metritchni_proct

тобто не iснує метричного простору i у ньому замкненої кулi, яка б не була замкненою множиною.

Зауваження 1. Будь-який метричний простiр X є одночасно i вiдкрита, i замкнена множина. Вiдкритою i замкненою множиною слiд вважати i порожню множину (для множини, яка немає елементiв, справедливi будь-якi властивостi про її елементи). Бiльше того, iснують метричнi простори, у яких крiм самої множини X i є iншi одночасно вiдкритi i замкненi множини, а у метричному просторi з дискретною метрикою всi його пiдмножини є одночасно i вiдкритi, i замкненi.

Зауваження 2. Будь-яка скiнченна пiдмножина точок метричного простору є замкненою (вона не має жодної граничної точки). У зв’язку з цим будь-яка пiдмножина скiнченного метричного простору є замкненою або вiдкритою. Але це зовсiм не означає, що у будь-якому метричному просторi кожна його пiдмножина є замкненою або вiдкритою. Так, наприклад, у метричному просторi R з природною метрикою множина (0, 1] нi вiдкрита,нi замкнена. Справдi, кожна куля B(0, r) мiстить принаймнi точку з множини (0, 1], тобто точка 0 гранична точка множини (0; 1]. Однак 0 (0, 1] i множина (0, 1] не є замкненою. З другого боку, будь-яка куля B(1, r) мiстить як точки з множини (0, 1], так i точки, якi цiй множинi не належать, тобто точка 1 не є внутрiшньою точкою множини (0; 1]. Отже, ця множина не є вiдкритою.

Нехай маємо метричний простiр X, i нехай A i B множини точок цього простору. Над цими множинами можна виконати теоретико-множиннi операцiї: унарну – доповнення, бiнарнi – об’єднання i перетин. Отож природно дослiдити, що буде результатом цих оперцiй над множинами певного класу.

Розпочнемо з операцiї доповнення. Нехай G – вiдкрита множина. Переконаємось, що її доповнення CG = X \G є замкнена множина, тобто CG мiстить всi свої граничнi точки.

Припустимо, що iснує точка x◦ X, яка є граничною для

71

множини CG, але їй не належить. Тодi x◦ G i в силу того, що G вiдкрита множина, iснує куля B(x◦, r), яка є пiдмножиною G, тобто не мiстить жодної точки з CG. Останнє суперечить нашому припущенню. Отже, у будь-якому метричному просторi доповнення будь-якої вiдкритої множини є множина замкнена.

Нехай F – замкнена множина. Доведемо, що CF вiдкрита множина.

Припустимо, що CF не є вiдкритою, тобто, що iснує точка x◦, яка належить множинi CF , але не є внутрiшньою точкою цiєї множини. Це означає, що кожна куля B(x◦, r) мiстить хоч одну точку з множини F (звичайно вiдмiнну вiд x◦, бо x◦ F ), а отже, x◦ – гранична точка множини F , тобто x◦ F . Отож маємо точку x◦, яка належить як множинi CF , так i множинi F . Одержане протирiччя i свiдчить про те, що наше припущення невiрне, а отже, у будь-якому метричному просторi доповнення до будь-якої замкненої множини є множина вiдкрита.

Як результат маємо теорему.

Теорема 3.1 Для того, щоб множина A точок метричного простору X була вiдкритою, необхiдно i достатньо, щоб її доповнення CA до простору X було замкненим.

Нехай G1 i G2 – вiдкритi множини точок метричного простору X. Доведемо, що їх об’єднання є вiдкрита множина.

Справдi, якщо x◦ G1 G2, то x◦ G1 або x◦ G2. Нехай для означеностi, x◦ G1. Тодi iснує куля B(x◦, r), яка є пiдмножиною множини G1, а отже, множини G1 G2. Таким чином, для кожної точки x◦ G1 G2 iснує куля B(x◦, r), яка є пiдмножиною множини G1 G2, тобто кожна точка множини G1 G2 є внутрiшньою.

Цей результат можна узагальнити на будь-яке скiнченне число вiдкритих множин. Бiльше того, виявляється, що вiдкритою множиною буде об’єднання будь-якої сукупностi вiдкритих множин.

72

S

Домовимось надалi символом Aα позначати множину,

α Λ

елементами якої є тi i тiльки тi елементи, якi належать принаймнi однiй множинi сiмейства множин {Aα | α Λ} (тут значок α може пробiгати як скiнченну, так i нескiнченну множину, зокрема якщо α = 1, 2, то використовують стандартний запис

					n
	∞				kS
A1 A2, якщо α = 1, n, то записують					Ak, якщо α N, то
	{Sα |	Λ}			=1
записують
	An	).
Нехай	n=1			– сiмейство вiдкритих множин метри-
	G α

S

чного простору X, i нехай G = Gα об’єднання множин цього

α Λ

сiмейства. Доведемо, що G – вiдкрита множина.

