metritchni_proct

А отже, для ε = 12 i для будь-якого n iснує x [0; 1] таке, що

|fn(x) − f◦(x)| = 12, тобто задана послiдовнiсть збiгається до

f (x) нерiвномiрно i f (x) не може бути її границею у просторi
◦	◦			πx
C[0, 1]. 1.73. а) 0; б) 0; в) x; г) |x|; д) 1; е) 0; є)					; ж) 0; з) ln x;
				2
и)	x,	якщо 1 < x ≤ 2.
	1,	якщо	0 ≤ x ≤ 1,

Вказiвка. Перевiрити, що кожна iз заданих послiдовностей збiгається рiвномiрно до граничної функцiї на вiдповiдному вiдрiзку. 1.74. Розв’язання. Оскiльки

1

1

nx

Z

n2x2

1

Z

dx

d

, 0 =

2

=

−

(1 + n2x2)2

(1 + n2x2)2 dx

1 + n2x2

0

0

1

− Z

(1 + n2x2)2

1

=

n arctg nx

0

−

2(1 + n2x2)+

2

0

dx

1

1

x

1

1

1

1

1

1

arctg nx 0

2

2

+

=

arctg n −

2n

2n

2(n2 + 1)

i lim d

nx

, 0

= 0, то

lim

nx

= 0.

n→∞

1 + n2x2

n→∞ 1 + n2x2

1.75.Розв’язання. Нехай послiдовнiсть (fn) точок метричного

простору C

, d

, де d

1(

f, g

max

f(x)

−

g(x)

, збiгається

[a; b]

1

) = 0≤x≤1

|

|

до точки f

(x). Це означає, що

lim d

(f

, f

) = 0. Тодi

◦

n→∞ 1

n

◦

b

Z (fn(x) − f◦(x))2dx

1

≤

d2(fn, f◦) =

2

a

231

b

Z (0≤x≤1 | n − ◦

1

≤

|

=

− · 1 n ◦

a

f (x)

√b a

d (f , f ).

max

f (x) )2dx 2

а отже,

lim d

(f

, f

) = 0, тобто

lim f

(x) = f

(x) вiдносно

n→∞ 2

n

◦

n→∞

n

◦

евклiдової метрики.

1.76. а) 0; б) |x|. Розв’язання. Оскiльки

1

d

sx2 + √n, |x| =

sx2 + √n − |x| dx =

Z

1

1

2

1

2

1

−

1s

= 2 Z

x2 +

√n − 2x x2 +

√n

+ x2 dx

1

=

2

1

1

0

x3

x

2

1

3

1

1

2

2

= 2

2

√

−

x2 +

√

0

=

3

3

n

n

2

1

2

1

3

1

2

2

2

= 2

√

−

1 +

√

+

3√4

,

3

3

n

n

n3

n→∞

r

|

|

= 0

+ √n

то очевидно, що

lim d

x2

1

,

x

. А це й означає,

n→∞ r

| |

√n

що вiдносно евклiдової метрики lim

x2 +

1

=

x

. в) 0; г)

