . . < nk < . . . .

Тодi послiдовнiсть bnk буде обмеженою i з неї можна видi-

лити збiжну пiдпослiдовнiсть bnkr , для якої

lim bnk = b◦ [−1; 1].

r→∞ r

Але тодi для пiдпослiдовностi ankr

lim ank = a◦,

r→∞ r

115

бо ankr пiдпослiдовнiсть збiжної послiдовностi ank . Отже,

пiдпослiдовнiсть an	x + bn	заданої послiдовностi збiгає-
	kr	kr

ться до функцiї g(x) = a◦x + b◦, для якої |a◦| ≤ 1, |b◦| ≤ 1, тобто до точки з множини A. А це й означає, що A – компактна множина. Cеред властивостей компактних множин вiдзначимо, що будь-яка замкнена пiдмножина компактної множини є компактна множина, що об’єднання скiнченного числа i перетин будь-якого сiмейства компактних множин є множина компактна (див. задачi 1.85, 1.88, 1.89 даного параграфу), що будьяка компактна множина є обмеженою i замкненою. Останнє

обгрунтуємо.

Теорема 5.1. Кожна компактна множина є обмеженою.

Доведення. Припустимо, що iснує метричний простiр (X, d) i множина K точок цього простору, яка є компактною, але необмеженою, i нехай x◦ деяка точка цiєї множини. Тодi не iснує кулi B(x◦, r), яка мiстить всi точки множини K, а отже, для кожного n iснує точка xn з множини K така, що d(x◦, xn) > n. Послiдовнiсть (xn) точок множини K є необмеженою, причому такою, що будь-яка її пiдпослiдовнiсть теж необмежена i не може бути збiжною. Таким чином, iснує послiдовнiсть точок множини K, з якої неможливо видiлити збiжну пiдпослiдовнiсть. Останнє означає, що множина K не є компактною (всупереч умовi). Одержане протирiччя свiдчить про те, що не iснує компактної множини, яка б була необмеженою.

Теорема 5.2. Кожна компактна множина є замкненою.

Доведення. Припустимо, що iснує метричний простiр (X, d) i множина K точок цього простору, яка є компактною, але незамкненою. Тодi iснує точка x◦ X, яка є граничною точкою

116

множини K i x◦ / K. Останнє означає, що для будь-якої кулi B(x◦, r) iснує точка x0 K, що належить цiй кулi. Покладемо

r = 1, 12, . . . , n1 , . . .. Тодi iснує точка x1 K, яка належить кулi

B(x◦, 1), точка x2 K, яка належить кулi B(x◦, 12), . . . , точка xn K, яка належить кулi B(x◦, n1 ), . . .. Послiдовнiсть (xn) то-

чок множини K збiгається до точки x◦, бо d(x◦, xn) < n1 → 0

при n → ∞. Зрозумiло, що тодi i кожна пiдпослiдовнiсть буде збiгатись до x◦. А оскiльки за умовою K – компактна множина, то x◦ K. Одержане протирiччя i доводить, що кожна компактна множина є замкненою. Зауважимо, що обмеженiсть i замкненiсть – тiльки необхiдна умова компактностi. Справдi,як свiдчить приклад 3, у метричному просторi C[0;1] з рiвномiрною метрикою замкнена куля з центром у точцi f◦(x) ≡ 0 i радiусом r = 1 не є компактною множиною, хоча вона i обмежена i замкнена. Разом з тим є метричнi простори, у яких обмеженiсть i замкненiсть є i

достатною умовою компактностi.

Теорема 5.3. Множина K точок метричного простору Rn з евклiдовою метрикою є компактною множиною тодi i тiльки тодi, коли вона обмежена i замкнена.

Доведення. Оскiльки кожна компактна множина є обмежена i замкнена множина, то слiд обгрунтувати тiльки достатнiсть.

Нехай K обмежена i замкнена множина точок метричного простору Rn (метрика евклiдова), i нехай (xk) = ((xk1, xk2, . . . , xkn)) послiдовнiсть точок цiєї множини. Оскiльки множина K обмежена, то i послiдовнiсть (xk) обмежена, а отже, обмеженою є кожна з числових послiдовностей (xki) (i = 1, n). За теоремою Больцано-Вейєрштрасса з послiдовностi

117

(xk1) можна видiлити збiжну пiдпослiдовнiсть (xkm1 1)				m1 =
1, 2, . . . , i нехай lim	xkm		1 = x01. Послiдовнiсть (xkm	), як
m1→∞		1		1

пiдпослiдовнiсть послiдовностi (xk2), обмежена, i з неї теж можна видiлити збiжну пiдпослiдовнiсть (xkm2 2) m2 = 1, 2, . . . , .

Нехай lim	x	km2	2	= x	◦2	. Продовжимо цю процедуру i на n-
m2→∞

му кроцi отримаємо збiжну пiдпослiдовнiсть (xkmnn) mn =

1, 2, . . . , , для якої lim	x	kmnn	= x	◦n	. Оскiльки пiдпослiдовно-
mn→∞

стi (xkmn1), (xkmn2), . . . , (xkmnn − 1) є пiдпослiдовностями

збiжних послiдовностей (xkm1 1), (xkm2 2), . . . , (xkmn−1 n − 1) , то вони збiжнi i їх границi дорiвнюють вiдповiдно

lim xkm

1 = x01,

lim

xkm

2 = x02

, . . . ,

lim xkm

n = x0n.

mn→∞

n

mn→∞

n

mn→∞

n

Iз

збiжностi

числових

послiдовностей

(xkmn1) ,

(xkmn2) , . . . ,

(xkmnn)

випливає

збiжнiсть послiдовностi

((xkmn1, xkmn2, . . . , xkmnn))

точок множини K, причому

mn→∞

x

kmn1

, x

kmn2

, . . . , x

kmnn

01

, x

02

, . . . , x

0n

0

.

lim

= (x

) = x

Якщо x0 один iз членiв послiдовностi (xk), то x0 K. Якщо ж x0 не збiгається iз жодним членом послiдовностi (xk), то x0 гранична точка для множини членiв заданої послiдовностi, а отже, i для множини K. А оскiльки множина K замкнена, то x0 K. Таким чином показано, що з кожної послiдовностi (xk) точок множини K можна видiлити пiдпослiдовнiсть, яка збiгається до точки з цiєї множини. А це й означає, що K – компактна множина.

