metritchni_proct

є)

n

|

2

0,5

(2x + 6) > log

0,5

o

x

|

log

(x + 8) ;

ж)

n

x

sin x2

0, 3

−

2 log

2

0, 09 > 0

o

x

log

;

з)

nx |

≥ 0, 0 ≤ x < 61o;

1 + cos x

и)

nx |

1 < x < 4, sin x cos x >

o.

4

1.117 З’язувати, якi з множин точок метричного простору R2 з евклiдовою метрикою є зв’язними:

а) {(x, y) | 2x + 2y = 1, 4x + 4y = 3 }; б) {(x, y) | 8x = 10y, 2x = 5y };

в) {(x, y) | 2x + 2y = 5, 2x+y = 4 };

г) {(x, y) | x − y = 2, −x2 + y2 = −1 }; д) {(x, y) | y = |x2 − 1| + |x2 − 4| };

е) {(x, y) | y = logx x2 };

є) {(x, y) | y = 1 + lg |x − 1| }; ж) {(x, y) | x2 − 2|x| + y2 ≤ 0 }; з) {(x, y) | log|y| |x| > 0 };

r

и) n(x, y) | (xy + x2 − 3)2 · 2lg(xy)+lg x + 3 12(xy + xy1 o.

1.118 З’яcувати, якi з множин точок метричного простору R3 з евклiдовою метрикою є зв’язними:

а) {(x, y, z) | 2x − 3y + 5z = 1, −4x + 6y − 5z + 4 = 0 }; б) {(x, y, z) | x − 2y + z − 7 = 0, 2x + y − z + 2 = 0, x −

−3y + 2z − 11 = 0 };

в) {(x, y, z) | 7x + 4y + 7z + 1 = 0, 2x − y − z + 2 = 0, x + +2y + 3z − 1 = 0 };

г) {(x, y, z) | x − 3z + 2 = 0, або 2x − 6z − 7 = 0 };

161

д) {(x, y, z) | x > 0, y > 0, x + y < 1 };

е) {(x, y, z) | x < 0, y < 0, z < 0 або x + y + z > 1 };

є) {(x, y, z) | x2 + y2 + z2 − 6x + 2y − 10z + 26 = 0, z = 3 };

ж) {(x, y, z) | x2 + y2 = z2, x + 2y + 3z = 1 };

з) {(x, y, z) | x2 + y2 = z2, x + 1 = 0 };

и) {(x, y, z) | x2 + y2 = z2, }.

1.119 Довести, що килим Серпiнського є зв’язна множина.

1.120 Довести, що гребiнець Кантора є незв’язна множина.

7 Повнi метричнi простори

Ключова iдея. В аналiзi числових функцiй важливу роль вiдiграє властивiсть фундаментальностi послiдовностi, оскiльки є необхiдною i достатною умовою збiжностi i дозволяє з’ясувати, чи буде послiдовнiсть збiжною, навiть якщо границя невiдома.

Разом з тим означення "числова послiдовнiсть (xn) фундаментальна, якщо для будь-якого ε > 0 iснує номер n◦ такий, що для будь-яких m, n > n◦ виконується нерiвнiсть |xm − xn| < ε"формулюється тiльки в термiнах вiдстанi мiж точками числової прямої, а отже, може бути перенесеним у довiльний метричний простiр. Якраз це дасть змогу класифiкувати метричнi простори за двома ознаками: кожна фундаментальна послiдовнiсть є збiжною (повнi метричнi простори); iснує принаймнi одна фундаментальна послiдовнiсть, яка не є збiжною (неповнi метричнi простори).

Нехай маємо метричний простiр (X, d).

Означення 7.1. Послiдовнiсть (xn) точок метричного простору X називається фундаментальною (послiдовнiстю Кошi), якщо для будь-якого ε > 0 iснує номер n◦ такий, що

162

для всiх n > n◦ i для будь-якого натурального p виконується нерiвнiсть

d(xn, xn+p) < ε.

