metritchni_proct

i зображається дугою параболи y2 + 6x − 9 = 0 та дугами гiпербол 3x2 + 4xy − 8x − 4y + 4 = 0 i 3x2 − 4xy − 8x + 4y + 4 = 0

(pис.5).

Pис.5

Як у першому, так i у другому параграфi множини, елементами яких є певнi математичнi об’єкти, надiлялись метриками (множини метризувались), причому маємо метрику, якою можна надiлити будь-яку множину. Бiльше того, одна i та ж множина може бути надiленою рiзними метриками.

Разом з тим iснують метричнi простори, для яких метричнi спiввiдношення у першому мають мiсце у другому i навпаки. Iнакше можна сказати, що такi простори iдентичнi з метричної точки зору.

Означення 2.4 Два метричнi простори (X, dX ) , (Y, dY ) називаються iзометричними, якщо iснує взаємно однозначна вiдповiднiсть f : X → Y така, що для будь-яких x1, x2 X

dX (x1, x2) = dY (f(x1), f(x2)).

51

З означення в очевидний спосiб отримуємо, що для будьякої точки x◦ X i будь-яких множин точок A1 i A2 цього ж простору

dX (x◦, A1) = dY (f(x◦), f(A1)),

dX (A1, A2) = dY (f(A1), f(A2)),

diam A1 = diam f(A1).

Як приклад розглянемо множину

n o

P = a + bx4| a, b R, 0 ≤ x ≤ 1

Надiлимо її метрикою у такий спосiб: для будь-яких

a1 + b1x4, a2 + b2x4 P

d(a1	+ b1x4, a2	+ b2x4) = v
			1	(a1 + b1x4		a2		b2x4)2dx =
		uZ			−		−
		u0
		u
		t

= r(a1 − a2)2											2																				1
									+					(a1				− a2)(b1			− b2) +												(b1 − b2)2
												5																			9
Нехай A =						a + bx4 | 0 ≤ a ≤															1						0 ≤ b ≤								15				Знайдемо
																							,															.
				1																	4															4
									15						4																							o
				n
вiдстань точки						+							x				до множини A. За означенням
					2					2
d(	1	+		15			x4		, A) =									inf d(				1		+				15		x4, a + bx4) =
																											2
2				2													a+bx4 A				2
=		inf					(a									1	)2 +		2	(a					1	)(b						1		) +	1		(b			15	)2
				1		r					− 2							5 − 2											− 4						9 − 2
0		a		4 ,
		≤	≤15
	0≤b≤			4

52

(задача на так званий умовний екстремум). Ця задача стає простою, якщо взяти метричний простiр R2 з природною метрикою i вiдобразимо простiр P на R2 у такий спосiб:

f(a + bx4) = (a + 5b , 154 b).

Покажемо, що простори P i R2 iзометричнi. Справдi, для будьяких a1 + b1x4, a2 + b2x4 P

f(a1 + b1x4) = (a1 + b51 , 154 b1),

f(a2 + b2x4) = (a2 + b52 , 154 b2).

i

d((a1 +

b1

,

4

b1), ((a2 +

b2

,

4

b2)) =

5

15

5

15

= r

(a1

+ 5

− a2 − 5 )2 +

225(b1 − b2)2 =

b1

b2

16

r

1 −

2

5

1 −

2

1 −

2

25

225

1 −

2

= (a

a

)2

+

2

(a

a

)(b

b

) +

(b1 − b2)2

+

16

(b

b

)2 =

r

=(a1 − a2)2 + 25(a1 − a2)(b1 − b2) + 19(b1 − b2)2 =

= d(a1 + b1x4 , a2 + b2x4).

Знайдемо образ множини A на координатнiй площинi. Якщо вважати, що x = a + 5b , y = 154 b, то звiдси випливає, що a =

	3			15
x −		y,	b =		y. Отже, образом множини A при вiдображеннi
	4			4

53

f буде множина
f(A) = n(x, y)		0 ≤ x −	3			1		, 0	≤	15			15
				4y ≤		4					4 y ≤		4 o =
		0 ≤ x −	3			1			≤ y ≤ 1o =
= n(x, y)			4y ≤			4, 0

= n(x, y)		0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1o,

тобто одиничний квадрат з вершиною у початку координат. Врахувавши, що

f	1		15			=		1		3		4				15		= (2, 2),
		+			x4				+		,			·
	2			2				2		2		15				2
маємо
																			1		15
d (2, 2), f(A)			= d (2, 2), (1, 1)									= √2 = d								+		x4, A .
																			2		2

Задачi для практичних занять i самостiйного розв’язування

1.21Довести, що у метричному просторi (X, d) для будь-яких x1, x2, . . . , xn X виконується нерiвнiсть

n−1

X

d(x1, xn) ≤ d(xk, xk+1).

k=1

1.22 Довести, що функцiя d : Z × Z → R, для якої d(a, b) = 0,

1

якщо a = b , i d(a, b) = 3k , якщо a =6 b , де k – найбiльший показник степеня 3, на який дiлиться a − b , надiляє множину Z метрикою. Переконатись, що для будь-яких a, b, c Z виконується нерiвнiсть

d(a, b) ≤ max(d(a, c), d(c, b)).