0. Розв’язання. Оскiльки

1

1

2 ln2 nx

2

d(fn, f◦) = 1

1

= −

2 ln2(2n) + ln2 n − 2 ln(2n)+

n2αx2 dx

21

R

ln2 x

n

1

1

i

lim

lim

ln x

= 0,

+ ln

+

2

nα

x→+∞ xα

= x→+∞ xα

ln nx

то lim d(f

, f ) = 0. А отже, в евклiдовiй метрицi

lim

=

n→∞

n

◦

n→∞ nαx

0; д) x. Розв’язання. Оскiльки

232

0≤x≤1

π

d(fn, f◦) =

π

(n sin n − x)2dx

1

=

Z

(n2 sin2

n

− 2nx sin n+

0

2

R

x

x

x

0

1

n2x

n3

x

x

x

2

+x2)dx

=

−

sin

2

− 2n3 sin

+ 2n2x cos

+

2

4

n

n

n

x3

π

1

π

n3

π

π

π π3

1

2

2

+

0

=

n2

−

sin

2

− 2n3 sin

+ 2πn2 cos

+

,

3

2

4

n

n

n

3

a

π

x3

2π

π

π

π3

x2 −

sin

− 2x3 sin

+ 2πx2 cos

+

=

2

4

x

x

x

3

π

x3

π

8π3

(2π)5

π

π3

=

x2

−

2

−

+

+ . . . − 2x3

−

+

2

4

x

3!x3

5!x5

x

3!x3

π5

π2

π4

π3

+

+ . . .

+ 2πx2 1 −

+

+ . . . +

=

5!x5

2!x2

4!x4

3

π

π

π3

π3

=

x2

−

x2

+

− 2πx2

+

+ 2πx2 −

2

2

3

3

−

+

π3

1

1

n→∞

x

π3

3

+

x2 =

x2

n

o

o

, то

lim d

n sin

, x

= 0.

1.79. а) Розв’язання. Нехай послiдовнiсть (fn) точок простору C[0;1] з рiвномiрною метрикою збiгається до точки f◦, тобто

nlim

d f

, f

◦) = nlim

max f (x)

−

f

(x)

|

= 0,

( n

0

x

≤

1

| n

◦

→∞

→∞

≤

i нехай p довiльне, але фiксоване, число (p ≥ 1). Тодi для по-

слiдовностi (fn) точок простору C[0; 1]

з метрикою dp маємо

1

1

1

d

p(

f

n

, f

0

f

x

f

x

pdx

p

≤

max

f

n

(x)

−

◦) =

|

n( ) −

◦( )|

0 0≤x≤1 |

R

R

1

= max |fn(x) − f◦(x)| = d(fn, f◦).

−f◦(x)| pdx p

233

А це й означає, що послiдовнiсть (fn) збiгається у середньому

порядку p до функцiї f◦. б) Нехай

2nx,

fn(x) = −2nx + 2,

0,

якщо	0 ≤ x ≤				1			,
						2n
якщо	1				1
				≤ x	≤				,
		2n					n
якщо	1		≤ x ≤ 1.
		n

Тодi для кожного n i функцiї f◦(x) ≡ 0

1

1

1

n

1

Z

Z

◦

|

|

≤

np

0

fn(x) pdx

0

11 .

dp(fn, f ) =

p

dx

p =

Оскiльки для будь-якого p

≥

1

1

> 0, то

lim

1

= 0. То-

p

1

му для кожного p ≥ 1

n→∞ np

nlim→∞ dp(fn, f◦) = 0 i послiдовнiсть (fn)

збiгається в середньому для будь-якого p ≥ 1. З другого боку,

d f , f

◦) =

max

f

(x)

−

f

(x)

|

= 1 i

nlim

d f , f

◦) = 1

,

( n

0

x

≤

1

| n

◦

( n

≤

→∞

тобто побудована послiдовнiсть не збiгається рiвномiрно до f◦. Легко переконатись, що послiдовнiсть не може збiгатись рiвномiрно нi до якої неперервної на вiдрiзку (0; 1) функцiї, яка не дорiвнює тотожно нулю.

в) Вказiвка.Розгляньте послiдовнiсть (nxn2 ).

234

г) Вказiвка. Iз функцiй виду

≤

≤

k

0,

якщо 0

−

x

i − 1

,

−

2kx 2i + 2,

якщо

x

,

−

k

≤

≤

2k

f

ki

(x) =

2i

1

i

2kx + 2i,

якщо

−

x

,

−

i

2k

≤

≤

k

0,

якщо

x

1,

k ≤

≤

де k = 1, 2, 3, . . . , i = 1, 2, . . . , k, побудувати послiдовнiсть

f11, f21, f22, f31, f32, f33, . . .