Справдi, нехай x◦ довiльна точка множини G i нехай Gα◦ одна з множин, якiй належить точка x◦. Тодi iснує куля B(x◦, r) така, що B(x◦, r) Gα◦ . Оскiльки для кожного α Λ Gα G, то B(x◦, r) G. А це й означає, що кожна точка множини G є внутрiшньою, тобто множина G вiдкрита.

Як результат, формулюємо теорему.

Теорема 3.2 Об’єднання будь-якого сiмейства вiдкритих множин є вiдкрита множина.

Нехай маємо скiнченне число вiдкритих множин G1, G2, . . . , Gn. Перерiз цих множин, тобто множину, елементами якої є тi i тiльки тi елементи, якi належать кожнiй з

	n
множин, будемо позначати так	T Gk. Доведемо, що множина

k=1

n

T

G = Gk є вiдкритою.

k=1

Справдi, нехай x◦ G. Тодi x◦ елемент кожної з множин G1, G2, . . . , Gn, а оскiльки вони вiдкритi, то iснують кулi B(x◦, r1), B(x◦, r2), . . . , B(x◦, rn) , кожна з яких є пiдмножиною вiдповiдної вiдкритої множини. Нехай r = min rk. То-

k=1,n

73

дi для кожного i = 1, n B(x◦, r◦) B(x◦, ri) Gi, а отже, B(x◦, r◦) G. Останнє означає, що кожна точка множини G є внутрiшньою, тобто множина G вiдкрита.

Теорема 3.3 Перерiз скiнченного числа вiдкритих множин є вiдкрита множина.

Зауваження. Слiд звернути увагу на рiзницю у формулюваннi теорем 1.3.2 i 1.3.3 (об’єднання будь-якого сiмейства вiдкритих множин є множина вiдкрита, однак перерiз скiнченного числа вiдкритих множин є множина вiдкрита). Якщо сiмейство вiдкритих множин не є скiнченним, то перерiз усiх множин цього сiмейства може бути вiдкритим (наприклад, у випадку, коли принаймнi двi множини не мають спiльних точок), а може

таким i не бути	∞	1	1
	n=1(−n		; n) = {0} .
	T

Що стосується замкнених множин, то скориставшись принципом двоїстостi для теоретико-множинних операцiй доповнення, об’єднання i перерiзу, згiдно якого

C	α Aα	=	α	CAα, C	α Aα	=	α CAα
	[		\		\		[

i теоремами 1.3.1–1.3.3, робимо висновок, що iстинними будуть такi теореми.

Теорема 3.4 Перерiз будь-якої сiм’ї замкнених множин є множина замкнена.

Теорема 3.5 Об’єднання скiнченного числа замкнених множин є множина замкнена.

На завершення видiлимо ще два класи множин точок метричного простору.

74

Означення 3.10 Множина A точок метричного простору X називається щiльною у множинi B, якщо B є пiдмножиною замикання множини A, тобто якщо B A. Зокрема, множина A називається скрiзь щiльною у просторi X, якщо

A = X.

Означення 3.11 Множина A точок метричного простору X називається нiде не щiльною, якщо вона не є щiльною у жоднiй кулi цього простору.

Як iлюстрацiю, розглянемо метричний простiр R з природною метрикою. Покажемо, що множина Q є скрiзь щiльною у просторi R. Справдi, оскiльки кожен окiл iррацiональної точки мiстить принаймнi одну рацiональну точку, то кожна iррацiональна точка є граничною точкою множини Q, тобто замикання множини Q є множина R. Тривiальним прикладом нiде не щiльної множини точок метричного простору R є будь-яка скiнченна множина.

Теорема 3.6 Множина A точок метричного простору X скрiзь щiльна тодi i тiльки тодi, коли будь-яка куля B(x◦, r) мiстить точки з множини A.

Доведення. Необхiднiсть. Нехай множина A скрiзь щiльна у просторi X, тобто A = X, i нехай B(x, r) довiльна куля з центром у точцi x i радiусом r. Якщо центр кулi x A, то очевидно, що така куля мiстить точки з A. Якщо ж x / A, то, враховуючи, що x A, маємо, що x – гранична точка множини A. Згiдно з означенням кожна куля з центром у цiй точцi мiстить точку з множини A.

