metritchni_proct

Вiнницький державний педагогiчний унiверситет

iм. Михайла Коцюбинського

А. А. Томусяк, М. М. Ковтонюк, Н. М. Шунда

МЕТРИЧНI ПРОСТОРИ

посiбник для студентiв фiзико-математичних факультетiв педагогiчних унiверситетiв та iнститутiв

Вiнниця, 2002

Рецензенти: доктор фiзико-математичних наук, професор Панков О.А. (Вiнницький педагогiчний унiверситет) i кандидат фiзико-математичних наук, професор Трохименко В.С. (Вiнницький педагогiчний унiверситет).

Змiст

Метричнi простори

5

1Поняття метричного простору. Надiлення множи-

	ни метрикою . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	6
2	Основнi властивостi метрик . . . . . . . . . . . . .	32
3	Топологiя метричного простору . . . . . . . . . . .	59
4	Збiжнi послiдовностi у метричних просторах . . .	83
5	Компактнi множини у метричних просторах . . .	110

6Зв’язнi множини у метричних просторах . . . . . 138

7Повнi метричнi простори . . . . . . . . . . . . . . 162

Завдання для контролю i самоконтролю . . . . . . . .	196
Вiдповiдi. Вказiвки. Розв’язання . . . . . . . . . . . . .	207
Лiтература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	273

3

Метричнi простори

Одним iз фундаментальних понять сучасної математики є поняття вiдстанi, яке за своєю природою є геометричним. Так, у шкiльному курсi геометрiї зазначається:1 якщо точки A i B рiзнi, то вiдстанню мiж ними називають довжину вiдрiзка AB. Якщо точки A i B збiгаються, то вiдстань мiж ними приймається рiвною нулю. Крiм того, доводиться теорема, що якi б не були три точки на площинi, то вiдстань мiж будь-якими двома з цих точок не бiльша суми вiдстаней вiд них до третьої точки. На координатнiй прямiй (площинi, просторi) вiдстанню мiж двома точками фактично є довжина вiдрiзка, що виражається через координати цих точок.

Це поняття узагальнюється у вузiвських курсах геометрiї та алгебри, а саме вiдстанню мiж точками A i B евклiдового простору En називають довжину вектора AB. Разом з тим тут встановлюється, що вiдстань у цьому просторi у рiзних формах можна подати з допомогою будь-якої додатно визначеної квадратичної форми.

Однак, як би не була означена вiдстань, вона обов’язково задовольняє таким умовам:

1◦. Вiдстань мiж точками є невiд’ємне число i дорiвнює нулю тодi i тiльки тодi, коли точки збiгаються.

1 Погорелов А.В. Геометрия. 7–11.– М.: Просвещение. 1993. С. 106–107.

5

2◦. Вiдстань вiд точки A до точки B дорiвнює вiдстанi вiд точки B до точки A.

3◦. Вiдстань мiж будь-якими двома точками не перевищує суми вiдстаней вiд них до будь-якої третьої точки.

Якраз цi властивостi французьким математиком Морiсом Фреше були прийнятi за характеристичнi властивостi вiдстанi (аксiоматичне означення вiдстанi) i на цiй пiдставi у 1906 роцi ним було введено поняття метричного простору. Теорiя метричних просторiв була в основному побудована пiсля 1920 року у роботах Урисона П.С., Александрова П.С., С. Банаха.

1Поняття метричного простору. Надiлення множини метрикою

Означення 1.1. Кажуть, що непорожня множина X надiлена метрикою (мiж елементами множини X задано вiдстань), якщо задана вiдповiднiсть d, яка кожнiй парi елементiв x i y з X вiдносить число d(x, y) i задовольняє такi умови (аксiоми):

1◦. ( x, y X)(d(x, y) ≥ 0) i d(x, y) = 0 x = y) ;

2◦. ( x, y X)(d(x, y) = d(y, x)) (аксiома симетрiї);

3◦. ( x, y, z X)(d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y))

(аксiома трикутника).

Iнакше, функцiя d : X × X → R, яка задовольняє умови 10–30, називається вiдстанню (або метрикою).

Означення 1.2. Непорожню множину X iз заданою у нiй метрикою d називають метричним простором i позначають

6

(X, d). Елементи множини X називають точками метричного простору, а значення функцiї d для точок x i y — вiдстанню мiж точками x i y.

Надiлити			множину X метрикою		означає задати функцiю
d : X	×	X	→ R	з властивостями 1◦	– 3◦.

Приклад 1. Довести, що функцiя

d(x, y) := |f(x) − f(y)|,

де f функцiя, визначена i строго монотонна на множинi R,задає метрику у цiй множинi.

Розв’язання. Насамперед очевидно, що так означена функцiя d невiд’ємна, i якщо x = y, то d(x, y) = 0. Якщо ж d(x, y) = 0, то f(x) = f(y), i в силу строгої монотонностi функцiї f маємо, що x = y. Далi, для довiльних x, y з R

d(x, y) = |f(x) − f(y)| = |f(y) − f(x)| = d(y, x).

Аксiома симетриї також виконується. I, нарештi, для будь-яких x, y, z з R

d(x, y) = |f(x) − f(y)| = |f(x) − f(z) + f(z) − f(y)| ≤

≤ |f(x) − f(z)| + |f(z) − f(y)| = d(x, z) + d(z, y).

