metritchni_proct

IV Нехай маємо метричний простiр (X, d).

a) Дати означення послiдовностi точок простору X i навести конкретнi приклади послiдовностi точок простору R2 з евклiдовою метрикою i простору C[a;b] з рiвномiрною метрикою.

б) Дати означення збiжної послiдовностi точок простору X i навести конкретнi приклади збiжних послiдовностей точок простору R2 з евклiдовою метрикою i простору C[a;b] з рiвномiрною метрикою.

в) Довести, що

1)у будь-якої послiдовностi (xn) точок простору X не може бути бiльше однiєї границi;

2)якщо послiдовнiсть (xn) точок простору X збiгається, то збiгається будь-яка її пiдпослiдовнiсть,

3)якщо у збiжної послiдовностi (xn) точок простору X у будь-який спосiб змiнити скiнченне число її членiв, то збiжнiсть не порушиться;

4)якщо послiдовнiсть (xn) точок простору X збiгається, то вона обмежена;

5)послiдовнiсть (xn) точок простору X збiгається до точки x◦ тодi i тiльки тодi, коли кожнiй кулi B(x◦, r) належать всi члени послiдовностi, крiм, можливо, їх скiнченного числа;

6)якщо послiдовнiсть (xn) точок простору X збiгається i a – довiльна, але фiксована, точка цього простору, то числова множина {d(xn, a) | n N} обмежена;

201

7) якщо всi члени збiжної послiдовностi (xn) точок простору X належать деякiй замкненiй кулi, то i її границя належить цiй кулi;

8) якщо послiдовнiсть (xn) точок простору X збiгається, то для будь-якого ε > 0 iснує номер n◦ такий, що для всiх n i m, якi бiльшi n◦, виконується нерiвнiсть d(xn, xm) < ε;

9) якщо M – множина точок простору X i a – гранична точка множини M, то iснує послiдов-

нiсть (xn) точок з M така, що lim xn = a;

n→∞

10)якщо M – множина точок простору X, а послiдовнiсть (xn) точок множини M збiгається i

lim xn = x◦, то точка x◦ є точкою дотикання

n→∞

множини M.

VДовести, що

1)простiр R2 з евклiдовою метрикою повний;

2)простiр N з метрикою

d(m, n) =		0,	1		якщо	m = n,
		1 +		,	якщо	m = n
			m+n
						6

повний;

3)простiр C[a;b] з евклiдовою метрикою неповний;

4)простiр Z з евклiдовою метрикою повний;

5)простiр R з метрикою d(x, y) = | arctg x − arctg y| неповний;

6)простiр C[a;b] з рiвномiрною метрикою повний;

7)простiр Q з евклiдовою метрикою неповний;

202

8) простiр N з метрикою

d(m, n) =

|m − n|

mn

неповний;

9)простiр R \ Q з евклiдовою метрикою неповний;

10)простiр N з метрикою

d(m, n) =		1 +	1	,	якщо	m = n
		0,			якщо	m = n,
						6
			min(m, n)
повний.

САМОСТIЙНА РОБОТА N 2 (Рiвень A). Написати методологiчне есе на тему "Логiко-структурний аналiз введення основних понять у метричному просторi".

Програма дiй. Нехай маємо метричний простiр (X, d). Базове топологiчне поняття – м’яч.

Класифiкацiя точок стосовно заданої множини A. Логiчнi можливостi:

1.B(xв, r) така, що B(xв, r) A

2.B(x3, r) така, що B(x3, r) X − A

3.B(xм, r) A ∩ B(xм, r) 6= i (X \ A) B(xм, r) 6=

4. B(xд, r) A ∩ B(xд, r) 6= , xд – ?;

5. у B(xг, r) iснує безлiч точок з A, xг – ?; 6. B(xi, r) така, що A ∩ B(xi, r) = {xi}, xi– ?

Два основнi класи множин точок метричного простору: а) усi точки внутрiшнi G – ?;

б) мiстить всi свої граничнi точки F – ? Множини, пов’язанi iз заданою множиною A,:

-Множина всiх внутрiшнiх точок множини A називається

– ? i є – ?;

203

-Множина всiх точок дотикання множини A називається

–? i є – ?;

-Множина всiх граничних точок множини A називається

–? i є – ?;

-Множина всiх межових точок множини A називається – ? i може бути – ?

