metritchni_proct

аз вiдповiдної їй пiдпослiдовностi (ynk ) послiдовностi (yn) ви-

беремо пiдпослiдовнiсть ynkr , для якої

lim ynkr = y◦ A2.

r→∞

Тодi

lim xnkr = x◦

r→∞

i для r = 1, 2, . . .

1 d(xnkr , ynkr ) < d(A1, A2) + nkr .

Якщо в останнiй нерiвностi перейти до границi при r → ∞, то дiстанемо нерiвнiсть

d(x◦, y◦) ≤ d(A1, A2),

а оскiльки для будь-яких x A1, y A2 d(x, y) ≥ d(A1, A2),

то d(A1, A2) = d(x◦, y◦).

Приклад 5. У просторi R2 з евклiдовою метрикою знайти

√ 5

вiдстань вiд точки P 2 2 , √ до множини

2

A = {(x, y) | x2 + 4y2 = 4}.

Розв’язання. Оскiльки множина A є обмеженою i замкненою, то вона компактна, а отже, iснує точка (x◦, y◦) A така,

що
		5					5
d 2√2, √				, A	= d 2√2, √				, (x◦, y◦) .
			2					2

Знайти цю точку ми зможемо, якщо з’ясуємо геометричний змiст заданої множини. Очевидно, що на координатнiй площинi

131

(система координат декартова прямокутна) задача зводиться до вiдшукання точки на елiпсi x2 + 4y2 = 4 такої, що пряма, яка проходить через цю точку i точку P є нормаль до елiпса. Якщо врахувати, що рiвняння дотичної до елiпса у точцi (x◦, y◦) записується у виглядi

y − y◦ = − x◦ (x − x◦),

4y◦

а кутовий коефiцiєнт прямої, що проходить через точки (x◦, y◦)

i P дорiвнює

√

5 − √

2

y◦

,

4 −

2x◦

то координати точки P є розв’язком системи рiвнянь

x2 + 4y2 = 4,

3√2x◦y◦ + 5x◦ ◦− 16y◦ = 0.

◦

√

1

√

5

√

Звiдси x◦ =

2, y◦ = √

i d((2

2;

√

), A) =

10.

2

2

Задачi для практичних занять i самостiйного розв’язування

1.81Довести, що на числовiй прямiй (метричному просторi R з природною метрикою)

а) кожен вiдрiзок [a; b] є компактною множиною;

б) кожен iнтервал (a; b) є вiдносно компактною множиною; в) iнтервали виду (−∞; a), (a; +∞) i вся числова пряма не

є вiдносно компактними множинами.

1.82Довести, що у метричному просторi R2 з евклiдовою метрикою

а) множина {(x, y) | x2 + y2 ≤ 1} – компактною множиною; б) множина {(x, y) | |x| + |y| < 1} – вiдносно компактна,

132

але не є компактна;

в) множина {(x, y) | |x| ≤ 1} не є вiдносно компактною множиною.

1.83Довести, що у метричному просторi R3 з евклiдовою метрикою множина

{(x, y, z) | a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d, e ≤ z ≤ f} – компакт.

1.84З’ясувати, якi iз вказаних множин точок простору C[0;1] з рiвномiрною метрикою є компактними множинами:

а) A1 = {ax2 | |a| ≤ 1};

б) A2 = {ax + b | |a| ≤ 1, |b| ≤ 1};

в) A3 = {a◦xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an | |a◦| ≤ 1,

|a1| ≤ 1, . . . , |an| ≤ 1};

г) A4 = {a sin x | a Q, |a| ≤ 1};

д) A5 = {a sin x + b cos x | a R, b Q |a| ≤ 1, |b| ≤ 1};

е) A6 = C[0;1];

є) A7 – множина всiх многочленiв;

ж) A8 – множина всiх многочленiв, всi коефiцiєнти яких за модулем не перевищують 1;

з) A9 = {f | f C[0;1], |f(x)| ≤ M};

и) A10 = {f | f(0) = f(1) = 0, |f(x)| ≤ 1}.

1.85Довести, що будь-яка замкнена пiдмножина компактної множини є компактною.

1.86Довести, що будь-яка нескiнченна пiдмножина компакту

133

має принаймнi одну граничну точку.

1.87Довести, що множина K є компактною тодi i тiльки тодi, коли кожна її нескiнченна пiдмножина має граничну точку, що належить K.

1.88Довести, що об’єднання скiнченного числа компактних множин є компактна множина. Чи може об’єднання двох вiдносно компактних (але не компактних) множин бути компактом ?

1.89Довести, що перерiз будь-якого сiмейства компактних множин є компактна множина. Чи може перерiз двох вiдносно компактних множин бути компактом ?

1.90 Нехай маємо два метричних	простори	(X, d1)	i (Y, d2),
i нехай A X, B Y (A	6= , B	6= ).	Довести,

що у метричному просторi (X × Y, d), де для будь-яких

(x1, y1), (x2, y2) X × Y

q

d((x1, y1), (x2, y2)) = d21(x1, x2) + d22(y1, y2),

множина A × B є компактною тодi i тiльки тодi, коли A i B – компактнi множини.