Може бути i така редакцiя: послiдовнiсть (xn) фундаментальна, якщо для будь-якого ε > 0 iснує номер n◦ такий, що для всiх m, n > n◦ виконується нерiвнiсть

d(xm, xn) < ε.

Приклад 1. З’ясувати, чи будуть фундаментальними у просторi R з природною метрикою послiдовностi

		n	1
	a)	k=1
			k(k + 1)
		X

		n	1
	; б)	k=1			.
			√k
		X

Розв’язання. а) Оскiльки для послiдовностi

n

1

(xn) =

k=1 k(k + 1)

X

n+p

1

n

1

n+p

1

d((xn+p, xn) =

=

k=1 k(k + 1)

− k=1 k(k + 1)

= k=n+1 k(k + 1)

X

X

X

1

1

1

=

+

+ . . . +

=

(n + 1)(n + 2)

(n + 2)(n + 3)

(n + p)(n + p + 1)

1

1

1

=

−

<

,

n + 1

n + p + 1

n + 1

то, обравши за заданим ε > 0 n◦ таке, що n◦ >

1

, матимемо,

ε

що для всiх n > n◦

i будь-якого натурального p

1

1

d(xn+p, xn) <

<

< ε.

n + 1

n◦

163

Аце й означає, що задана послiдовнiсть фундаментальна. б) Оскiльки для послiдовностi

n

1

(xn) = k=1

√k

X

2n

1

n

1

2n

1

d((x2n, xn) =

k=1

− k=1

= k=n+1

>

√k

√k

√k

X

X

X

2n

1

n

n

= r

1

,

> k=n+1 √2n

= √2n

2

≥ √2

X

1

то, обравши ε = √ , для будь-якого n i p = 2n маємо:

2

1 d(xn+p, xn) ≥ √ .

2

А це й означає, що задана послiдовнiсть не є фундаментальною. Приклад 2. З’ясувати, чи будуть фундаментальними у про-

сторi C[0;1] з рiвномiрною метрикою послiдовностi а) (xn); б) (xn − xn+1).

Розв’язання. Оскiльки для послiдовностi (xn)

d(xn, xn+p) = max |xn − xn+p| = max (xn − xn+p),

0≤x≤1

0≤x≤1

а функцiя ϕ(x) = xn − xn+p невiд’ємна на вiдрiзку [0; 1], ϕ(0) =

r

ϕ(1) = 0 i похiдна її обертається в нуль у точцi p n , то n + p

	n	n		n
		p
d(xn, xn+p) =		1	−		.
	n + p			n + p

Якщо для будь-якого n взяти p = nk, де k = 1, 2, 3, . . ., то

1		1	1
		k
d(xn, xn(k+1)) =		1	−		.
	k + 1			k + 1
164

Врахувавши, що

k→∞ k + 1			1		− k + 1
lim	1		k	1	1		= 1,

можемо вказати таке k◦, що для всiх k > k◦

1		1	1			1
		k
		1	−		>		.
	k + 1			k + 1		2

Отже, обравши ε = 12, для будь-якого n i p = nk, де k = 1, 2, 3, . . . матимемо:

d(xn, xn(k+1)) > 12.

А це означає, що задана послiдовнiсть не є фундаментальною. б) Очевидно, що функцiя fn(x) = xn − xn+1 на вiдрiзку [0; 1] невiд’ємна, fn(0) = fn(1) = 0 i її похiдна обертається в нуль у

точцi n +n 1. Тодi її максимальне значення оцiнюється так:

n

n

n

n+1

n

n

n

1

−

=

1 −

<

.

n + 1

n + 1

n + 1

n + 1

n + 1

А отже

d(xn

−

xn+1, xn+p

−

xn+p+1) = max xn

−

xn+1

−

0

x

≤

1 |

≤

1

−

xn+p

+

xn+p+1

max (xn

−

xn+1) <

.

| ≤ 0

x

≤

1

n + 1

≤

1

Обравши за заданим ε > 0

n◦ таке, що n◦ >

, маємо, що для

ε

всiх n > n◦

i будь-якого натурального p

d(fn(x), fn+p(x)) < ε.

