metritchni_proct

що d(x1, x2) > ε◦ Для обраних точок x1 i x2 iснує точка x3 X така, що d(x1, x3) > ε◦ , d(x2, x3) > ε◦. I, взагалi, коли вiдiбрано множину {x1, x2, . . . , xn−1} точок простору X таку, що для будь-яких xi, xj (i 6= j) d(xi, xj) > ε◦, то знайдеться точка xn X така, що

d(x1, xn) > ε◦, d(x2, xn) > ε◦, . . . , d(xn−1, xn) > ε◦.

(У противному випадку множина {x1, x2, . . . , xn} була б скiнченною ε◦ – сiткою для X ).

Продовжимо цю процедуру необмежено. Як результат дiстанемо послiдовнiсть (xn) точок метричного простору X таку, що для будь-яких i 6= j d(xi, xj) > ε◦. А з такої послiдовностi неможливо вибрати збiжну пiдпослiдовнiсть. Останнє суперечить тому, що X компакт.

Достатнiсть. Нехай (X, d) – цiлком обмежений i повний метричний простiр, i нехай (xn) довiльна послiдовнiсть точок цього простору. Покажемо, що з неї можна видiлити збiжну пiдпослiдовнiсть.

Оскiльки простiр X цiлком обмежений, то для кожного ε > 0 iснує скiнченна ε–сiтка, тобто скiнченна множина Nε =

= {y1, y2, . . . , yn}, що для кожного x X iснує yk Nε таке, що d(x, yk) < ε. Це означає, що кожна точка x X попаде принаймнi в одну кулю B(yk, ε) i

[

X = B(y, ε),

y Nε

тобто скiнченна ε – сiтка породжує покриття простору X скiнченним числом куль з центрами у точках множини Nε радiуса

ε.

Покладемо ε = 1, 12, . . .. Тодi скiнченна 1–сiтка N1 поро-

джує скiнченне покриття простору X кулями з центрами у точках множини N1 радiуса 1. Позначимо через B1 одну з

181

) < n2 ,

тих куль, яка мiстить нескiнченне число членiв послiдовностi (xn), i члени видiленої пiдпослiдовностi занумеруємо так:

1

(x11, x12, . . . , x1k, . . .). Скiнченна 2–сiтка N2 породжує скiнченне покриття простору X кулями з центрами у точках множини

N2 радiуса 12. Позначимо через B2 одну з тих куль, яка мiстить

нескiнченне число членiв послiдовностi (x1k), i члени видiленої пiдпослiдовностi занумеруємо так: (x21, x22, . . . , x2k, . . .). Цю процедуру можна продовжити необмежено, вибираючи кожного разу з покриття простору X кулями з центрами у точках

скiнченної n1 –сiтки Nn (позначимо її через Bn ) радiуса n1 одну з тих, яка мiстить нескiнченне число членiв, пiдпослiдовностi (xn−1,k), i нумеруючи їх так: (xn1, xn2, . . . , xnk, . . .). Вибранi у такий спосiб пiдпослiдовностi запишемо у виглядi таблицi:

x11, x12, . . . , x1k, . . . , x21, x22, . . . , x2k, . . . ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xn1, xn2, . . . , xnk, . . . ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Очевидно, що кожен рядок є пiдпослiдовнiстю попереднього,

i кожен член послiдовностi в n–му				рядку мiститься у ку-
лi радiуса	1	. Виберемо з	кожного рядка тi члени, якi сто-
	n		таблицi. Дiстанемо		послiдовнiсть
ять на головнiй дiагоналi
(x11, x22, . . . , xnn, . . .), яка			є пiдпослiдовнiстю		послiдовностi
(xn). Очевидно, що для будь-яких n i p				xn,n i xn+p,n+p належать

кулi Bn (куля радiуса n1 , яка мiстить всi члени послiдовностi (xnk)), а отже,

d(xnn, xn+p,n+p) ≤ d(xnn, a) + d(a, xn+p,n+p

182

де a – центр кулi Bn. Звiдси випливає, що послiдовнiсть (xnn) фундаментальна i в силу повноти простору X збiжна. Цим компактнiсть простору X доведена. Наслiдок. Множина K точок повного метричного простору X є компактною тодi i тiльки тодi, коли вона цiлком обмежена

i замкнена.

