metritchni_proct
.pdfнiсть (xnk ), для якої lim xnk = x◦, то послiдовнiсть (xn)
k→∞
збiжна, причому lim xn = x◦.
n→∞
1.128 Довести, що якщо послiдовнiсть (xn) точок метричного простору (X, d) є фундаментальною i y X, то числова послiдовнiсть (d(xn, y)) збiгається.
1.129 Довести, що якщо послiдовнiсть (xn) точок метричного простору (X, d) є фундаментальною,а послiдовнiсть (yn)
точок цього простору така, що lim d(xn, yn) = 0, то послi-
n→∞
довнiсть (yn) теж фундаментальна, причому lim yn = y◦
n→∞
тодi i тiльки тодi, коли lim xn = y◦.
n→∞
1.130 Довести, що якщо для послiдовностi (xn) точок метричного простору (X, d) ряд
∞
X
d(xn, xn+p)
n=1
збiгається, то ця послiдовнiсть фундаментальна.
1.131 Сформулювати i обгрунтувати критерiй фундаментальностi послiдовностi точок простору Rn з евклiдовою метрикою через фундаментальнiсть координатних послiдовностей. Сформулюйте правило конструювання фундаментальних та нефундаментальних послiдовностей точок у цьому просторi.
1.132 Визначити, якi з метричних просторiв (X, d) є повними, якщо:
а) X = (0; 1), d(x, y) = |x − y|;
б) X = Q, d(x, y) = |x − y|;
в) X = R, d(x, y) = min(1, |x − y|);
191
г) X = R, |
d(x, y) = p |
| arctg x − arctg y| |
; |
д) X = R, |
d(x, y) = min(1, arctg |x − y|); |
||
е) X = N, d(m, n) = |m − n|;
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 + |
|
, |
|
є) X = |
N |
, d(m, n) = |
m + n |
|||
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) X = N, d(x, y) = |m − n|; mn
якщо m 6= n,
якщо m = n;
з) X – скiнченна пiдмножина точок деякого метричного простору;
и) X − довiльна множина,
d(x, y) = ( |
1, |
якщо |
x = y. |
|
0, |
якщо |
x = y, |
|
|
|
6 |
1.133 Довести, що якщо (R, d) – повний метричний простiр, функцiя f визначена на промiжку [0; +∞) i задовольняє такi умови: 1) f(0) = 0, 2) зростаюча, 3) має другу похiдну, причому f00(x) < 0, то метричний простiр (R, d ◦ f) є повним.
1.134 Довести, що простiр R2 буде повним вiдносно кожної з таких метрик:
d1((x1, y1), x2, y2)) = |x1 − x2| + |y1 − y2|,
d2((x1, y1), x2, y2)) = max(|x1 − x2|, |y1 − y2|),
p
d3((x1, y1), x2, y2)) = 2(x1 − x2)2 + 3(y1 − y2)2, d4((x1, y1), x2, y2)) = 2|x1 − x2| + 3|y1 − y2|,
192
p
d5((x1, y1), x2, y2)) = max( |x1 − x2|, |y1 − y2|).
1.135 Довести, що при будь-якому ϕ (0; π) метричний простiр (R2, dϕ), де
d((x1, y1), x2, y2)) =
p
=(x1 − x2)2 + 2 cos ϕ(x1 − x2)(y1 − y2) + (y1 − y2)2
єповним.
1.136 Довести, що метричний простiр (B(E), d), де B(E) – множина всiх визначених i обмежених на множинi E функцiй,
d(f, g) = sup |f(x) − g(x)|
|
x E |
|
|
|||
|
є повним. |
|
|
|||
1.137 |
Довести, що простiр l2 з метрикою |
|
|
|||
|
d((xn), (yn)) = v |
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
(xn |
− |
yn)2 |
|
|
2 |
|||||
|
un=1 n |
|
||||
|
uX |
|
|
|||
|
t |
|
|
|||
|
є неповним. |
|
|
|||
1.138 |
Довести, що простiр C[a;b] з метрикою |
|
|
|||
Z b
d(f, g) = |f(x) − g(x)|dx
a
неповний.
1.139 З’ясувати, чи є повним пiдпростiр многочленiв простору C[a;b] з рiвномiрною метрикою.