1.91Довести, що будь-яка обмежена множина точок метричного простору Rn з евклiдовою метрикою є вiдносно компактною множиною.

1.92З’ясувати, якi з множин точок метричного простору R з природною метрикою компактнi:

а) {x | 5x − 20 ≤ x2 ≤ 8x},

√		√
б) {x | 4 10 + x − 2 − x > 0},

в) {x | (x − 1)(3 − x)(x − 2)2 > 0},

134

г)

nx

2

log0,25(x2

−

5x+8)

5

≤ 2, 5o,

д)

nx

1

(x + 3)o,

2 + log9 x − log3 5x > log 3

е)

nx

1

≥ 0o,

x

− 12)

≤ x,

x

− 12)

log2(4

log2(4

1

1

є)

nx

(1

− |x|) >

2o,

log 2

ж)

sin

2

x

sin x

0,

x

10 ,

{

x

−

≤

|

| ≤

|

}

з) {x | tg2 x + 4 tg x − 5 > 0, |x| ≤ 10},

и) {x | 3 sin2 x − 5 sin x cos x + 2 > 0}.

1.93З’ясувати, якi з множин точок метричного простору R2 з евклiдовою метрикою компактнi:

а) {(x, y) | x + y ≤ 1, x − y ≤ 1, x ≥ 0}; б) {(x, y) | x2 − |x| + 1 = |y| ≤ 1};

в) {(x, y) | |x| + |y| ≤ 1, y − |y| = x − |x|};

г)

{

(x, y)

| |

y

|

=

|x|

−

x2

}

;

x

д) {(x, y) | |x2 − x| < y ≤ 1};

е) {(x, y) | x2 − 2|x| + y2 ≤ 0};

є) {(x, y) | log|y| |x| ≥ 0,

max(|x|, |y|) ≤ 2};

ж) {(x, y) | sin2 πx + sin2 πy = 0, max(|x|, |y|) ≤ 2}; з) {(x, y) | sin2 π(x2 + y2) = 1};

135

и) {(x, y) | sin |x| ≤ y ≤ 1}.

1.94З’ясувати, якi з множин точок метричного простору R3 з евклiдовою метрикою компактнi:

а) {(x, y, z) | x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ y, x + y + z ≤ 1}; б) {(x, y, z) | |x| + |y| + |z| = 1};

в) {(x, y, z) | max( |x|, |y|, |z| ) ≤ 1}; г) {(x, y, z) | x2 + y2 + z2 ≤ 1, x > 0};

д) {(x, y, z) | x2 + y2 + 2z2 ≤ 1, y ≥ 0};

е) {(x, y, z) | max( |x|, |y|, |z| ) ≤ 1, |x| + |y| + |z| ≥ 1}; є) {(x, y, z) | z ≥ x2 + 2y2};

ж) {(x, y, z) | p |z| ≤ 1, x2 + y2 ≤ 1}; x2 + y2

з) {(x, y, z) | xyz ≥ 0, |x| + 2|y| + 3|z| ≤ 1}; и) {(x, y, z) | − 1 − x2 − y2 + z2 > 0}.

1.95Довести, що у просторi l2 є обмеженi i замкненi множини, якi не є компактними.

1.96Будемо називати сiмейство {Fλ | λ Λ} замкнених пiдмножин метричного простору X центрованим, якщо перерiз будь-якого скiнченного числа множин цього сiмейства є непорожнiм. Довести, що множина K точок метричного простору X є компактною тодi i тiльки тодi, коли будьяке центроване сiмейство його замкнених пiдмножин має непорожнiй перерiз.

136

1.97Довести, що метричний простiр X є компакт тодi i тiльки тодi, коли з будь-якого сiмейства замкнених пiдмножин множини X, перерiз яких є порожня множина, можна вибрати скiнченне число пiдмножин iз порожнiм перерiзом.

								1		n =
1.98 Переконайтесь,		що множина K				= {0} n
									2n−2
2, 3, . . . точок метричного простору R з природною											ме-
трикоюoє компактною. З покриття							n No,
nxn −	1			; xn +		1
	10 · 2n−1				10 · 2n−1
	1
де x1 = 0, xn =			, n = 2, 3, . . ., видiлiть					скiнченне пiд-
		2n−2
покриття.

1.99Довести, що у метричному просторi R2 з евклiдовою метрикою сiмейство

{B((x, y), 2/3) | (x, y) {(u, v) | d((0, 0), (u, v)) = 1/3}}

є покриттям кулi B((0, 0), 1). Чи можна видiлити з нього скiнченне пiдпокриття ? Чи буде це сiмейство покриттям

замкненої кулi B (0, 0), 35 ? Якщо так, то видiлiть з нього скiнченне пiдпокриття.