Достатнiсть. Нехай будь-яка куля B(x, r) мiстить хоч одну точку з множини A, i нехай x◦ – довiльна, але фiксована точка простору X. Тодi за умовою кожна куля B(x◦, r) мiстить хоч

75

одну точку з A, а отже, або x◦ A, або x◦ A. В останньому випадку x◦ – гранична точка множини A. Звiдси випливає, що X A A0 = A. Враховуючи те, що замикання множини A точок метричного простору X є пiдмножиною простору X, маємо, що A = X. А це й означає, що A скрiзь щiльна у просторi

X.

Приклад 6. Нехай α – довiльне iррацiональне число. Довести, що множина A = {m + nα | m, n Z} скрiзь щiльна у просторi R.

Розв’язання. Для доведення досить показати, що для будьякого iнтервалу (a, b) iснують m, n Z} такi, що m+αn (a, b). ( Чому ?).

Оскiльки для кожного k N число kα є iррацiональне, то iснують цiлi числа nk, nk + 1 такi, що nk < kα < nk + 1. Тодi кожен член послiдовностi (xk) = (kα − nk) належить iнтервалу (0, 1). Нехай (a, b) – довiльний, але фiксований, iнтервал. Роз-

глянемо множину тих натуральних чисел l, для яких 1l < b − a.

Для кожного такого l серед перших l+1-го членiв послiдовностi (xk) знайдеться принаймнi два таких, що

|xk1 − xk2 | < 1l

l

P

(iнакше |xk − xk+1| > 1, а це можливо тодi, коли хоч одне

k=1

xk (0; 1)). Позначимо |xk1 −xk2 | через 4 i розглянемо множину {s 4 | s Z}. Оскiльки 0 < 4 < b − a, то iснує цiле число s◦ таке, що s◦4 (a; b). Якщо, для означеностi, вважати, що

xk1 > xk2 , то s◦4 = s◦(xk1 − xk2 ) = s◦(k1α − nk1 − k2α + nk2 ) = = −s◦nk1 + s◦nk2 + s◦(k1 − k2)α, де s◦(nk2 − nk1 ) i s◦(k2 − k1) –

цiлi числа. Отже, яким би не був iнтервал (a; b), iснує число

m + nα, де m = s◦(nk2 − nk1 ),	n = s◦(k1 − k2), яке належить
цьому iнтервалу.

76

Теорема 3.7 Множина A точок метричного простору X нiде не щiльна тодi i тiльки тодi, коли для будь-якої кулi B(x, r) iснує куля B(x0, ε) така, що B(x0, ε) B(x, r) i

B(x0, ε) ∩ A = .

Доведення. Необхiднiсть. Нехай множина A точок метричного простору X нiде не щiльна у множинi X, тобто якою б не була куля B(x, r), iснує точка x◦ B(x, r) така, що x◦ / A. Але тодi iснує куля B(x◦, ε), яка не мiстить жодної точки з множини A. Звiдси маємо, що B(x◦, ε) B(x, r) i B(x◦, ε) ∩ A = .

Достатнiсть. Нехай для кожної кулi B(x, r) iснує куля

B(x0, ε) така, що B(x0, ε) B(x, r) i B(x0, ε) ∩ A = . Припустимо, що iснує куля B(x, r), у якiй множина A щiльна, тобто B(x, r) A. Але тодi у цiй кулi не мiститься такої кулi, у якiй не має жодної точки з множини A. Останнє суперечить умовi. Приклад 7. Довести, що канторова множина нiде не щiльна. Розв’язання. Канторова множина означається у такий спо-

сiб. Вiдрiзок [0, 1] подiлимо на три рiвнi частини точками																										1	,	2
																												3
	1						2													3,	3		3
i вилучимо з нього iнтервал																				1	2			. Кожний з двох вiдрiз-
h	3i1						h2							i							7		8
кiв 0,					,				3			,		1	подiлимо на три рiвнi частини ( перший –
точками						,					, другий – точками											,			) i вилучимо з них iн-
				9				9													9			9
					1					2					7		8
тервали							,							,		,			. Далi кожен з чотирьох вiдрiзкiв, якi
					9		9								9		9

залишились, дiлимо на три рiвнi частини i вилучаємо з кожного серединний iнтервал (рис.12).