54

З’ясувати, яку	метричну властивiсть має множина
{(a, b) | a, b Z,	a 6≡b (mod3) .}

1.23 Довести, що коли d метрика на множинi X, то функцiї

	d		, ln(1 + d), dα, де 0 < α < 1,
	1 + d

є метриками на цiй множинi.

1.24На множинi R заданi метрики:

d1(x, y) = |x − y|, d2(x, y) = | arctg x − arctg y|,

d4(x, y) = ln(1 + |x − y|),

d3

(x, y) = min

1, |x − y| ,

d

(x, y) =

|x − y|

y

, d (x, y) =

|

x

−

y

α, де 0 < α < 1.

5

1 +

|

x

−

|

6

|

У кожнiй з цих метрик знайти множину точок, вiдстанi

яких до точки x = 0 дорiвнює 1.

1.25 Нехай (X, d)

–

метричний

простiр

i

f – вiдображення

деякої множини Y у множину X. Довести, що функцiя

df (x, y) =

= d(f(x), f(y)) надiляє метрикою множину Y тодi i тiльки тодi, коли f iн’єктивне вiдображення.

1.26 Нехай (X, d) – метричний простiр i f – вiдображення X на X. Довести, що функцiя df (x, y) = d(f(x), f(y)) належить M(X) тодi i тiльки тодi, коли f бiєктивне вiдображення.

1.27 Довести, що коли

d1, d2, . . . , dn M(X) i α1, α2, . . . , αn R+,

55

то функцiя

				n
				Xi
	d(x, y) =				αidi(x, y)
				=1
також метрика на множинi X.
1.28 Нехай кожна з множин R− i R+ надiленi метрикою
				1		1
	d(x, y) =					−
					x		y
(x, y R− або	x, y R	+							метрикою множину
			). Надiлити
R− R+ так, щоб вiдстань мiж точками як множини R−,
такSi множини R+ не змiнювалась.+Знайти множину тих
точок метричного простору				R− SR				, вiдстань мiж якими
дорiвнює 1.

1.29Нехай (X1, d1), (X2, d2) – метричнi простори. Довести, що множину X1 × X2 можна надiлити такими метриками:

q

a) d1((x1, x2), (y1, y2)) = d21(x1, y1) + d22(x2, y2) ;

б) d2((x1, x2), (y1, y2)) = d1(x1, y1) + d2(x2, y2) ;

в) d3((x1, x2), (y1, y2)) = max(d1((x1, y1), d2(x2, y2)).

1.30Нехай множина R надiлена метриками

d1(x, y) = |x − y|, d2(x, y) = min(1, |x − y|).

Зобразити на координатнiй площинi (система координат

прямокутна декартова) множини точок простору R2

a)	q	di2(0, x) + dj2(0, y)	= 1,	i, j = 1, 2 ;
б) di(0, x) + dj(0, y) = 1,				i, j = 1, 2 ;
в)	max (di(0, x), dj(0, y)) = 1, i, j =				1, 2 .

56

1.31Нехай множина R надiлена метрикою d(x, y) = ln(1 + |x − − y|). Знайти тi точки в R, сума вiдстаней яких до точок 1 i 2 дорiвнює 1.

1.32Нехай множина R надiлена природною метрикою. Побуду-

вати графiки функцiй fi(x) = d(x, Ai)		(i = 1, 6) , де x R
		1
A1	= { t | log0,5(t2 + 2) + 2 < 0}, A2 = { t | log|t−1|					≥ 1},
					2
A3	= { t | sin t − cos t > 0}, A4 = N,	A5 = Z, A6 = Q.

1.33Нехай множина R надiлена природною вiдстанню. Знайти вiдстань мiж множинами

√

A1 = { x | xlog5(8x) = 16 3 x4},

A2 = { x | cos 10x cos x = cos 11x}.

1.34Нехай множина R надiлена природною метрикою. Знайти дiаметри множин:

n o

x x−1

A1 = x | 2 + 1 < 3 · 2 2 ;

n o

A2 = x | log0,5(5x + 10) < log0,5(x2 + 6x + 8) ;

no

A3	= x | sin 2x > cos x							∩ [0; 2π] ;
			x	32x+1 + 2					3x
A4 = nx |		27		−√				·		≥ 0o;
					1 − x2
			x2	7x + 3
A5	= nx |		2 −			< 0o.
			log2 |x − 1|

57

1.35 Нехай R2 надiлено метрикою

d((x1, y1), (x2, y2)) = |x1 − x2| + |y1 − y2|.