Приклад 8. Довести, що гiльбертова "цеглина"є компактна множина.

Розв’язання. Гiльбертовою "цеглиною"називають множину точок простору l2 такого виду

Q∞ = {(xn) | 0 ≤ xn ≤ n1 , n N}.

Позначимо через Qn множину тих точок з Q∞, у яких всi координати, починаючи з n + 1 –ої, дорiвнюють нулю, тобто

Qn = {(x1, x2, . . . , xn, 0, 0, . . .) | 0 ≤ x1 ≤ 1,

	1		1
0 ≤ x2 ≤		, . . . , 0	≤ xn ≤		}
	2			n

Кожна множина Qn як метричний простiр iзометрична пiдпростору

	1		1
Qn= {(x1, x2, . . . , xn) | 0 ≤ x1 ≤ 1, 0 ≤ x2 ≤		, . . . , 0	≤ xn ≤		}
	2			n

простору Rn з евклiдовою метрикою. А оскiльки кожна множина Qen замкнена, то замкненою буде i сама множина Qn. Тодi

множина

∞

\

Q∞ = Qn

n=1

замкнена. Нехай ε – довiльне додатне число. Виберемо n таке, що

∞	1		ε2
kX
	k2		< 4 .

=n+1

183

Оскiльки множина Qn точок метричного простору Rn з евклiдо-

вою метрикою обмежена, то вона цiлком обмежена. I тому для

неї iснує скiнченна

ε

–сiтка, тобто iснує множина

2

N 2ε = {a1, a2, . . . , am}, де

a1 = (a11, a12, . . . , a1n), a2 = (a21, a22, . . . , a2n), . . . ,

am = (am1, am2, . . . , amn)

що для

кожного

iснує

таке, що

x = (x1, x2, . . . , xn)

Qn

ak

ε

d(x, ak) <

. Якщо тепер (xk) довiльна точка з Q∞, то

2

d((xk), (x1, x2, . . . , xn, 0, 0, . . .)) =

vv

∞	∞ 1		<	ε
= uk=n+1 xk2	≤ uk=n+1 k2			2
X	X
u	u
t	t

i

d((xk), (ak1, ak2, . . . , akn, 0, 0, . . .)) ≤

≤ d((xk), (x1, x2, . . . , xn, 0, 0, . . .)) +

+d((x1, x2, . . . , xn, 0, 0, . . .), (ak1, ak2, . . . , akn, 0, 0, . . .)) <

<	ε		+ d(x, ak) <		ε		+	ε		= ε
	2			2				2

Таким чином множина

n

Nε = (a11, a12, . . . , a1n, 0, 0, . . .), (a21, a22, . . . , a2n, 0, 0, . . .), . . .

o

(am1, am2, . . . , amn0, 0, . . .)

є скiнченною ε–сiткою для множини Q∞, тобто ця множина цiлком обмежена. Отже, ми показали, що множина Q∞ замкнена i цiлком обмежена, i тому вона компактна.

184

Щодо простору C[a;b] з рiвномiрною метрикою, то зазначимо, що замкнена множина A точок цього простору буде компактною тодi i тiльки тодi, коли вона рiвномiрно обмежена i рiвностепенево (одностайно, в однаковiй мiрi) неперервна, де рiвномiрна обмеженiсть означає, що iснує M > 0 таке, що для всiх f A i всiх x [a; b] |f(x)| ≤ M, а рiвностепенева неперервнiсть означає, що для будь-якого ε > 0 iснує δ > 0 таке, що для всiх f A i будь-яких x0, x00 [a; b], якi задовольняють нерiвнiсть |x0 − x00| < δ, виконується нерiвнiсть |f(x0) − f(x00)| < ε. Якщо ж множина A точок простору C[a;b] з рiвномiрною метрикою є рiвномiрно обмежена i рiвностепенево неперервна, то вона вiдносно компактна.

Приклад 9. Довести, що множина

KL = {f | f C[0;1], f(0) = 0, x0, x00 [0; 1]

|f(x0) − f(x00)| ≤ L|x0 − x00|},

де L > 0, компактна у просторi C[0;1] з рiвномiрною метрикою. Розв’язання. Множина KL є множина неперервних на вiдрiзку [0; 1] функцiй, кожна з яких задовольняє умову Лiпшиця з спiльною константою L i дорiвнює нулю у точцi нуль. З цього випливає, що для кожного f KL i будь-якого x [0; 1]

виконується нерiвнiсть |f(x)| ≤ Lx, тобто

KL {f | f C[0;1], |f(x)| ≤ Lx}.