1.81. Вказiвка. а) Скористатись теоремою БольцаноВейєрштрасса i замкненiстю вiдрiзка [a; b]; б) скористатись теоремою Больцано-Вейєрштрасса i розгляньте, наприклад,

послiдовнiсть b − b −n a ; в) розгляньте, наприклад, послi-

довнiсть точок нескiнченного iнтервала (−∞; a) (na), якщо a < 0, (−n), якщо a ≥ 0.

1.82. Розв’язання. Нехай ((xn, yn)) послiдовнiсть точок множини A = {(x, y) | x2 +y2 ≤ 1}. Тодi для кожного n x2n +yn2 ≤ 1,

аотже, послiдовностi (xn), (yn) обмеженi (|xn| ≤ 1, |yn| ≤ 1).

З послiдовностi (xn) можна видiлити пiдпослiдовнiсть xnk ,

для якої lim xnk = x◦ i |x◦| ≤ 1. З послiдовностi (yn) вiзьмемо

k→∞

члени з номерами n1 < n2 < . . . < nk < . . .. Тодi послiдовностi

ynk

для кожного k

|ynk | ≤ 1 i xn2k + yn2k

≤ 1. З пiдпослi-

довностi

ynk

видiлимо пiдпослiдовнiсть

ynkr ,

для якої

lim y

= y

, i розглянемо послiдовнiсть (x

nkr

, y

nkr

) , яка є

r→∞

nkr

◦

пiдпослiдовнiстю заданої послiдовностi.

Очевидно, що

lim

x

nkr

, y

nkr

= (x

, y

),

r→∞

◦

◦

235

причому оскiльки для будь-якого r x2 + y2 ≤ 1, то i

nkr nkr

x2◦ + y◦2 ≤ 1, тобто точка (x◦, y◦) A. I цим показано, що з кожної послiдовностi точок множини A можна видiлити пiдпослiдовнiсть, яка збiгається до точки з цiєї множини; в) Вказiвка. Розгляньте послiдовнiсть ((0, n)).

1.83.Розв’язання. Нехай a < b, c < d, e < f. Паралелепiпед

П= {(x, y, z) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, e ≤ z ≤ f}

площинами x =	a + b	, y =	c + d	, z =	e + f	розiб’ємо на вiсiм
2		2		2

паралелепiпедiв. Принаймнi в одному з них мiститься безлiч членiв довiльно взятої послiдовностi ((xn, yn, zn)) точок паралелепiпеда П. Вiзьмемо один з них i позначимо через

П1 = {(x, y, z) | a1 ≤ x ≤ b1, c1 ≤ y ≤ d1, e1 ≤ z ≤ f1}.

Паралелепiпед П1 площинами
x =	a1 + b1	, y =	c1 + d1	, z =	e1 + f1
2		2		2

розiб’ємо на вiсiм паралелепiпедiв, вiзьмемо один iз тих, який мiстить безлiч точок членiв послiдовностi, i позначимо його через

П2 = {(x, y, z) | a2 ≤ x ≤ b2, c2 ≤ y ≤ d2, e2 ≤ z ≤ f2}.

Продовжимо цю процедуру необмежено. Матимемо послiдов-

нiсть паралелепiпедiв Пn , кожен з яких мiстить безлiч членiв

послiдовностi (xn, yn, zn) , причому

П П1 П2 . . . Пn . . . .

Нехай (xn1 , yn1 , zn1 ) член послiдовностi, який належить П1, (xn2 , yn2 , zn2 ) (n1 < n2) член послiдовностi, який належить

236

П2, . . ., (xnk , ynk , znk ) (n1 < n2 < . . . < nk) член послiдовностi, який належить Пk, . . .. У такий спосiб ми дiстає-

мо послiдовнiсть (xnk , ynk , znk ) , де n1 < n2 < . . . < nk <

. . ., тобто пiдпослiдовнiсть заданої послiдовностi. Доведемо, що вона збiгається до точки з множини П. Справдi, послiдовнiсть паралелепiпедiв породжує три послiдовностi вiдрiзкiв ([ak, bk]), ([ck, dk]), ([ek, fk]), кожна з яких є стяжною послiдовнiстю вкладених вiдрiзкiв. За побудовою для кожного k

xnk [ak, bk], ynk [ck, dk], znk [ek, fk].