Зауваження. З теореми 1.5.3 випливає, що для розпiзнання компактної множини точок простору Rn з евклiдовою метрикою (або з метрикою, еквiвалентною евклiдовiй) досить перевiрити її обмеженiсть i замкненiсть. Якщо задана множина необмежена,

118

то вона не є вiдносно компактною (необмеженiсть гарантує наявнiсть послiдовностi точок цiєї множини, жодна пiдпослiдовнiсть якої не є збiжною). Якщо ж вона обмежена, то обов’язково вiдносно компактна (обмеженiсть гарантує наявнiсть у кожнiй послiдовностi збiжної пiдпослiдовностi). I, нарештi, якщо вона обмежена i замкнена, то обов’язково компактна (обмеженiсть i замкненiсть гарантують наявнiсть у кожнiй послiдовностi пiдпослiдовностi, яка збiгається до точки заданої множини).

Зрозумiло, що для iнших метричних просторiв необмеженiсть множини свiдчить про вiдсутнiсть у неї компактностi будь-якого виду, а незамкненiсть її – про те, що вона не є компактною. Тому необхiдно збагатити iнструментарiй дослiдження на компактнiсть, причому можна iти двома шляхами: а) шукати загальнi критерiї компактностi, виконуванiсть яких за певних умов перевiрити легше, нiж виконуванiсть означення; б) шукати критерiї, пристосованi до певних метричних просторiв. Якраз найбiльш популярнi iз них тут i будуть поданi.

Теорема 5.4. Множина K точок метричного простору X є компактною множиною тодi i тiльки тодi, коли будь-яка спадна послiдовнiсть (Fn) непорожнiх замкнених пiдмножин множини K має непорожнiй перерiз (термiн "спадна"тут означає, що F1 F2 . . . Fn . . .).

Доведення. Необхiднiсть. Нехай K – компактна множина i нехай послiдовнiсть (Fn) є послiдовнiсть непорожнiх замкнених пiдмножин множини K. З кожної множини Fn вiзьмемо точку xn. Отримаємо послiдовнiсть (xn) точок множини K. Оскiльки за умовою K – компакт, то з цiєї послiдовностi можна видiлити

пiдпослiдовнiсть (xnk ), для якої lim xnk = x◦ K. Доведемо,

k→∞

∞

що x◦ T Fn. Якщо послiдовнiсть (xnk ) фiнально стала, тоб-

n=1

то iснує k◦ таке, що для всiх k ≥ k◦ xnk = x◦, то для всiх

119

	∞
	nT
k ≥ k◦ x◦ Fnk , а отже, для всiх n x◦ Fn i x◦	=1 Fn.

Якщо ж пiдпослiдовнiсть (xnk ) не є фiнально сталою, то, врахувавши, що послiдовнiсть (Fn) є спадною, маємо, що для кожного n всi тi члени пiдпослiдовностi (xnk ), для яких nk > n, належать Fn. Отже, x◦ є границею деякої послiдовностi точок

множини Fn, причому їй належить, бо Fn замкнена множи-

∞

на. Звiдси випливає, що i у цьому випадку x◦ T Fn.Отож,

n=1

справдi, будь-яка спадна послiдовнiсть непорожнiх замкнених пiдмножин компакту K має непорожнiй перерiз.

Достатнiсть. Припустимо, що iснує метричний простiр X i множина K така, що хоча будь-яка спадна послiдовнiсть (Fn) непорожнiх замкнених пiдмножин множини K має непорожнiй перерiз, однак K не є компактною множиною. Зрозумiло, що множина K або незамкнена, або замкнена. Якщо K незамкнена, то вона має хоч одну граничну точку x◦, яка K не належить. Але тодi iснує послiдовнiсть (xn) попарно рiзних точок множи-

ни K, для якої lim xn = x◦. А оскiльки збiжна послiдовнiсть

n→∞

може мати не бiльше однiєї граничної точки, то послiдовнiсть (Fn) = ({xn, xn+1, . . .}) є спадною послiдовнiстю непорожнiх замкнених пiдмножин множини K, яка має порожнiй перерiз, що суперечить умовi. Отже, K – замкнена множина. Оскiльки в силу припущення вона не є компактом, то iснує послiдовнiсть (xn) точок множини K з попарно рiзними членами така, що з неї не можна видiлити збiжну пiдпослiдовнiсть. Звiдси випливає, що множина членiв цiєї послiдовностi не має жодної граничної точки у метричному просторi X. Тодi очевидно, що кожна з множин Fn = {xn, xn+1, . . .} не має жодної граничної точки, а отже, є замкненою. Знову маємо спадну послiдовнiсть (Fn) непорожнiх замкнених пiдмножин множини K, яка має порожнiй перерiз. Отож припущення, що iснує некомпактна множина, будь-яка спадна послiдовнiсть її непорожнiх замкне-

120