Очевидним є включення у другу сторону. Це означає, що

KL = {f | f C[0;1], |f(x)| ≤ Lx},

а отже, множина KL замкнена. Крiм того, очевидно, що для будь-якої функцiї f KL i будь-якого x [0; 1] |f(x)| ≤ L, тобто множина KL рiвномiрно обмежена. А оскiльки для будьякого f KL i будь-яких x0, x00 [0; 1] виконується нерiвнiсть

|f(x0) − f(x00)| ≤ L|x0 − x00|,

185

то для будь-якого ε > 0, взявши δ = Lε , маємо, що як тiльки

|x0 − x00| < Lε , то |f(x0) − f(x00)| < ε, тобто множина KL рiвностепенево неперервна. Рiвномiрна обмеженiсть i рiвностепенева неперервнiсть замкненої множини є гарантами її компактностi.

На завершення декiлька зауважень щодо неповних метричних просторiв.

Якщо метричний простiр (X, d) повний, то будь-яка замкнена пiдмножина F множини X є повним метричним простором. Якщо ж пiдмножина M є неповним метричним простором, тобто у ньому є принаймнi одна фундаментальна послiдовнiсть, яка немає границi у просторi M, то очевидно, що замикання M є пiдмножиною множини X i M – повний метричний простiр. Замикання M природно назвати поповненням неповного метричного простору M, причому таке поповнення слiд вважати мiнiмальним у тому розумiннi, що якщо M M1 M i

M1 6= M,то M1 неповний метричний простiр.

Так, наприклад, вiдрiзок [a; b] є поповненням iнтервалу (a; b) у просторi R з природною метрикою, а множина R є поповненням простору Q.

Якщо ж метричний простiр (X◦, d◦) неповний, то його по-

повненням називають повний метричний простiр (X, d), для

якого iснує скрiзь щiльна у множинi X пiдмножина X, (X X,

X = X) така, що метричнi простори (X◦, d◦) i (X, d◦) iзометричнi.

Доведено (див. [13, c. 66–69] або [14, c. 116–120]), що для будь-якого неповного метричного простору iснує його поповнення, тобто будь-який неповний метричний простiр є скрiзь щiльною пiдмножиною у деякому повному метричному просторi, причому таке поповнення єдине з точнiстю до iзометрiї.

Приклад 10. Довести, що метричний простiр C[0;1] з рiвномiрною метрикою є поповненням свого пiдпростору P[0;1] (мно-

186

жина всiх многочленiв).

Розв’язання. Насамперед переконаємось, що пiдпростiр P[0;1] неповний. Справдi, оскiльки послiдовнiсть многочленiв

	(P	(x)) =	n	(−1)k−1	x2k−1
			k=1
	n			(2k − 1)!
			X

збiгається рiвномiрно до функцiї sin x на вiдрiзку [0; 1], то за критерiєм Кошi рiвномiрної збiжностi для будь-якого ε > 0 iснує номер n◦ такий, що для всiх n > n◦, будь-якого натурального p i будь-якого x [0; 1] виконується нерiвнiсть

|Pn(x) − Pn+p(x)| < ε,

яка у даному випадку еквiвалентна нерiвностi

max |Pn(x) − Pn+p(x)| < ε,

0≤x≤1

Отож послiдовнiсть (Pn(x)) фундаментальна, але не збiжна у просторi P[0;1].

Доведемо, що множина P[0;1] скрiзь щiльна у просторi C[0;1]. Нехай f◦ – довiльна, але фiксована, точка з множини C[0;1]. Тодi для будь-якого ε > 0 куля

B(f◦, ε) = {f | max |f(x) − f◦(x)| < ε}

0≤x≤1

мiстить всi тi функцiї f з C[0;1], для яких для всiх x з вiдрiзка [0; 1] виконується нерiвнiсть

f◦(x) − ε < f(x) < f◦(x) + ε.