Якщо x◦ – точка, яка належить всiм вiдрiзкам першої, y◦ – точка, яка належить всiм вiдрiзкам другої, z◦ – точка, яка належить всiм вiдрiзкам третьої послiдовностi, то

lim x		= x	,	lim y		= y	,	lim z		= z	,
k→∞	nk	◦		k→∞	nk	◦		k→∞	nk	◦

тобто пiдпослiдовнiсть (xnk , ynk , znk ) збiгається покоординатно до точки (x◦, y◦, z◦). А це й означає, що

lim xnk , ynk , znk = (x◦, y◦, z◦).

k→∞

I той факт, що П – компакт, доведено. Якщо a < b, c < d, e ≤ f, то

П = {(x, y, z) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, z = e},

i доведення проводиться як у прикладi 2. Якщо ж a < b, c = d, e = f, то

П = {(x, c, e) | a ≤ x ≤ b, y = c, z = e},

i фактично маємо справу з вiдрiзком.

1.84. Розв’язання. Нехай (anx2) – послiдовнiсть точок множини A1. Оскiльки для будь-якого n |an| ≤ 1, то з числової послiдовностi (an) можна видiлити збiжну пiдпослiдовнiсть (ank ),

237

причому якщо klim→∞ ank	= a◦, то |a◦| ≤ 1. Покажемо, що пiдпо-
слiдовнiсть (ank x2) збiгається i
	lim a				x2		= a	x2.
	k→∞			nk			◦
Справдi, оскiльки lim a			= a			, то для будь-якого ε > 0 iснує
k→∞		nk			◦
k◦ таке, що для всiх k > k◦				|ank − a◦| < ε. Тодi для будь-якого
k > k◦

d a

nk

x2, a

x2

= max a

nk

x2

−

a

x2

|

= a

nk

−

a

◦|

< ε,

◦

0

x

1

|

◦

|

≤ ≤

тобто пiдпослiдовнiсть (ank x2) збiгається рiвномiрно до a◦x2 на вiдрiзку [0; 1], що еквiвалентно збiжностi її до функцiї a◦x2 вiдносно рiвномiрної метрики.

в) Вказiвка. Нехай P (k)(x) послiдовнiсть многочленiв, степiнь кожного з яких не перевищує n i

|a◦(k)| ≤ 1,			|a1(k)| ≤ 1,			. . . ,		|an(k)| ≤ 1.
Оскiльки кожна		з числових		послiдовностей					(a◦(k)), (a1(k)), . . .,
(a(k)) обмежена, то з послiдовностi							a(k), a(k), . . . , a(k)				можна
n							◦	1	n		, при-
чому, якщо						a◦		, a1	, . . . , an
видiлити збiжну пiдпослiдовнiсть							(kr)	(kr)	(kr)
r→∞	◦	1	n		=		◦	1	n
lim a(kr)		, a(kr)	, . . . , a(kr)			a(◦), a(◦), . . . , a(◦)					,
то |a◦(◦)| ≤ 1,	|a1(◦)| ≤ 1, . . . ,				|an(◦)| ≤ 1. n(+1Тут мова йде про
збiжнiсть в евклiдовiй метрицi простору R									, а отже, у будь-

якiй еквiвалентнiй їй метрицi). Покажемо, що пiдпослiдовнiсть

a(◦kr)xn + a(1kr)xn−1 + · · · + a(nk−r1) x + a(nkr)

238

збiгається до многочлена a(◦◦)xn + a(1◦)xn−1 + · · · + a(n◦−)1x + a(n◦). Справдi, оскiльки

r→∞	◦	1	n		◦	1	n
lim	a(kr), a(kr)		, . . . , a(kr)	=	a(◦), a(◦)		, . . . , a(◦)	,

то ε > 0 r◦ таке, що r > r◦

|a(◦kr) − a(◦◦)| + |a(1kr) − a(1◦)| + · · · + |a(nkr) − a(n◦)| < ε.