1.100 Нехай (X, d) – метричний простiр. Назвемо множини

Aε := {x | x X, d(x, A) < ε},

Aε] := {x | x X, d(x, A) ≤ ε},

де A – непорожня множина простору X i ε > 0, вiдповiдно вiдкритим i замкненим ε–облямуванням множини A. Довести, що множина Aε вiдкрита i

[

Aε = B(x, ε),

x A

137

а множина Aε] замкнена i

[

Aε] = B(x, ε).

x A

Довести, що функцiя

d (A, B) := inf{ε | A Bε], B Aε]}

ε>0

визначена на множинi K × K, де K – сiмейство непорожнiх компактних пiдмножин простору X, задає метрику на цьому сiмействi. Якому простору буде iзометричним простiр (K, d ), якщо K – сiмейство всiх одноелементних пiдмножин метричного простору R з природною метрикою?

6Зв’язнi множини у метричних просторах

Видiлимо ще один клас метричних просторiв (множин точок таких просторiв), якi можна розглядати як щось цiле (R, вiдрiзок, iнтервал, круг на площинi, куля у просторi Rn), як протиставлення тим, що складаються з окремих кускiв (об’єднання двох неперекривних вiдрiзкiв прямої, гiперболiчний цилiндр

x2		y2
	−		= 1).
a2		b2

Нехай маємо метричний простiр (X, d).

Означення 6.1. Непорожнi множини A i B точок метричного простору X називаються роз’єднаними, якщо

A ∩ B = i A ∩ B = , тобто якщо множина A не мiстить точок дотикання множини B i навпаки.

138

Означення 6.2. Метричний простiр X називається зв’я- зним, якщо його не можна подати як об’єднання двох непорожнiх роз’єднаних множин. Якщо ж таке подання можливе, то вiн називається незв’язним.

Означення 6.3. Множина E точок метричного простору X називається зв’язною, якщо E є зв’язний пiдпростiр простору X.

Очевидно, що порожня i одноелементна пiдмножина будьякого метричного простору є зв’язними.

Приклад 1. Переконатись, що множина

[a; b] := {x | x R, a ≤ x ≤ b}

точок метричного простору R з природною метрикою є зв’язною. Розв’язання. Якщо a = b, то множина зв’язна як одноелементна множина. Нехай a < b. Припустимо, що iснують непорожнi роз’єднанi множини A i B такi, що [a; b] = A B. Тодi очевидно, що A [a; b] i B [a; b], тобто множини A i B обмеженi. Отже, iснують inf A, inf B, причому одним з них є точка a. Нехай inf A = a, inf B = c [a; b]. Зрозумiло, що a 6= c, а точнiше, a < c. Тодi або [a; c) A i c B, або [a; c] A i c 6 B. У першому випадку точка c є точкою дотикання множини A i A ∩ B 6= , у другому точка c є точкoю дотикання множини B i A ∩ B 6= . Останнє свiдчить про те, що множини A i B не є роз’єднаними, що суперечить нашому припущенню. Таким чином не iснує непорожнiх роз’єднаних множин, через якi можна подати множину [a; b]. А це й означає, що множина [a; b] зв’язна. Приклад 2. Переконатись, що множина Q точок метричного

простору R з природною метрикою незв’язна.

Розв’язання. Вiзьмемо будь-яке iррацiональне число, на-

√

приклад 2. Тодi очевидно, що множини

√

A = {r | r Q, r < 2}, B = {r | r Q, r > 2}

139

мають порожнiй перетин i A B = Q. У пiдпросторi Q як множина A, так i множина B мiстять всi свої граничнi точки, а отже, вони замкненi. Тодi A = A, B = B i A ∩ B = A ∩ B = , тобто множини A i B роз’єднанi. Отже, множина Q подається як об’єднання двох непорожнiх роз’єднаних множин, що свiдчить про її незв’язнiсть.

Теорема 6.1. Для довiльного метричного простору X еквiвалентними є такi властивостi:

1.простiр X зв’язний;

2.X не можна подати у виглядi об’єднання двох непорожнiх, неперекривних, вiдкритих множин;

3.X не можна подати у виглядi об’єднання двох непорожнiх неперекривних замкнених множин;

4., X – єдинi вiдкрито-замкненi множини.

Доведення. 1 2. Припустимо, що iснує зв’язний метричний простiр X i у ньому непорожнi вiдкритi множини G1 i G2 такi, що G1 ∩ G2 = i G1 G2 = X. Тодi жодна точка множини G2 не може бути точкою дотикання множини G1, бо кожна її точка є внутрiшньою, тобто для кожної точки x G2 iснує куля B(x, r) така, у якiй немає жодної точки з множини G1.

Звiдси випливає, що G1 ∩ G2 = . Аналогiчно отримаємо, що

G1 ∩G2 = Отже, простiр X подається як об’єднання двох непорожнiх роз’єднаних множин, що суперечить умовi. Одержане протирiччя дозволяє зробити висновок, що зв’язний метричний простiр не можна подати у виглядi об’єднання двох непорожнiх неперекривних вiдкритих множин.

2 3. Нехай метричний простiр X не можна подати як об’єднання двох непорожнiх неперекривних вiдкритих множин. Доведемо, що його не можна подати як об’єднання двох непорожнiх неперекривних, замкнених множин.

140