Разом з тим згiдно апроксимацiйної теореми Вейєрштрасса (див. [20, c. 680–681]) для неперервної на вiдрiзку [0; 1] функцiї f◦ i будь-якого ε > 0 iснує многочлен P (x) такий, що для всiх x [0; 1] виконується нерiвнiсть |f◦(x) − P (x)| < ε. Звiдси випливає, що кожна точка множини C[0;1] є точкою дотикання

множини P[0;1], тобто P[0;1] = C[0;1]. А це й означає, що C[0;1] є поповненням неповного метричного простору P[0;1]

187

Задачi для практичних занять i самостiйного розв’язування

1.121 Довести, що послiдовностi:

а)

n

1

;

б)

n

1

n

1

;

k=1 2k−1

k=1 k! ;

в) k=1 k2

P

P

P

г)

n

sin k

; д)

n

cos k!

; е)

n

(k + 1)2

k=1 2k

k=1 k(k + 1)

k=1 k2 + 2k ;

P

P

Q

є)

n (1

1

) ;

ж)

n (1 +

1

) ;

з)

n

k3 − 1

;

− k2

k=2

k=1

2k

k=2 k3 + 1

Q

Q

Q

√p √

и) x1 = 2, x2 = 2 + 2, . . . ,

r

q√

xn = 2 + 2 + . . . + 2, . . .

|		{z		}
	n коренiв

точок метричного простору R з природною метрикою є фундаментальними.

1.122 Довести, що послiдовностi:

n 1

б)

n2

+ 1

;

в) (−1)n−1(2 +

3

а) k=1 k ;

n

n ;

P

г) 1 + 2 · (−1)n + 3(−1)

n(n+1)

;

д) 1 +

n

cos

nπ

;

2

n + 1

2

nπ

n2 + 1

2nπ

е) 1 + n sin

;

є)

cos

;

2

2

3

n

nπ

n

2nπ

ж)

sin2

;

з) √1 + 2n(−1)n ;

и) cosn

n + 1

4

3

точок метричного простору R з природною метрикою не є

188

фундаментальними.

1.123 Дослiдити на фундаментальнiсть такi послiдовностi точок

простору R2

з евклiдовою метрикою:

3

n

1

k=1 n + k2 ;

a) n(√n3 + 3 − √n3 + 1),

r

r

P

n

2n + 1

б)

n

3 +

1

;

n

3n

− 1

;

1

n

1

n

− 1) ;

(2k

в) n2 + 1 k=1(2k − 1),

n + 1 k=1

X

X

n

1

n

sin k

;

г)

,

k=1

k=1 k · 2k−1

2k

P

X

2n

n

1

n

(

1)n

n!

2n

n−2 + 1

−

√nn+1

д)

sin

−

+

,

(

1)n ;

1

nπ

1

((

1)n

1)n

е)

+ sin

,

−

−

;

n

3

2

є)

3n − 1

2n+1,

1 +

1

n

;

3n + 4

n2

ж) 2−n arccos

n + 1

ln n

arctg(ln n) ;

,

2n

n

2

n

(

1)n

n

з) 1 +

,

1 +

−

;

n

n

и) sin √n + 1 − sin √n,

√n(

√n − 1) .

n

1.124 Довести, що послiдовностi:

189

n2

r

r

1

1

а)

; б) x2

+

;

в)

x +

−

√x ;

n2 + x2

n

n

x

arctg nx

sin n√

x

г) √n sin

n√

; д)

√

;

е)

;

ln(n + 1)

n

n + x

n

cos nx

є)

arctg √nx ;

ж) ln 1 +

√

;

x2 + n2

n + x

з) e−(x−n)2 ;

и) √4

xe−√

n3

nx

точок метричного простору C[0;1] з рiвномiрною метрикою є фундаментальними.

1.125 Переконатись, що послiдовнiсть (fn(x)), де

якщо

1

−1,

− 1 ≤ x ≤ −

,

n

1

1

f

(x) =

nx,

якщо

< x <

,

n

− n

n

1,

якщо

1

≤ x ≤ 1,

n

точок метричного простору C[−1;1] з евклiдовою метрикою є фундаментальною.

1.126 Довести, що послiдовностi
a)	nx	;	б) sin(2nx)
	1 + n2x2

точок метричного простору C[0;1] з рiвномiрною метрикою не є фундаментальними.

1.127 Довести, що якщо послiдовнiсть (xn) точок метричного простору (X, d) є фундаментальною i мiстить пiдпослiдов-

190