Таким чином, функцiя d задовольняє всi три аксiоми вiдстанi, тобто надiляє множину дiйсних чисел метрикою. ♦ Зауваження. Приклад 1 свiдчить про те, що в однiй i тiй же множинi метрику можна вводити по-рiзному. Так, наприклад,

при f(x) = x маємо метричний простiр R, d1 , де

d1(x, y) = |x − y|

7

евклiдова вiдстань на прямiй, а при f(x) = arctg x – метричний

простiр R, d2 , де

d2(x, y) = | arctg x − arctg y|

є вiдстань, яка характерна тим, що для будь-яких двох точок прямої вона не може перевищувати число π.

Приклад 2. Нехай 0 < ϕ < π. Довести, що функцiя

d((x1, y1), (x2, y2)) :=

p

=(x1 − x2)2 + 2 cos ϕ(x1 − x2)(y1 − y2) + (y1 − y2)2

задає метрику в множинi R2. Переконатись, що d є евклiдова вiдстань на площинi, на якiй обрана декартова система координат (ϕ — кут мiж координатними осями).

Розв’язання. Насамперед переконаємось, що для будьякого елемента (x, y) з R2

x2 + 2 cos ϕxy + y2 ≥ 0

(1.1)

Справдi, якщо x = y = 0, то має мiсце рiвнiсть. Якщо ж, наприклад, x 6= 0, то задана нерiвнiсть еквiвалентна нерiвностi

1 + 2 cos ϕxy + xy 2 ≥ 0.

Оскiльки дискримiнант квадратного тричлена t2 + 2 cos ϕt + 1 менший нуля, то маємо при t = xy

1 + 2 cos ϕxy + xy 2 > 0

Звiдси випливає, що функцiя	d визначена i невiд’ємна на
R2, причому d((x1, y1), (x2, y2))	= 0 тодi i тiльки тодi, коли

8

(x1, y1) = (x2, y2) або x1 = x2 i y1 = y2. А отже, задана функцiя задовольняє першу аксiому вiдстанi. Далi для будь-яких

(x1, y1), (x2, y2) R2

d((x1, y1), (x2, y2)) :=

p

=(x1 − x2)2 + 2 cos ϕ(x1 − x2)(y1 − y2) + (y1 − y2)2 =

p

=(x2 − x1)2 + 2 cos ϕ(x2 − x1)(y2 − y1) + (y2 − y1)2 =

=d((x2, y2), (x1, y1)).

Переконаємось, що задана функцiя задовольняє третю аксiому вiдстанi. Справдi, оскiльки для будь-яких (a1, b1), (a2, b2) з R2 i будь-якого t R (ta1 + a2, tb1 + b2) R2, то, скориставшись нерiвнiстю (1.1), маємо

(ta1 + a2)2 + 2 cos ϕ(ta1 + a2)(tb1 + b2) + (tb1 + b2)2 ≥ 0.

або

(a21 + 2 cos ϕa1b1 + b21)t2 + 2(a1a2 + cosϕ(a1b2 + a2b1) + b1b2)t +

+(a22 + 2 cos ϕa2b2 + b22). ≥ 0

Розглядаючи лiву частину останньої нерiвностi як квадратний тричлен вiдносно t, з невiд’ємностi останнього дiстаємо, що

(a1a2 + cos ϕ(a1b2 + a2b1) + b1b2)2 −

−(a21 + 2 cos ϕa1b1 + b21)(a22 + 2 cos ϕa2b2 + b22) ≤ 0

Звiдси випливає, що

|a1a2 + cos ϕ(a1b2 + a2b1) + b1b2| ≤

q q

≤ a21 + 2 cos ϕa1b1 + b21 a22 + 2 cos ϕa2b2 + b22.

9

А тодi

(a1 + a2)2 + 2 cos ϕ(a1 + a2)(b1 + b2) + (b1 + b2)2 =
= (a12 + 2 cos ϕa1b1 + b12) + 2(a1a2 + cos ϕ(a1b2 + a2b1) + b1b2) +
+(a22	+ 2 cos ϕa2b2	+ b22) ≤ (a12			+ 2 cos ϕa1b1 + b12) +
+2q			q
	a12 + 2 cos ϕa1b1 + b12			a22	+ 2 cos ϕa2b2 + b22 +
+(a22	+ 2 cos ϕa2b2	+ b22) =

						2
	= qa12 + 2 cos ϕa1b1 + b12 + qa22 + 2 cos ϕa2b2 + b22
	або
	p						≤
		(a1 + a2)2 + 2 cos ϕ(a1 + a2)(b1 + b2) + (b1 + b2)2

q q

≤ a21 + 2 cos ϕa1b1 + b21 + a22 + 2 cos ϕa2b2 + b22.

Якщо (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) три довiльнi точки з R2, то скориставшись останньою нерiвнiстю при a1 = x1 − x3, a2 = x3 − x2, b1 = y1 − y3, b2 = y3 − y1, дiстанемо

d((x1, y1), (x2, y2)) = (x1 − x2)2 + 2 cos ϕ(x1 − x2)(y1 − y2) +

1

+(y1 − y2)2 2 = (x1 − x3 + x3 − x2)2 + +2 cos ϕ(x1 − x3 + x3 − x2)(y1 − y3 + y3 − y2) +

1

+(y1 − y3 + y3 − y2)2 2 ≤

10