На координатнiй площинi подати множину тих точок з R2, якi рiвновiддаленi вiд точок (−1, 0), (1, 0).

1.36 Нехай R+ × R+ надiлено метрикою

d((x1, y1), (x2, y2)) = |x1 − x2| + |y1 − y2|. x1x2 y1y2

На координатнiй площинi подати множину тих точок з R+ × R+, якi рiвновiддаленi вiд точок (1, 1), (2, 2).

1.37 Нехай R2 надiлена природною метрикою. Знайти дiаметри множин:

a)	n(x, y) | |x2 − x| < y < 1o;
б)	n(x, y) | x2 − 2|x| + y2 ≤ 0o;
в)	n(x, y) | |y − x| < 1, |y| ≤ 2o;
г)	n(x, y) | logx2+y2 (x + y) > 1o;
д)	n(x, y) | logxy x > 1, x2 + y2 ≤ 2o.

1.38Нехай R2 надiлена природною метрикою. На координатнiй площинi подати множину тих точок з R2 , якi рiвновiдда-

ленi вiд множин

A1	= n(x, y)	x2	+ y2	= 1o, A2	= n(x, y)	x = 2o.

58

1.39Довести, що метричнi простори (C[0,1], d1), (C[0,2], d2), де для будь-яких x1(t), x2(t) C[0,1]

v

u 1

Z

u

d1(x1(t), x2(t)) = u (x1(t) − x2(t))2dt, t

0

а для будь-яких y1(t), y2(t) C[0,2]

				(t)) = v
	d2	(y1	(t), y2		1	2	(y1(t)		y2(t))2dt,
					2	Z		−
				u
				u		0
				u
				t

iзометричнi.

1.40Нехай маємо нескiнченну шахову дошку. Довести, що коли за вiдстань мiж полями дошки прийняти найменше число ходiв, за яке можна перейти з одного поля на друге а) турою, б) королем, то вiдповiднi метричнi простори iзометричнi метричним просторам а)(Z×Z, d1), б)(Z×Z, d2),

де для будь-яких (m1, n1), (m2, n2) Z × Z

d1((m1, n1), (m2, n2)) =	1,	якщо	m1	= m2	,	n1	6= n2	,
	0,	якщо	m1	= m2	,	n1	= n2	,
	1,	якщо	m1	= m2,		n1	= n2,
	2,	якщо	m1	6		n1	6= n2,
				6= m2,

d2((m1, n1), (m2, n2)) = max(|m1 − m2|, |n1 − n2|).

3Топологiя метричного простору

Джерело iдей. Означення функцiї як вiдповiдностi, яка кожному елементу множини X вiдносить один елемент з множини Y ,

59

не передбачає наявностi якихось властивостей в елементiв цих множин. Але як тiльки ми хочемо означити такi поняття, як границя функцiї, її неперервнiсть, то вiдразу виникає необхiднiсть надiлити множини певними властивостями. Структури, у яких отримують математичний змiст поняття границi i неперервностi, називають топологiчними структурами (топологiчними просторами), а роздiл математики, предметом вивчення якого є саме такi структури, називають топологiєю.

Центральним топологiчним поняттям метричного простору є поняття вiдкритої кулi, аналогом якої є iнтервал на прямiй, вiдкритий круг на площинi, вiдкрита куля в просторi. Це поняття дозволяє видiлити певнi класи точок, якi знаходяться у певному вiдношеннi до множин, а наявнiсть чи вiдсутнiсть у множин точок певного класу покласти в основу класифiкацiї

множин.			= (0; 2] S{3}
Як iлюстрацiю	розглянемо множини	A1
(pис.6),

Рис. 6

A2 = {(x, y) | |x|+ |y| < 1, або |x −2| = 0, або |x −3|+ |y −1| = 0}

(pис.7).

Природно назвати будь-яку точку M(x), де 0 < x < 2 внутрiшньою для множини A1 (лежить всерединi множини), точки M1(0), M2(2) – межовими для A1 (лежить на межi множини), точку M3(3) – iзольованою точкою множини A1, а будь-яку точку M(x), де |x −1| > 1 i x 6= 3, – зовнiшнiми для множини A1. У другому випадку (pис.7) кожну точку, яка лежить всерединi квадрата, слiд теж назвати внутрiшньою, точки, якi лежать на сторонах квадрата – межовими для множини A2, а точку M(3, 1) – iзольованою точкою множини A2. А от як назвати

60