Тодi для будь-якого r > r◦

d a◦(kr)xn + a1(kr)xn−1 + · · · + an(k−r1) x + an(kr),

a◦(◦)xn + a1(◦)xn−1 + · · · + an(◦−)1x + an(◦) =

· · ·

= 0≤x≤1

◦

−

◦

1

−

1

max

(a(kr)

a(◦))xn + (a(kr)

a(◦))xn−1 +

+

+(a

(kr)

a

(

)

)x + (a

(k

)

( )

)

n−1

◦

r

−

a ◦

≤

−

n−1

n

n

max

a

(kr)

(

)

x

n

+

(kr)

(

)

n

1

+

+

◦

−

a ◦

|

a1

a1◦

|

x −

· · ·

≤ 0≤x≤1 |

◦

|

−

+|a(nk−r1) − a(n◦−)1|x + |a(nkr) − a(n◦)| ≤ |a(◦kr) − a(◦◦)| +

+|a(1kr) − a(1◦)| + · · · + |a(nkr) − a(n◦)| < ε,

тобто ця пiдпослiдовнiсть збiгається рiвномiрно до многочлена a(◦◦)xn + a(1◦)xn−1 + · · · + a(n◦−)1x + a(n◦) на вiдрiзку [0; 1], що еквiвалентно збiжностi її до цього многочлена вiдносно рiвномiрної метрики. Отже, показано, що з будь-якої послiдовностi точок множини A3 можна видiлити пiдпослiдовнiсть, яка збiгається до точки цiєї множини. А це й означає, що A3 – компакт ; г) Вiдносно компактна, але не компактна; д) Вiдносно компактна, але не компактна; е) Нi. Вказiвка. Розгляньте послiдовнiсть функцiй (fn(x)) = (n); ж) Нi. Вказiвка. Розгляньте

239

≥ fm

= M,

послiдовнiсть (xn); з) Розв’язання. Розглянемо послiдовнiсть

функцiй (fn(x)) = (M sin 2nπx), де M > 0. Тодi для будь-яких

1 m, n (m < n)) у точцi 2m+1

fm

1

= M sin

π

= M,

fn

1

= M sinn−m−1 π = 0.

2m+1

2

2m+1

А отже,

0≤x≤1

(

m

n) =

M sin 2mπ

−

M sin 2nπ

≥

d f

, f

1

max

1

2m+1 − fn 2m+1

тобто вiдстань мiж будь-якими двома рiзними членами заданої послiдовностi не менша M, i видiлити з цiєї послiдовностi функцiй збiжну пiдпослiдовнiсть неможливо; и) Вказiвка. Дивись з).

1.85. Розв’язання. Нехай K компактна множина, i нехай A непорожня замкнена пiдмножина множини K. Якщо A скiнченна, то її компактнiсть очевидна. Якщо ж A нескiнченна i (xn) послiдовнiсть точок цiєї множини, то вона є одночасно послiдовнiстю точок множини K, що дає можливiсть видiлити з

неї пiдпослiдовнiсть (xnk ) таку, що lim xnk = x◦ K. Якщо

k→∞

ця послiдовнiсть є фiнально сталою, то x◦ A. У противному випадку x◦ є граничною для множини A, а отже, в силу замкненостi множини A їй належить. Отож показано, що з будь-якої послiдовностi (xn) точок множини A можна видiлити пiдпослiдовнiсть, границя якої належить A. А це й означає, що A компактна.

1.87. Розв’язання. Необхiднiсть. Нехай K – компакт, i нехай A довiльна нескiнченна пiдмножина множини K. Вiзьмемо послiдовнiсть (xn) точок множини A, всi члени якої рiзнi. З цiєї послiдовностi, як послiдовностi точок множини K, можна

240