А це означає, що задана послiдовнiсть фундаментальна.

З’ясуємо, у якому вiдношеннi знаходяться класи збiжних, фундаментальних i обмежених послiдовностей.

165

Теорема 7.1. Якщо послiдовнiсть (xn) точок метричного простору (X, d) збiжна, то вона фундаментальна.

Доведення. Нехай послiдовнiсть (xn) збiгається i

lim xn = x◦.

n→∞

Тодi для будь-якого ε > 0, зокрема для 2ε, iснує номер n◦ такий, що для всiх n > n◦ виконується нерiвнiсть

ε

d(xn, x◦) < 2.

А отже, для будь-якого n > n◦ i будь-якого натурального p

d(xn, xn+p) ≤ d(xn, x◦) + d(x◦, xn+p) <	ε	+	ε		= ε,
	2		2
тобто послiдовнiсть (xn) фундаментальна.

Теорема 7.2. Якщо послiдовнiсть (xn) точок метричного простору (X, d) фундаментальна, то вона обмежена.

Доведення. Оскiльки за умовою послiдовнiсть (xn) фундаментальна, то для будь-якого ε > 0, зокрема для ε = 1, iснує номер n◦ такий, що для всiх n > n◦ i будь-якого натурального p виконується нерiвнiсть

d(xn+p, xn) < 1.

Остання нерiвнiсть буде виконуватись,якщо n = n◦ + 1 i будь-

якого p, тобто для будь-якого n > n◦ d(xn◦+1, xn) < 1. Якщо обрати

r > max(1, d(xn◦+1, x1), d(xn◦+1, x2), . . . , d(xn◦+1, xn◦ )),

то очевидно, що куля B(xn◦+1, r) мiстить всi члени послiдовностi. А це й означає, що послiдовнiсть (xn) обмежена.

166

Означення 7.2. Метричний простiр називається повним метричним простором, якщо у ньому кожна фундаментальна послiдовнiсть є збiжною.

Насамперед вiдзначимо, що метричний простiр R з природною метрикою є повним (згiдно з критерiєм Кошi). Бiльше того, для будь-якого n > 1 простiр Rn з евклiдовою метрикою є повним, тобто у ньому має мiсце критерiй Кошi "послiдовнiсть точок простору Rn збiжна тодi i тiльки тодi, коли вона фундаментальна".

Приклад 3. З’ясувати, чи будуть повними простори (R, d1),

(R, d2), де d1(x, y) = arctg |x − y|, d2(x, y) = | arctg x − arctg y|.

Розв’язання. Нехай (xn) довiльна фундаментальна послiдовнiсть точок простору (R, d1). Покажемо, що вона збiжна.

Оскiльки функцiя tg x неперервна у точцi x = 0, то для будь-якого ε > 0 можна вказати δ > 0 таке, що для всiх x, якi задовольняють нерiвнiсть |x| < δ, виконується нерiвнiсть | tg x| < ε. Тодi в силу фундаментальностi послiдовностi (xn) для обраного δ iснує номер n◦ такий, що для всiх n > n◦ i будь-якого натурального p виконується нерiвнiсть

d1(xn, xn+p) = arctg |xn − xn+p| < δ.

Звiдси дiстанемо, що

|xn − xn+p| = tg arctg |xn − xn+p| < ε,

тобто послiдовнiсть (xn) буде фундаметальною у просторi R з природною метрикою d(x, y) = |x − y|. Але тодi вона у просторi

(R, d) буде збiжною. Нехай nlim xn = x◦. Тодi nlim |xn − x◦| = 0
→∞	→∞

i в силу неперервностi у точцi x = 0 функцiї arctg x

lim arctg |xn − x◦| = 0,

n→∞

тобто lim xn = x◦ i у просторi (R, d1), а отже, цей простiр

n→∞

повний.