1.140 Нехай C[(1)a;b] – множина всiх неперервно диференцiйовних на вiдрiзку [a; b] функцiй. З’ясувати, чи є повним пiдпростiр C[(1)a;b] простору C[a;b] з рiвномiрною метрикою. Чи буде
193
простiр C[a;b] повним, якщо метрику у ньому задати у такий спосiб:
( |
|
) = max a≤x≤b |
| |
|
− |
| |
a≤x≤b |
| |
f0(x) |
− |
g0(x) |
| |
d |
f, g |
max |
|
f(x) |
|
g(x) |
, max |
|
|
? |
1.141 Довести, що будь-який повний пiдпростiр метричного простору є замкнена множина. Чи буде вiрним обернене твердження ?
1.142 Довести, що скрiзь щiльна пiдмножина F метричного простору X, яка не збiгається з X, не обов’язково повний метричний простiр.
1.143 Довести, що метричний простiр, у якому всi замкненi кулi компактнi, є повним, зокрема компакт є повний метричний простiр.
1.144 Довести, що кожна обмежена множина точок простору Rn з евклiдовою метрикою є цiлком обмежена.
1.145 Нехай (an), де для кожного n an ≥ 0, фiксована точка простору l2. Довести, що множина
{(xn) | |xn| ≤ an, n N}
компактна в l2.
1.146 Довести, що замкнена множина K точок метричного простору l2 компактна тодi i тiльки тодi, коли для будь-якого ε > 0 iснує номер n◦ такий, що для будь-якого (xn) K i будь-якого n > n◦ виконується нерiвнiсть
∞
X
x2k < ε2.
k=n+1
194
1.147 Нехай A – обмежена множина точок простору C[a;b] з рiвномiрною метрикою. Довести, що множина
Z b
B = { F | F (x) = f(t)dt, f A}
a
вiдносно компактна у цьому просторi.
1.148 Нехай A – множина неперервно диференцiйовних на вiдрiзку [a; b] функцiй, i нехай множина похiдних функцiй з множини A є обмеженою. Довести, що множина A є вiдносно компактною у просторi C[a;b] з рiвномiрною метрикою.
1.149 Довести, що метричний простiр l2 є поповненням метричного простору (E, d), де E – множина всiх можливих послiдовностей (xn), у яких лише скiнченне число членiв не дорiвнює нулю, d – метрика простору l2.
1.150 Довести, що метричний простiр C[(−H1;1]) , d , де C[(−H1;1]) – множина всiх неперервних i непарних функцiй, d – рiвномiрна метрика, є поповненням метричного простору
P[(−H1;1]) , d , де P[(−H1;1]) – множина многочленiв, якi мають тiльки непарнi степенi x.
195
Завдання для контролю i самоконтролю
САМОСТIЙНА РОБОТА N 1 (Рiвень A). Виконати контрольну роботу на тему "Метричнi простори".
IЗадано три функцiї:
а) d1 : R × R → [0; +∞); б) d2 : R2 × R2 → [0; +∞);
в) d3 : C[0;1] × C[0;1] → [0; +∞).
Чи є метриками d1 в R, d2 в R2, d3 в C[0;1], якщо
1)а) d1(x, y) = | sin(x − y)|,
б) |
d2((x1, y1), (x2, y2)) = p |
max(|x1 − x2|, |y1 − y2|) |
, |
|
|
1 |
|
|
|
в) |
d3(f, g) = R0 |
|f(x) − g(x)|dx; |
||
2)a) d1(x, y) = arctg |x − y|,
б) d2((x1, y1), (x2, y2)) = (x1 − x2)2 + |y1 − y2|,
в) |
d3 |
(f, g) = |
1 |
( |
|
) − |
( |
|
)| |
; |
|
R0 |1 |
x |
x |
|||||||||
|
|
|
f |
|
g |
|
dx |
|
|||
|
|
|
1 + R0 |
|f(x) − g(x)|dx |
|||||||
3) а) |
d1 |
(x, y) = min(1, |x − y|), |
|
|
|
||||||
196
б) d2((x1, y1), (x2, y2)) =
r
=(x1 − x2)2 + (x1 − x2)(y1 − y2) + 13(y1 − y2)2,
в) d3(f, g) = max |f(x) − g(x)|2;
0≤x≤1