Рис. 1,	Рис. 2,		Рис. 3
Основна операцiя аналiзу.
Теорема Больцано-Вейєрштрасса			Покладена в
для числових послiдовностей "З будь-			основу
-якої обмеженої послiдовностi			означення
можна видiлити збiжну пiдпослiдовнiсть".			класу ? множин.
Критерiй Кошi для числових		Покладено в
послiдовностей "Числова послiдовнiсть		основу
є збiжною тодi i тiльки тодi,		означення класу ?
коли вона фундаментальна",		метричних просторiв.

Результат – короткий нарис про точки i множини у метричних просторах.

204

САМОСТIЙНА РОБОТА N 3 (Рiвень C). Написати твiр на тему "Ультраметричнi простори".

Програма дiй. Видiлити клас метричних просторiв через таке означення: "Метричний простiр (X, d) називається ультраметричним, якщо для будь-яких точок x, y, z X виконується нерiвнiсть

d(x, y) ≤ max(d(x, z), d(y, z)).

1)Переконатись, що функцiї

a)для будь-яких m, n N

d1(m, n) =	0,			1			якщо		m = n,
	1 +					,	якщо		m 6= n,
			min(m, n)
б) для будь-яких m, n		Z
d2(m, n) =		0,		1			якщо	m = n,
		1 +			,		якщо	m 6= n,
				pk
	просте число (див.[2, c.22-23]									p = 3	)
де p – фiксоване

i m−n дiлиться на pk i не дiлиться на pk+1, надiляють метриками вiдповiдно множини N i Z. Довести, що простiр (N, d1) повний, а простiр (Z, d2) неповний.

2)Довести, що в ультраметричному просторi (X, d) iстиннi такi твердження:

a)Для будь-яких x, y, z X з того, що d(x, z) 6= d(y, z), випливає, що

d(x, y) = max(d(x, z), d(y, z));

205

б) будь-яка вiдкрита куля B(x, r) є вiдкрито-замкнена множина у просторi X, причому B(y, r) = B(x, r) для всiх y B(x, r);

в) будь-яка замкнена куля B(x, r) є вiдкрито-замкнена множина у просторi X, причому B(y, r) = B(x, r) для всiх y B(x, r);

г) якщо двi (вiдкритi або замкненi) множини мають спiльну точку, то одна з них включається у другу;

г) послiдовнiсть (xn) точок простору X фундаментальна тодi i тiльки тодi, коли d(xn, xn+1) → 0 при n → ∞.

206

Вiдповiдi. Вказiвки. Розв’язання

1.1 a) Так; б) нi. Вказiвка. Вiзьмiть точки x = 4, y = 1, z = 2; в) так; г) так. Вказiвка Скористайтесь тим, що для будь-яких x > 0, y > 0, arctg(x + y) ≤ arctg x + arctg y; д) нi. Вказiвка.

Вiзьмiть точки x i x + 2π; е) так. Вказiвка. Доведiть, що для будь-яких x > 0, y > 0 ln(1 + x + y) ≤ ln(1 + x) + ln(1 + y); є) так; ж) нi; з) так. Вказiвка. Оскiльки функцiя d1(x, y) =

= ln(1 + |x − y|) задовольняє аксiоми вiдстанi, то поклавши

d1(x, y) = a, d1(x, z) = b,

d1(z, y) = c , маємо: a ≥ 0, b ≥ 0,

c ≥ 0, a ≤ b + c,

d(x, y) =

a

, d(x, z) =

b

, d(z, y) =

c

1 + c

1 + a

1 + b

А отже,

a

1

1

d(x, y) =

= 1 −

≤ 1 −

=

1 + a

1 + a

1 + b + c

b + c

b

c

=

=

+

= d(x, z) + d(z, y);

1 + b + c

1 + b + c

1 + b + c

и) так. Розв’язання. Виконуванiсть перших двох аксiом вiдстанi очевидна. Нехай на координатнiй площинi задано одиничне коло з центром у початку координат. Вiзьмемо на осi Ox двi точки A(a, 0) i B(b, 0) i сполучимо їх з точкою M(0, 1) (pис. 17). Точки M1, M2 перетину прямих MA i MB з одиничним колом будуть мати координати

M

2a

,

a2

1

, M

2

2b

,

b2 − 1

.

1 + a2

1 +−a2

1 + b2

1

1 + b2

207

Рис. 17

Тодi квадрат довжини хорди M1M2 дорiвнює

2a

2b

2

+

a2

1

b2 − 1

2

= 4

(a − b)(1 − ab)

2

+

−

−

−

1 + a2

1 + b2

1 + a2

1 + b2

(1 + a2)(1 + b2)

+

2(a2 − b2)

2

=

4(a − b)2

.