167

Розглянемо послiдовнiсть (xn) = (n) точок метричного простору (R, d2). Для будь-яких n i p

d(xn+p, xn) = d(n + p, n) = | arctg(n + p) − arctg n| =

	p		1		→ 0
= arctg			< arctg
	1 + n(n + p)			n

при n → ∞, тобто ця послiдовнiсть є фундаментальною. Покажемо, що вона не є збiжною. Оскiльки при будь-якому α 6= 0

	nlim d(xn, α) = nlim | arctg n − arctg α| =
	→∞			→∞
	= lim	|	arctg	n − α	|	=	|	arctg	1	= 0,
				1 + nα					α
	n→∞									| 6

а при α = 0 lim d(xn, 0) = π , то жодне дiйсне число не є гра-

n→∞ 2

ницею послiдовностi (n) у просторi (R, d2), а отже, цей простiр

неповний.
Приклад 4. Довести, що простiр l2 повний.
Розв’язання. Точки метричного простору
	∞
	X	xn2 < ∞}
l2 = {(xn) | xn R, n = 1, 2, . . . ,
	n=1
з метрикою	∞
d((xn), (yn)) =		1
	n=1(xn − yn)2 2
	X

будемо записувати у виглядi x = (xn) = (x1, x1, . . . , xn, . . .), а послiдовностi таких точок у виглядi

(xk) = ((xk1, xk2, . . . , xkn, . . .)).

Нехай послiдовнiсть (xk) точок простору l2 є фундаментальною. Тодi фундаментальними, а отже, збiжними будуть всi числовi послiдовностi

(xk1), (xk2), . . . , (xkn), . . .

168

Нехай

lim x

k1

= x

◦1

, lim x

k2

= x

◦2

, . . . , lim x

kn

= x

◦n

, . . .

k→∞

k→∞

k→∞

Покажемо, що послiдовнiсть x◦ = (x◦1, x◦2, . . . , x◦n, . . .) l2. Справдi, для кожного n

vv

u n

u n

XX

uu

t x2◦i = t (x◦i − xki + xki)2 ≤ i=1 i=1

vv

u n

u n

XX

uu

≤ t (x◦i − xki)2 + t x2ki i=1 i=1

В силу фундаментальностi послiдовностi (xk) для ε = 1 iснує номер k◦ такий, що для будь-якого k > k◦ i для будь-якого натурального p

d(xk+p, xk) =	∞	(xk+p,i − xki)2	1	< 1.
	i=1		2
	X

Тим бiльше для кожного n

v u n

X u

t(xk+p,i − xki)2 < 1.

i=1

Перейшовши до границi для p → ∞, матимемо, що для кожного n

v u n

X

u

t(x◦i − xki)2 ≤ 1.

i=1

Якщо ще врахувати, що

vv

u n

u ∞

XX

uu

t x2ki ≤ t x2ki = M,

i=1 i=1

169

ε

(xk+p,i − xki)2 < 2.

то для кожного n

v

u n

X

u

tx2◦i ≤ 1 + M.

i=1

Але тодi

vv

u n

u ∞

XX

uu

lim	x2	=	ti=1	x2	≤	1 + M,
n→∞ ti=1	◦i			ki

тобто точка x◦ належить l2. Покажемо, що

lim xk = x◦.

k→∞

Справдi, в силу фундаментальностi послiдовностi (xk) для будьякого ε > 0, зокрема для 2ε, iснує k◦ таке, що для будь-якого k > k◦ i для будь-якого натурального p

v u ∞

X

u d(xk+p, xk) = t

i=1

Тим бiльше для кожного n

v	n	(xk+p,i	−	xki)2	<	ε	,
						2
ui=1
uX
t

звiдки

plim

v

n

(xk+p,i

−

xki)2

= v

n

(x◦i

−

xki)2

≤

ε

.

→∞ ui=1

ui=1

2

uX

uX

t

t

Остання нерiвнiсть виконується для кожного n, а тому

vv

n

◦i − ki

∞

◦i − ki

◦

≤ 2

n→∞ ui=1

)2

ui=1

)2

k

lim (x

x

= (x

x

= d(x

, x )

ε < ε.

uX

uX

t

t

170