4) а) d1(x, y) = |x2 − y2|,
б) d2((x1, y1), (x2, y2)) =
p
=(x1 − x2)2 + (x1 − x2)(y1 − y2) + (y1 − y2)2,
в) d3 |
(f, g) = min |
1, s3 |
01 |
|f(x) − g(x)|3dx |
; |
|
|
|
R |
|
|
5) а) d1(x, y) = | arctg x − arctg y|,
б) d2((x1, y1), (x2, y2)) = |x1 − x2| + |y12 − y22|,
3( |
f, g |
) = q |
0≤x≤1 | |
( |
|
) − |
( |
)| |
; |
|||||
в) d |
|
|
|
max |
|
f x |
|
|
|
g x |
|
|||
1 |
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 +| |
x |
|
y |
|
|
|
|
|
||||
6) а) d (x, y) = |
|
|
x |
− y| |
|
|
, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
| |
− |
|
|
| |
|
|
|
|
|||
б) d2((x1, y1), (x2, y2)) =
p
= ln(1 + (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2),
1
в) d3(f, g) = R |f2(x) − g(x)|dx;
0
197
7) а) d1(x, y) = (2x2 + y2)|x − y|,
б) |
d2((x1, y1), (x2, y2)) = p |
(x1 − x2)2 + 4(y1 − y2)2 |
, |
|||||||||
|
0≤x≤21 |
| |
− |
|
| |
|
1 |
| |
|
− |
| |
|
в) |
|
|
Z1 |
|
|
|||||||
d3(f, g) = max |
f(x) |
|
g(x) |
|
+ |
|
|
f(x) |
|
g(x) dx; |
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
8)а) d1(x, y) = | arctg x − arctg y)|,
б) d2((x1, y1), (x2, y2)) = min(|x1 − x2|, |y1 − y2|),
в) d3 |
(f, g) = ln 1 + s |
|
|
|
01 |
(f(x) − g(x))2dx ; |
|||
|
|
R |
|
|
|x − y|
9) а) d1(x, y) = arctg 1 + |x − y|,
p
б) d2((x1, y1), (x2, y2)) = 9(x1 − x2)2 + 4(y1 − y2)2,
1
в) d3(f, g) = sin2(R |f(x) − g(x)|dx);
0
10) а) d1(x, y) = |x − y| + (x − y)2,
б) d2((x1, y1), (x2, y2)) =
r
=15(x1 − x2)2 + 23(x1 − x2)(y1 − y2) + (y1 − y2)2,
в) d3(f, g) = max ex|f(x) − g(x)| ?
0≤x≤1
198
IIЗадано двi функцiї f1, f2 C[a;b]. Знайти вiдстань мiж ними у просторах (C[a;b], d1), (C[a;b], d2), де
|
d |
1( |
f , f |
max |
f (x) |
− |
f |
(x) , |
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 2) = a |
|
x |
≤ |
b |
| 1 |
|
2 |
|
| |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
d2(f1, f2) = Za |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|f1(x) − f2(x)|dx, |
|
|
|
|||||||||||||||||||
якщо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
f1(x) = 2 log23 x + 36 log2 x, |
|
f2(x) = 15 log22 x, |
[4; 16]; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
||||
2) |
f1(x) = 2 sin 2x, |
f2(x) = − cos 4x, |
[0; |
|
|
]; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
3) |
f1(x) = 2x, |
|
|
f2(x) = −2−x+1, |
|
[−1; 2]; |
|
|
|
||||||||||||||
4) |
f1(x) = xe|x+1|, |
|
f2(x) = 3e|x+1|, |
|
[−2; 4]; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
π |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5) |
f1(x) = 2 ctg x, |
|
f2(x) = |
|
3 − tg x, |
|
[ |
|
; |
|
|
]; |
|||||||||||
|
|
|
6 |
3 |
|||||||||||||||||||
6) |
f1(x) = 23x+1 + 3 · 2x+2, f2(x) = 9 · 22x, [−1; 1]; |
||||||||||||||||||||||
7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
; e3]; |
||||||
f1(x) = 2 ln3 x + 12 ln x, f2(x) = 9 ln2 x, [e4 |
|||||||||||||||||||||||
8) |
f1(x) = sin x, |
|
f2(x) = − cos 2x, |
|
[0; π]; |
|
|
|
|||||||||||||||
9) |
f1(x) = 2(33x + 3x), |
|
|
f2(x) = 4 · e3x, |
|
|
[−1; 1]; |
||||||||||||||||
199