Рис. 12

Цей процес продовжимо необмежено. Очевидно,що пiсля n- го вилучення iнтервалiв залишається 2n вiдрiзкiв, кожен з яких

77

має довжину 3−n. Якраз множину тих точок вiдрiзка [0; 1], якi залишаються пiсля процедури вилучення, називають канторовою множиною i позначають P◦. Можна переконатись, що ця множина замкнена, бiльше того досконала. Покажемо, що вона нiде не щiльна.

Вiзьмемо будь-який iнтервал (a; b). Якщо (a; b) ∩ P◦ = , то за iнтервал, який мiститься в iнтервалi (a; b) i не мiстить жодної точки з множини P◦, вiзьмемо його ж. Якщо ж (a; b) ∩ P◦ 6= i x◦ точка з цього перерiзу, то iснує n таке, що пiсля n-го вилучення один з вiдрiзкiв мiститься в iнтервалi (a; b). В силу означеної процедури побудови множини P◦ iнтервал довжини 3−n−1 з центром у серединi цього вiдрiзка не мiстить жодної точки з множини P◦. А це й означає, що множина P◦ нiде не щiльна.

Задачi для практичних занять i самостiйного розв’язування

1.41Нехай C[0;π] надiлено евклiдовою метрикою. Чи належать точки

				2
f1(x) = x,			f2(x) = 1 − |				x	− 1|,
					π
	1		f4(x) = −	4x2					4x
f3(x) =		,				+
	2			π2					π

кулi B(sin x, 1)? Яка з цих точок є найближчою до центра кулi?

1.42 Множина R надiлена метрикою

d(x, y) = ln(1 + |x − y|).

Знайти перерiз двох куль B 0, 12 i B 12, 12 .

78

1.43Нехай множина N надiлена метрикою: для будь-яких m, n N

d(m, n) =	1 +	1		,	якщо	m = n
	0,				якщо	m = n,
						6
		min(m, n)

Довести, що кожна куля у цьому метричному просторi мiстить або одну точку, або безлiч точок.

1.44Довести, що у метричному просторi

а) для будь-яких рiзних точок iснують неперекривнi кулi

з центрами у цих точках ;

б) множина точок обмежена тодi i тiльки тодi, коли iснує куля, яка мiстить всi точки цiєї множини ;

в) для двох куль з непорожнiм перерiзом iснує куля, яка

є пiдмножиною кожної з цих куль.

1.45Довести, що у метричному просторi C[0;1] з рiвномiрною метрикою точка f1(x) = x2 − x − 1 є внутрiшньою точкою

множини A = { f | f C[0;1], f(x) < x}, а точка f2(x) = x

є межовою i граничною для цiєї ж множини.

1.46Знайти для множини A множини A◦, ∂A, A0, A, CA, (CA)◦, якщо A множина точок метричного простору R2 з евклiдовою метрикою означається так:

а) A = n(x, y) |	−2 1 ≤2x ≤ 1, −1 < y ≤ 1o;
б) A = n(x, y) |	x + y − 2x + 2y − 2 ≤ 0o;

no

в) A = (x, y) | x, y Q ;

1.47 Знайти для множини A множини ∂A i ∂A \ A, якщо A множина точок або метричного простору R, або метричного простору R2 (обидва з евклiдовою метрикою)

79

означається так:

1

а) A = n(−1)n +

| n1 No;

n

б) A = nx |

x R, sin x = 0o;

в) A =

x

x

[0; 1], x

Q ;

n

|

2

2

1 o

г) A = n(x, y) |

x2 + y 2

=

, n No;

n

4n + 1

д)

A = n(x,

y

x

y

x

y

− 2 =

, n

No;

1) |

+

+ 2 − 2

n2

е) A = (x,

) | x R, n N ;

n

n

1

1

o

є) A = n(

n1, y) | n N, |y| ≤

o;

n

ж) A = n(

, y) | n N, |y| ≤ n1o;

n

з) A = n(x, y) |

x, y R, sin

= 0o;

x + y

n o

и) A = (x, y) | mx2 + ny2 = 1, m, n N .

1.48Нехай множини R та R2 надiленi евклiдовою метрикою. Означити множини, якi мають: а) одну граничну точку ; б) двi граничнi точки ; в) три граничнi точки.

1.49Довести, що для будь-якої множини A точок метричного простору множини ∂A, A0, A замкненi.

1.50Довести, що для будь-якої множини A точок метричного простору такi три властивостi еквiвалентнi:

а) A0 A; б) A = A;

в) ∂A A; г) для будь-якого x / A d(x, A) > 0.

На пiдставi цього сформулювати три еквiвалентних означення замкненої множини.

1.51 Довести, що для будь-якої множини A точок метричного

80