(1 + a2)(1 + b2)

(1 + a2)(1 + b2)

Таким чином значення функцiї d(x, y) у точцi (x, y) дорiвнює довжинi хорди, кiнцями якої є точки Mcx, Mcy перетину з одиничним колом променiв MMx i MMy, де Mx(x, 0), My(y, 0). Звiдки випливає, що якi б не були точки x, y, z з R довжина хорди Mcx, Mcy не перевищує суми довжин хорд McxMcz i MczMcy. Отже задана функцiя задовольняє i третю аксiому вiдстанi.

1.2. а) Так; б) нi. Вказiвка. Розгляньте три точки (1, 1), (1, 2), (2, 2); в) так; г) нi. Вказiвка. Розгляньте три точки (1, 1), (2, 2), (3, 3); д) так; е) так. Розв’язання. Виконуванiсть

208

перших двох аксiом вiдстанi очевидна. Нехай a = (a1, a2), b = (b1, b2), то для будь-якого t R

ta + b = (ta1 + b1, ta2 + b2) R2.

А отже, 2(ta1 + b1)2 + 3(ta2 + b2)2 = (2a21 + 3a22)t2 +

+ 2(2a1b1 + 3a2b2)t + (2b21 + 3b22) ≥ 0. Звiдси випливає, що

(2a1b1 + 3a2b2)2 − (2a21 + 3a22)(2b21 + 3b22) ≤ 0

або

qq

|2a1b1 + 3a2b2| ≤ 2a21 + 3a22 2b21 + 3b22.

Але тодi

2(a1 + b1)2 + 3(a2 + b2)2 =

= 2a21 + 3a22 + 2(2a1b1 + 3a2b2) + 2b21 + 3b22 ≤

qq

≤ 2a21 + 3a22 + 2 2a21 + 3a22 2b21 + 3b22 + 2b21 + 3b22 =

						2
	= q2a12 + 3a22 + q2b12 + 3b22
	або

q q

p

2(a1 + b1)2 + 3(a2 + b2)2 ≤ 2a21 + 3a22 + 2b21 + 3b22.

Якщо x = (x1, x2), y = (y1, y2), z = (z1, z2) три довiльнi точки з R2, то, скориставшись останньою нерiвнiстю при

a1 = x1 − z1, a2 = z1 − y1, b1 = x2 − z2, b2 = z2 − y2, дiстанемо

p

d(x, y) = 2(x1 − y1)2 + 3(x2 − y2)2 =

p

=2(x1 − z1 + z1 − y1)2 + 3(x2 − z2 + z2 − y2)2 ≤

= p(	x z) + (z y)				p
≤	2(x1	− z1)2	+ 3(x2	− z2)2 + 2(z1 − y1)2 + 3(z2 − y2)2 =
d	,	d , .

209

Таким чином задана функцiя задовольняє всi три аксiоми вiдстанi, тобто надiляє множину R2 вiдстанню; є) так; ж) так. Вказiвка. Див.е); з) нi. Вказiвка. Розгляньте двi точки (−1, 1), (1, −1); и) нi. Вказiвка. Розгляньте три точки

(−1, −1), (−1, 1), (1, 1).

1.3. а) Так; б) нi. Вказiвка. Розгляньте двi точки (0, 0, . . . , 0), (1, 0, . . . , 0); в) так; г) нi; д) так. Розв’язування. Виконуванiсть перших двох аксiом вiдстанi очевидна. Нехай

x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn), z = (z1, z2, . . . , zn)

три довiльнi точки з Rn. Тодi

vv

n

n

d(x, y) = ui=1

αi(xi − yi)2 = ui=1 (√αixi − √αiyi)2 =

uX

uX

= v

t

t

n

(√

xi

√

zi +

√

zi

√

yi)2

αi

αi

αi

αi

≤

ui=1

−

−

uX

t

v

+ v

n

(√

xi

√

zi)2

n

(√

zi

√

yi)2

=

αi

αi

αi

−

αi

≤ ui=1

−

ui=1

uX

uX

t

t

vv

u n

u n

XX

uu

= t αi(xi − zi)2 + t αi(zi − yi)2 ≤ d(x, z) + d(z, y).

i=1 i=1

(Скористались нерiвнiстю Кошi-Буняковського). Таким чином задана функцiя задовольняє всi три аксiоми вiдстанi, тобто надiляє множину Rn метрикою. 1.4. а) Так; б) нi; в) так; г) так; д) так.

1.5. Вказiвка. Врахувати, що для будь-яких m, n, p N

d1(m, n) = |m − n| = |np − mn + mn − np| ≤ mn mnp

210